浙江省湖州市2023-2024学年高二上学期期末调研测试数学试题 含解析

2023学年第一学期期末调研测试卷高二数学注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合，然后令求出即可.【详解】，令，解得，又，所以，所以.故选：D.2.在复平面上，复数（为虚数单位）对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】求出复数的代数形式，然后确定其对应的点即可.【详解】,其在复平面上对应的点为，在第三象限，故选：C.3.已知向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据空间向量垂直的坐标表示结合充分、必要条件分析求解.【详解】若，则，解得，显然“”可以推出“”，“”不可以推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，化简整理即得渐近线方程.【详解】由双曲线，令，解得，所以渐近线方程为.故选：B.5.已知数列的前n项和为，若，且（），则（）A.为等比数列 B.为等差数列 C.为等比数列 D.为等差数列【答案】A【解析】【分析】利用求出的通项公式并求和，然后逐一判断选项即可.【详解】由得当时，，两式相减得，即，又当时，，所以数列即不是等比数列也不是等差数列，CD错误；所以，当时，所以当时，，符合，所以，又时，所以为等比数列，A正确，B错误.故选：A.6.已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（）A.相交 B.相切 C.外离 D.与m的取值有关【答案】C【解析】【分析】求出两圆心距离，判断其与两圆半径和的大小即可得答案.【详解】圆：，即，圆心，半径，圆：，即，圆心，半径，所以当时，所以圆与圆的位置关系是外离.故选：C.7.已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（）．A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示求出，利用同角三角函数的关系求出，结合计算即可求解.【详解】空间内三点，，，所以，，，，由，所以，所以点A到直线的距离.故选：A.8.已知，分别是椭圆（）的左，右焦点，椭圆上一点P满足，且，则该椭圆的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出，，然后利用正弦定理求出的关系，再利用关系求出后即可得离心率.【详解】设，则，又，则，得，即，又，，由正弦定理得，设，则，即，又，所以，所以离心率.故选：D.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数是定义在R上的奇函数，则下列说法正确的是（）A.B.C.若在上有最小值，则在上有最大值2D.若在上单调递增，则在上单调递减【答案】BC【解析】【分析】由奇函数的定义和图象的对称性可依次判断各个选项.【详解】对于A，由奇函数定义可得，若，则不成立，故A错误；对于B，由奇函数定义可得，得，故B正确；对于C，由奇函数图象关于原点对称，可知C正确；对于D，由奇函数图象关于原点对称，可知在上单调递增，故D错误.故选：BC.10.对于直线l：（，），下列说法正确的是（）A.直线l一个方向向量为 B.直线l恒过定点C.当时，直线l的倾斜角为60° D.当且时，l不经过第二象限【答案】ABD【解析】【分析】由直线方程的相关性质逐一判断即可.【详解】对于A：直线l的一个方向向量为，A正确；对于B：直线l的方程可化为，所以直线l恒过定点，B正确；对于C：当时，直线l的斜率为，此时倾斜角为，C错误；对于D：当且时，直线l为，所以l不经过第二象限，D正确.故选：ABD.11.设是公差为的等差数列的前项和，则下列命题正确的是（）A.若，则数列有最大项B.若数列有最大项，则C.若数列是递增数列，则对任意，均有D.若对任意，均有，则数列是递增数列【答案】ABD【解析】【分析】由题意，分、分别讨论对应的函数性质可判断A，B；若数列是递增数列，则，若数列是递减数列，则分析可判断C，D.【详解】因为，若，对应二次函数开口向下，由二次函数的性质可知，数列有最大项，正确；若，二次函数开口向上，无最大项故若数列有最大项，有，B正确；若数列是递增数列，则，若，则，故不一定对任意，均有，C错误；若数列是递减数列，则，一定存在实数，当时，之后所有项都为负数，不能保证对任意，均有故若对任意，均有，有数列是递增数列，D正确．故选：ABD12.在正方体中，点E，F满足，，且x，y，．记EF与所成角为，与平面ABCD所成角为，则（）A.若，三棱锥E-BCF的体积为定值B.若，则C.，D.，总存在，使得平面【答案】ACD【解析】【分析】对于A：确定以及点到面距离的取值情况即可判断；对于B：假设，找出矛盾即可判断；对于C：过作交于，连接，找到和即可判断；对于D：作图，然后证明平面即可.【详解】对于A：若，点在过线段的三等分点（靠近点）并且与平行的线上，因为点在线段上，且，所以点到线段的距离为定值，则为定值，又点到面，即面的距离不变，所以为定值，A正确；对于B：若，则点为线段的中点，点为线段的交点，若，又，且面，，所以面，又面，所以，设正方体的棱长为，则，此时，即，与矛盾，故不正确，B错误；对于C：，则点在线段上（不含端点），点在正方形内（不含边界），过作交于，连接，则为EF与所成角，即，因为面，，所以面，则为与平面ABCD所成角，即，因为为直角三角形，所以，C正确；对于D：过作交于，过作交于，连接，此时满足，，，，接下来只需要证明平面即可，因为，面，面，所以面，又，面，面，所以面，又，且面，所以面面，又面，所以平面，所以，总存，使得平面，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.