2024-2025学年山东省新泰市高三上册第二次质量检测数学检测试题（附解析）

2024-2025学年山东省新泰市高三上学期第二次质量检测数学检测试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合，再利用集合的交集运算即可得到结论．【详解】，，，故选：．本题主要考查集合的基本运算，考查了一元二次不等式的解法，比较基础．2.已知复数满足，为虚数单位，则等于（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】直接根据复数代数形式的除法法则计算可得；【详解】解：因为，所以故选：A本题考查复数的运算，属于基础题.3.已知等比数列中，，则（）A.4 B. C.8 D.【正确答案】A【分析】根据下标和性质，结合同号可得.【详解】由等比数列下标和性质可得，又，所以.故选：A4.直线的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】设直线的倾斜角为.由已知，可推得.分两种情况时以及时，结合正切函数的性质求解即可得到结果.【详解】设直线的倾斜角为.因为，，，所以，.又，则.当时，单调递增，解，可得；当时，单调递增，解，可得.综上所述，.故选：B.5.如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm，上底面的直径为8cm，高为4cm，已知点是上底面圆周上不与直径端点重合的一点，且为上底面圆的圆心，PC为圆台的一条母线，则与平面所成的角的正切值为（）A.2 B. C. D.【正确答案】A【分析】作出直线与平面所成的角，通过解直角三角形来求得直线与平面所成的角的正切值.【详解】设为下底面圆的圆心，连接和，因为，所以，又因为平面，所以平面，因为是该圆台的一条母线，所以四点共面，且，又平面，所以平面平面，又因为平面平面，所以点在平面的射影在直线上，则与平面所成的角即为，过点作于点，因为，所以故选：A6.已知，，分别为内角，，的对边，，，则的面积为（）A. B.2 C. D.【正确答案】C【分析】由正弦定理可得：，化简利用余弦定理可求得角,由可求得，根据面积公式即可求得结果.【详解】由已知及正弦定理得，化简得，∴，，∴，∴，∴．故选：C本题主要考查了数量积公式，考查解三角形中的正余弦定理以及面积公式的运用，属于中档题.7.如图所示，在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】以直线FB为x轴，线段FB的中垂线为y建立平面直角坐标系，结合已知求出点P的坐标，再由点P所在区域求解作答.【详解】在正六边形中，以直线FB为x轴，线段FB中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图，令，则点，因此，因，则，于是得点，又点是内（包括边界）的一个动点，显然点P在直线及上方，点P纵坐标最大不超过3，即有，解得，所以的取值范围是.故选：B8.已知函数，若且，则的最大值为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数于另一点，设点的横坐标为，并过点作直线的平行线，设点到直线的距离为，计算出直线的倾斜角为，可得出，于是当直线与曲线相切时，取最大值，从而取到最大值.【详解】当时，，求导，令，得当时，，单调递减；当时，，单调递增；如下图所示：设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数于另一点，设点的横坐标为，并过点作直线的平行线，设点到直线的距离为，，由图形可知，当直线与曲线相切时，取最大值，令，得，切点坐标为，此时过切点且垂直于切线的直线为，该直线与射线的交点为，又，，故选：B.关键点点睛：本题考查函数零点差的最值问题，解题的关键将问题转化为两平行直线的距离，考查学生的化归与转化思想以及数形结合思想，属于难题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列满足，，则下列各数是的项的有（）A. B. C.2 D.3【正确答案】AD【分析】根据递推式求出的值，可以发现数列为周期数列，从而得出答案.【详解】因，所以，所以数列的周期为3，所以的项的有.故选：AD.10.已知直线，其中，则（

）A.当时，直线与直线垂直B.若直线与直线平行，则C.直线过定点D.当时，直线在两坐标轴上的截距相等【正确答案】AC【分析】计算直线斜率判断A；由平行求出参数值判断B；求出直线过的定点判断C；求出直线的截距判断D.【详解】对于A，当时，直线的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为，因此当时，直线与直线垂直，A正确；对于B，若直线与直线平行，则，解得或，B错误；对于C，当时，，与无关，则直线过定点，C正确；对于D，当时，直线的方程为，在两坐标轴上的截距分别是，1，不相等，D错误.故选：AC11.设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有个零点，则下列结论正确的是（）A.的图象关于直线对称B.在上单调递增C.的取值范围是D.在上有且只有个极大值点，在上有且只有个极小值点【正确答案】BC【分析】先求得的解析式，然后根据在区间上零点的个数求得的取值范围，再结合三角函数的对称性、单调性、极值点等知识来求得正确答案.【详解】函数向左平移个单位长度得到函数.当时，，依题意，在上有且只有个零点，所以，所以C选项正确.不恒为或，所以A选项错误.当时，，其中，，所以在上单调递增，B选项正确.当时，，其中，所以在上有且只有个极大值点，在上有个或个极小值点，所以D选项错误.故选：BC易错点睛：对称性判断：容易忽视相位偏移对函数图象对称性的影响，平移量为并不保证函数图象在对称，零点计算：解零点分布时，需考虑到周期性以及函数相位的影响，特别是的取值范围.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知、是分别经过，两点的两条平行直线，当、间的距离最大时，直线的方程为______．【正确答案】【分析】先判断出当⊥AB时、间的距离最大，求出，进而求出，即可求出直线的方程.【详解】设两平行直线、的距离为d.