2024-2025学年山东省滕州市高三上册12月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年山东省滕州市高三上学期12月月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．设集合，集合，则集合（）A． B． C． D．2．复数方程解的个数为（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．已知非零向量，若向量在方向上的投影向量为，则（

）A． B． C．2 D．44．已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C． D．5．已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．6．已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知函数，若时，取极值0，则ab的值为（

）A．3 B．18 C．3或18 D．不存在8．已知点是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，下列结论正确的是（

）A． B．C．是数列中的最大值 D．数列无最大值10．已知函数，下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为B．点为图象的一个对称中心C．若在上有两个实数根，则D．若的导函数为，则函数的最大值为11．如图，在直三棱柱中，，Q是线段的中点，P是线段上的动点（含端点），则下列命题正确的是（

）A．三棱锥的体积为定值B．直线与所成角的正切值的最小值是C．在直三棱柱内部能够放入一个表面积为的球D．的最小值为三、填空题（本大题共3小题）12．函数图象的对称中心的坐标为．13．已知直线与圆相交于两点，则的最小值为．14．在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则．四、解答题（本大题共5小题）15．如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点.

(1)过点作三棱柱截面交于点，求线段长度；(2)求平面与平面的夹角的余弦值.16．的内角的对边分别为，，，已知．(1)若，，求的面积；(2)若角为钝角，求的取值范围．17．已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线与椭圆交于、两点，且，求面积的取值范围．18．已知数列满足，公差不为0的等差数列满足成等比数列，(1)证明：数列是等比数列．(2)求和的通项公式．(3)在与之间从的第一项起依次插入中的项，构成新数列，求中前60项的和．19．设是定义域为且图象连续不断的函数，若存在区间和，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为“山峰函数”，为“峰点”，称为的一个“峰值区间”．(1)判断是否是“山峰函数”？若是，请指出它的一个峰值区间；若不是，请说明理由；(2)已知是山峰函数，且是它的一个峰值区间，求的取值范围；(3)设，函数．设函数是山峰函数，是它的一个峰值区间，并记的最大值为．若，且，，求的最小值．（参考数据：）

答案1．【正确答案】D【详解】因为，，所以.故选：D.2．【正确答案】A【详解】设，则，，因为，即，所以，解得或或，共4组解，即复数方程解的个数为个.故选：A3．【正确答案】A【详解】因为非零向量，，所以，，，所以向量在方向上的投影向量为，所以，解得.故选：A4．【正确答案】A【详解】因为，所以角的终边经过点，所以，所以，所以，故选：A.5．【正确答案】C【详解】作出轴截面如图所示，为内切球的圆心，为圆锥底面圆的圆心，为切点，由已知条件可知，内切球的表面积等于，即，而，在中，，所以，在中，所以圆锥的体积.故选：C6．【正确答案】B【详解】因为，当时，，则恒成立，所以在上恒成立，则；当时，，则恒成立，所以在上恒成立，所以；又，综上可得的取值范围是.故选：B.7．【正确答案】B【详解】由，得，因为时，取得极值0，所以，解得或，当时，，此时函数在在处取不到极值；经检验时，函数在处取得极值0，满足题意；所以，所以.故选：B.8．【正确答案】C【详解】点关于的角平分线的对称点N必在上，因此共线，，，设，则，，，又，∴，中，由余弦定理得：，∴，化简得，∴，，中，，由余弦定理得，解得，故选：C．9．【正确答案】ABC【详解】根据题意，等比数列的公比为，若，则，又由，必有，则数列各项均为正值，若，即，必有，，则必有，依次分析选项：对于A，数列各项均为正值，则，必有，故A正确；对于B，，故B正确；对于C：根据，所以是数列中的最大项，故C正确，D错误；故选：ABC.10．【正确答案】ACD【详解】由题意可得，故A正确；，所以不是图象的一个对称中心，故B错误；令，由得，根据题意可转化为直线与曲线，有两个交点，数形结合可得，故C正确；设f'x为则，其中，当且仅当，即当且仅当时等号成立，故D正确，故选：ACD．11．【正确答案】ABD【详解】对于A选项，如下图所示，连接交于点，连接，因为四边形为平行四边形，则为的中点，又因为为的中点，则，因为平面，平面，则平面，因为，则点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，又因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故A正确；对于B选项，因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，由，则、、、、，设，其中，则，设直线与所成角为，所以，，当时，取最大值，此时，取最小值，取最大值，此时，，，所以，直线与所成角的正切值的最小值是，故B正确；对于C选项，因为，，则，的内切圆半径为，由于直径，所以在这个直三棱柱内部可以放入一个最大半径为的球，而表面积为的球，其半径为：，因为，所以这个直三棱柱内部不可以放入半径为的球，故C错误；对于D选项，点关于平面的对称点为，则，，，所以，，则，因为平面，，则平面，因为平面，则，将平面和平面延展为一个平面，如下图所示：在中，，，，由余弦定理可得，当且仅当三点共线时，取最小值，故的最小值为，故D正确.故选：ABD.12．【正确答案】【详解】函数的定义域为，又，所以函数图象的对称中心的坐标为.故13．【正确答案】4【详解】圆的圆心为，半径，直线，即，令，解得，所以直线恒过点，又，所以当时，弦的长度取得最小值，即，设的中点为，则，所以.

故4.14．【正确答案】【详解】由题意得，，∵，，，∴，，，∴，∵点四点共面，∴，解得.故答案为.15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由正三棱柱中，，又因为点分别为棱的中点，可得，如图所示，延长交的延长线于点，连接交于点，则四边形为所求截面，过点作的平行线交于，所以因此，所以.（2）以点为原点，以所在的直线分别为轴，

以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，可得，则，设平面的法向量为，则取，则，所以，取的中点，连接.因为△为等边三角形，可得，又因为平面，且平面，所以，因为，且平面，所以平面，又由，可得，所以平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由余弦定理可得，由正弦定理得，又因为，则有，因，，则，且，故．由余弦定理，，代入得，，因，则有，即得，故的面积．（2）由正弦定理，可得，且，代入化简得：．因为钝角，故由，可得，则，，即，故的取值范围是17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）设椭圆标准方程为：，由题意：，所以椭圆的标准方程为.（2）如图：若直线的斜率不存在，则可取，因为，可取，此时.若直线的斜率为0，同理可得.当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，由，得，则，用代替，得，则.所以.设，则.因为，所以，，所以，所以.综上，18．【正确答案】(1)证明见解析(2)，(3)【详解】（1）数列中，，则，而，所以数列是等比数列，其首项为，公比为；（2）由（1）知，，，所以数列的通项公式为.设等差数列的公差为，由成等比数列，得，即，则有，又，即，于是，所以数列的通项公式为；（3）依题意，数列中，前有数列中的前项，有数列中的前项，因此数列中，前共有项，当时，，当时，，因此数列的前项中有数列中的前项，有数列中的前项，所以.19．【正确答案】(1)不是“山峰函数”，理由见解析(2)(3)【详解】（1）由，求导可得，；令，则有，所以在上单调递增，又，所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以不是“山峰函数”．（2）由题意可知：函数在区间上先增后减，且存在峰点，由于，又当时，，则在上单调递减，所以，设，，所以，则在上单调递增．所以当时，，即此时恒成立：由于当时，不等式等价于，即，故m的取值范围是．（3）由题意得：．若恒成立