盒中有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1、2、3、4，现从中任取两个小球，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为_____________．【答案】【解析】【分析】求出总的基本事件数，然后求出符合题目要求结果的基本事件数，再利用古典概型的公式求解即可.【详解】首先从中任取两个小球有共个基本事件，取出的小球中至少有一个号码为奇数有共个基本事件，所以取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为.故答案为：.14.已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，点，若，则直线的斜率为______.【答案】【解析】【分析】由条件可得，然后求出点的坐标，然后由可得答案.【详解】因为，，，所以，所以，，所以，故答案为：.15.已知为等差数列的前n项和，若，，则_____________．【答案】【解析】【分析】先根据条件列方程组求出首项和公差，再利用等差数列的通项公式求解即可.【详解】设等差数列的公差为，由得，整理得①由得，整理得②，由①②得，所以.故答案为：.16.在三棱锥中，，，点在上，，为中点，则_____________．【答案】【解析】【分析】将向量用向量表示出来，然后平方求解即可.【详解】由已知得，则，所以.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列是公差不为0的等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前10项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用等差等比数列的通项公式列方程求解即可；（2）通过分组求和，利用等差等比的求和公式求解.【小问1详解】设数列是公差为，等比数列的公比为，由已知得，，，，所以，解得（舍去）或，所以；【小问2详解】由（2）的，所以数列的前10项和为.18.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，且边AB上的高等于．（1）求角A的值；（2）若的面积为18，求边BC的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意运用正弦定理边化角，即可得结果.（2）根据面积关系可得，再利用余弦定理运算求解.【小问1详解】因为，由正弦定理可得：，且，则，可得，即，且，所以.【小问2详解】由的面积可得，即，解得，由余弦定理可得，即，所以边BC的长为.19.已知圆O：，直线．（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值；（2）若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据垂径定理得圆心到直线距离，再利用点到直线距离公式求解；（2）将四边形的面积的最小值转化为求的面积最小值，根据求其最小值即可.【小问1详解】当时，由垂径定理得圆心到直线的距离为，则，解得；【小问2详解】当时，直线，即由已知得又，所以的最小值为，又因为四边形的面积的为，所以其最小值为20.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，．（1）求证：：（2）当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取线段的中点，连接，通过证明面可得结论；（2）通过证明出两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角.小问1详解】取线段的中点，连接，由分别时线段的中点可得所以四点共面，在直三棱柱中，侧面为正方形，，则侧面也为正方形，且，所以，则，所以，又，面，所以面，又面，所以；【小问2详解】由（1）得面，又面，所以，又，面，所以面，又，所以面，又面，所哟，故两两垂直，如图建立空间直角坐标系，，则设平面的一个法向量为，则，取可得，又平面的一个法向量为，设平面与平面所成锐二面角为所以.21.已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．数列满足，数列的前n项和等于．（1）求数列的前n项和；（2）求数列的通项公式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式列方程求出首项和公比，然后利用求和公式求和即可；（2）先利用，求出，然后构造关于数列的常数数列求解即可.【小问1详解】由已知①，又，即②由①②得，所以，所以；【小问2详解】因为数列的前n项和等于，所以当时，，所以，又，即，符合，所以当时，，即，所以数列常数数列，所以，则.22.设双曲线C：（，）的右焦点为F，点O为坐标原点，过点F的直线与C的右支相交于A，B两点．（1）当直线与x轴垂直，且两点的距离等于双曲线C的实轴长时，求双曲线C的离心率；（2）若双曲线C的焦距为4，且恒成立，求双曲线C的实轴长的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接根据通径等于实轴长列式计算即可；（2）设直线的方程为，与双曲线联立