2025高考数学二轮复习-专题3 数列 第2讲 数列的递推关系【课件】

第2讲数列的递推关系2025基础回扣•考教衔接以题梳点•核心突破目录索引

基础回扣•考教衔接1.(人A选必二4.2.2节习题改编)如果数列{an}的前n项和Sn=n2+2n,那么a12的值为(

)A.23 B.24 C.25 D.26C解析

由数列{an}的前n项和Sn=n2+2n,可得a12=S12-S11=122+2×12-(112+2×11)=25.故选C.2.(人A选必二4.1节习题改编)已知数列{an}满足a1=9,an+1-an=n,则a4=(

)A.20 B.18 C.15 D.10解析

因为an+1-an=n,则a4-a3=3,a3-a2=2,a2-a1=1,相加可得a4-a1=6,即a4=a1+6,且a1=9,所以a4=a1+6=15.故选C.CB4.(人A选必二4.1节习题改编)设Sn为数列{an}的前n项和,且an=2Sn+5,则S2024=(

)A.-2024 B.2024 C.-5 D.0D真题体验1.(2023·天津,5)已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,an+1=2Sn+2(n∈N*),则a4=(

)A.16 B.32 C.54 D.162解析

当n≥2,n∈N*时,an=2Sn-1+2,所以an+1-an=2an,即an+1=3an.当n=1时,a2=2Sn+2=2a1+2=6=3a1,所以数列{an}是首项为2,公比为3的等比数列,则a4=a1q3=54.故选C.C2.(2024·新高考Ⅰ,8)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时,f(x)=x,则下列结论中一定正确的是(

)A.f(10)>100 B.f(20)>1000C.f(10)<1000 D.f(20)<10000B解析

∵当x<3时,f(x)=x,∴f(1)=1,f(2)=2.∵f(x)的定义域为R,且f(x)>f(x-1)+f(x-2),∴f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5,f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21,f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89,f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377,f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987,f(16)>f(15)+f(14)>1

000.∴f(20)>1

000.结合各选项知,选项B一定正确.以题梳点•核心突破考点一通项公式an与Sn的关系

解得a1=2.故an=2+2(n-1)=2n.[对点训练1](2024·四川南充二模)在数列{an}中,Sn是其前n项和,且3Sn-an=64.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若∀n∈N*,λ-1<Sn≤4λ+4恒成立,求实数λ的取值范围.考点二累加、累乘法例2(2024·江西南昌一模)对于各项均不为零的数列{cn},我们定义:数列

为数列{cn}的“k-比分数列”.已知数列{an},{bn}满足a1=b1=1,且{an}的“1-比分数列”与{bn}的“2-比分数列”是同一个数列.(1)若{bn}是公比为2的等比数列,求数列{an}的前n项和Sn;(2)若{bn}是公差为2的等差数列,求an.当n≥2时,an=(an-an-1)+…+(a2-a1)+a1=2+4+…+2n=n(n+1).当n=1时,1×(1+1)=2=a1,所以an=n(n+1).(2)设数列{bn}的公差为d,因为4b2=4b1+b4⇒4(b1+d)=5b1+3d,得d=b1,易知bn=b1n.考点三构造辅助数列考向1形如an+1=pan+f(n)型

例3(1)(2024·陕西榆林期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,an+1=Sn+2n+1,a1=2,则Sn=(

)A.(n+1)·2n B.(n+1)·2n-1 C.n·2n-1

D.n·2nD(2)(2024·江苏南通三模)设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn+n=2an,则a7=(

)A.65 B.127 C.129 D.255B解析

当n=1时,a1+1=2a1,则a1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-[2an-1-(n-1)]=2an-2an-1-1,∴an=2an-1+1,∴an+1=2(an-1+1),a1+1=2≠0,∴{an+1}是2为首项,2为公比的等比数列,∴a7+1=2×26=27=128,∴a7=127.故选B.[对点训练3](1)(2023·山东菏泽三模)已知数列{an}的前n项和为Sn,若满足Sn=4an-3,则Sn=(

)C(2)在数列{an}中,a1=-1,an+1=2an+4·3n-1,则an=

.

4·3n-1-5·2n-1解析

(方法一)原递推式可化为an+1+λ·3n=2(an+λ·3n-1).比较系数得λ=-4,故an+1-4·3n=2(an-4·3n-1),则数列{an-4·3n-1}是首项为a1-4×31-1=-5,公比为2的等比数列,∴an-4·3n-1=-5·2n-1,即an=4·3n-1-5·2n-1.考向2形如an+1=pan+qan-1(其中a1=a,a2=b)型

例4(1)(多选题)(2024·广东佛山模拟)已知数列{an}的前n项的和为Sn,S1=4,S2=8,4Sn=Sn+1+4Sn-1(n≥2),则下列说法正确的是(

)A.S4=32B.{an+1-2an}是等比数列AD解析

由题意可知S3=4S2-4S1=16,所以S4=4S3-4S2=32.故A正确;因为a3-2a2=S3-S2-2(S2-S1)=S3-3S2+2S1=0,所以{an+1-2an}不能是等比数列.故B错误;因为4Sn=Sn+1+4Sn-1(n≥2),即Sn+1=4Sn-4Sn-1(n≥2),所以Sn+1-2Sn=21(Sn-2Sn-1)=22(Sn-1-2Sn-2)=…=2n-1(S2-2S1)=0,所以Sn+1-2Sn=0,即

=2.(2)已知在数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),则这个数列的通项公式an=

.

解析

∵an=2an-1+3an-2,∴an+an-1=3(an-1+an-2).又a1+a2=7,∴{an+an-1}是首项为7,公比为3的等比数列,则an+an-1=7×3n-2(n≥2).①又an-3an-1=-(an-1-3an-2),a2-3a1=-13,∴{an-3an-1}是首项为-13,公比为-1的等比数列,则an-3an-1=(-13)×(-1)n-2(n≥2).②①×3+②得4an=7×3n-1+13×(-1)n-1,解析

由题意知an+2-an+1=an+1-an,所以{an}为等差数列.设公差为d,由题意得2=8+3d,则d=-2,得an=8-2(n-1)=10-2n.(2)在数列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,则an=

.

解析

由题意知an+2-an+1=2(an+1-an),∵a2-a1=2,∴{an-an-1}是首项为2,公比为2的等比数列,an-an-1=2n-1(n≥2),当n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1==2n-1.显然当n=1时满足上式,∴an=2n-1.[对点训练4](1)(2024·湖北荆州质测)