因为、是分别经过，点的两条平行直线，所以,当且仅当⊥AB时取等号.因为直线AB的斜率为，所以与直线AB垂直的直线的斜事为，所以的方程为，即.故13.已知数列满足，的前项的和记为，则______.【正确答案】【分析】利用两角差的正弦公式化简得出，可求得，进而可计算得出的值.【详解】，，因此，.故答案为.本题考查裂项相消法求和，同时也考查了利用两角差的正弦公式化简求值，考查计算能力，属于中等题.14.已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．【正确答案】.【分析】根据已知条件易得，侧面，可得侧面与球面的交线上的点到的距离为，可得侧面与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结果.【详解】如图：取的中点为，的中点为，的中点为，因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因，所以，所以根据弧长公式可得.故答案为.本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，的面积为.（1）求a；（2）求的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由同角三角函数的平方关系求得的值，结合三角形面积公式可求得的值，再运用余弦定理可求得的值.（2）先由（1）得出，进而由正弦定理求得，再由二倍角公式得到，最终由两角和的余弦公式运算即可求解.【小问1详解】因为，所以，又因为的面积为，所以，解得，又因为，所以由余弦定理得：，所以.【小问2详解】由，，解得或（舍去），由正弦定理得，即，解得.且C为锐角，所以，所以，，所以.16.已知直线．（1）若直线不经过第一象限，求k的取值范围；（2）若直线交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线的方程．【正确答案】（1）（2）的最小值为，此时直线的方程为【分析】(1)验证时，直线是否符合要求，当时，将直线方程化为斜截式，结合条件列不等式求k的取值范围；(2)先求直线在轴和轴上的截距，表示的面积，利用基本不等式求其最小值.【小问1详解】当时，方程可化为，不经过第一象限；当时，方程可化为，要使直线不经过第一象限，则解得．综上，k的取值范围为．【小问2详解】由题意可得，由取得，取得，所以，当且仅当时，即时取等号，综上，此时，直线的方程为．17.已知等比数列的前项和为，满足，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）记，数列的前项和为，求使成立的正整数的最小值．【正确答案】（1）（2）6【分析】（Ⅰ）设的公比为，由题设条件，求得等比数列的首项和公比，即可得到数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，利用乘公比错位相减法，求得，再根据题设，列出不等式，即可求解.【详解】（Ⅰ）设的公比为，由得，，所以，所以.又因为，所以，所以.所以（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，，则，，所以，由，得，即，则，所以的最小值是6.本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.18.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）试确定点F的位置，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°．【正确答案】（1）见解析（2）当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°【分析】（1）证明．，推出平面．得到．证明，得到平面．然后证明平面平面．（2）分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为2，求出为平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【详解】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD∴PA⊥BC∵ABCD正方形∴AB⊥BC又PA∩AB=A，PA，AB平面PAB∴BC⊥平面PAB∴AE平面PAB∴AE⊥BC∵PA=AB，E为线段PB的中点∴AE⊥PB又PB∩BC=B，PB，BC平面PBC∴AE⊥平面PBC（2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，设正方形ABCD的边长为2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）P（0，0，2）E（1，0，1）∴，，设F（2，λ，0）（0≤λ≤2），∴设平面AEF的一个法向量为则∴令y1=2，则∴设平面PCD的一个法向量为则∴令y2=1，则∴∵平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°，∴，解得λ=1，∴当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°本题考查空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的垂直的证明，二面角等基础知识，考查学生的逻辑推理能力，化归与转化能力和空间想象能力．考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算．19.已知函数()，()，且函数的图像在点(1，)处的切线方程为．（1）求实数k的值；（2）当时，令函数，求的单调区间；（3）在（2）的条件下，设函数有两个极值点为，，其中＜，试比较与的大小．【正确答案】（1）；（2）答案见详解；（3）.【分析】（1）先求出切点，对函数求导得到，即可求出的值；（2）求出，求导，若时，，若时，求导数的零点，利用导函数的正负得到原函数的单调性即可；（3）由（2）知，，由于的两个极值点满足方程，利用韦达定理得，，求，令，求导，分析的单调性，求出最值，即可得出结论.【详解】（1）由题意知，