湖南省衡阳市2024-2025学年高三上学期期末质量检测数学试卷 含答案

高考资源网(）您身边的高考专家（AI教学）订购热线密★启用前2024年下学期高三期末质量检测数学本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知复数，则A. B. C. D.13.已知非零向量，满足，且，则与的关系是A.垂直 B.共线 C.夹角为 D.夹角为4.已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是A. B.（0，4） C. D.5.设，分别是椭圆的左、右焦点，过点作轴的垂线交于，两点，其中点在第一象限，且.若是上的动点，则满足是直角三角形的点的个数为A.0 B.2 C.4 D.66.正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为A.3 B.4 C.5 D.67.已知数列满足，则下列说法正确的是A.所有项恒大于等于B.若，则是单调递增数列C.若是常数列，则D.若，则是单调递增数列8.在平面直角坐标系中，，，，其中，，，则当面积最小时，A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.9.设样本空间含有等可能的样本点，且，，，则下列结论正确的是A. B.C. D.10.斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于，两点，与双曲线交于，两点，是线段的中点，则下列说法正确的是A.是双曲线两条渐近线所构成的“X”形图象的方程B.也是线段的中点C.若过双曲线的焦点，则直线的斜率是D.若过双曲线的焦点，点的坐标为（2，1），则11.已知的定义域为非零有理数集，且满足下面三个性质：①；②；③当时，，其中下列说法正确的是A.若，，则B.恰有两个整数解C.若，，则，，中至少有两个相等D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则__________.13.用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求每个正四面体四个面颜色各不相同.我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用了同一种上色模式.那么不同的上色模式共有__________种.14.在平面直角坐标系中，射线，，半圆.现从点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线，时会发生镜面反射.设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在中，角，，所对的边分别为，，，，，.（1）求的外接圆半径；（2）若为锐角三角形，求周长的取值范围.16.（15分）如图，正方体的棱长为1，点，分别在线段，上，且，.（1）若，证明：；（2）若，点，分别在直线，上，且，，求的取值范围.17.（15分）箱子里有四张卡片，分别写有数字1，2，3，4，每次从箱子中随机抽取一张卡片，各卡片被抽到的概率均为，记录卡片上的数字，然后将卡片放回箱子.重复这个操作，直到满足下列条件之一结束：（a）第一次抽取的卡片上写的数字是4；（b）设为大于等于2的整数，第次抽取的卡片上写的数字大于第次抽取的卡片上写的数字.例如，当记录的数字依次为3，2，2，4时，这个操作在第4次结束.（1）若操作进行了4次仍未结束，求前四次抽取的情况总数；（2）求操作在第次结束的概率.18.（17分）已知函数，.（1）设直线与曲线交于点，求点纵坐标的最小值；（2）a取遍全体正实数时，曲线在坐标平面上扫过一片区域，该区域的下边界为函数，求的解析式；（3）证明：当时，对任意正实数，.（附：）19.（17分）在直角坐标系中，椭圆经过点，短半轴长为.过点作直线交于，两点，直线交轴于点，直线交轴于点，记直线，的斜率分别为和.（1）求的标准方程；（2）证明是定值，并求出该定值；（3）设点，证明上存在异于其上下顶点的点，使得恒成立，并求出所有满足条件的点坐标.2024年下学期高三期末质量检测·数学参考答案、提示及评分细则1.【答案】B【解析】表示满足的奇数，.2.【答案】D【解析】.3.【答案】B【解析】，，即两者共线.4.【答案】A【解析】.5.【答案】C【解析】，，.，即，取上顶点时最大..不会为直角，只有当或是直角才符合题意.6.【答案】D【解析】如左图所示作截面，得到右图，由勾股定理可得高为6.7.【答案】D【解析】A错，首项不一定成立；B错，，，而；C错，还可以令；D对，，因为，所以是单调递增数列.8.【答案】C【解析】如图所示，设，，，，，所以由可得，，记，则，时，，即，时可取最小值而.9.【答案】ABD【解析】A.，A正确；B.，B正确；C.，而，C错误；D.，D正确.10.【答案】ABD【解析】A.，或，这恰为双曲线两条渐近线，A正确；B.分别联立与，得和这两式的两根之和都是，所以，共用同一个中点，B正确；C.点差法可得直线的斜率是，C错误；D.由C选项可知，即，D正确.11.【答案】AC【解析】A选项：先证是偶函数，令，有，即；令，有，即；令，有，即是偶函数；因为，，所以，A正确；B选项：假设选项正确，则对于任意除1和-1以外的整数，有，即，，而，且，所以，，矛盾，故B错误.C选项：，所以，若，结论显然成立；若，则，即或，结论依然成立，C正确；D选项：，，D错误.12.【答案】【解析】，.13.【答案】2【解析】假设一个正四面体四个顶点为，，，，则作底面顶点时，通过旋转，除底面外三个面的朝向有三种，如图所示：同理，，作底面顶点时也分别有3种，一共有12种，即一个正四面体可以通过旋转得到12种朝向.因为四种颜色的排列数有种，所以一共有种不同的上色模式.14.【答案】【解析】将半圆依次沿着，，对称，如图所示：光线在镜面发生反射可以等效处理为：光线进入了镜子后的空间，因此问题就转化为光线如何与镜子内外的圆没有交点，光线变化的范围如图所示.只需考虑光线与，，相切时的斜率，按上图写出范围即可.15.【解析】（1），根据正弦定理，可把原式化简为，即，再由余弦定理得由于，所以， ……2分，根据解得，所以的外接圆半径为. ……5分（2）由（1）知，，，，由正弦定理有，所以， ……8分因为为锐角三角形，所以， ……10分所以，则，所以，则.所以周长的取值范围为. ……13分16.【解析】（1）连接，，则是的中点，所以，因为面，面，所以，所以. ……4分（2）以点为原点，，，方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，所以，，所以， ……6分又，设直线的方向向量为，则由得，又， ……8分所以 ……10分由得， ……11分易知在单调递减，单调递增所以，所以. ……15分17.【解析】（1）15种：1111，2111，3111，2211，3211，3311，2221，3221，3321，3331，2222，3222，3322，3332，3333. ……4分（2）设操作在第次结束的概率为，操作在第次未结束的概率为.当时， ……6分当时，.接下来我们讨论操作进行了次，但是并没有结束的情形，抽取的数字结构如下所示：分别设序列中的3，2，1的个数为，，，可知.利用隔板法，可以知道对应情形的数量，操作如下：令，，，即，一共有种情形， ……10分各情形概率均为，所以有.当时，. ……13分经检验，其对依然成立，即. ……15分18.【解析】（1）时，.令，当且仅当时等号成立，所以点纵坐标的最小值为. ……4分（2），令，则①当，即时，，在上单调递增，； ……7分②当，即时，由，在上单调递减，在上单调递增，.综上所述，. ……10分（3）由第（2）问可知恒成立，所以只需证明即可.①若，构造因为，所以在上恒成立，在上单调递增，所以，即在上恒成立； ……13分②若，，因为，所以构造，则.令，则，所以在单调递增，而，所以恒成立，在单调递增，.因为，即，，所以，而，即证在上恒成立 ……17分19.【解析】（1）由已知得的标准方程为. ……4分（