2025高考数学二轮复习-微培优6 用函数视角看数列【课件】

微培优6用函数视角看数列2025数列是特殊的函数,而等差数列的通项为一元一次函数类,和为一元二次函数类;等比数列为指数函数类;所以在数列中求最大(小)项、前n项和的最大(小)值以及在证明与数列有关的不等式时,都可以转化为利用函数的性质来解决.角度一数列的单调性及其应用例1(2024·山东名校联考模拟)已知数列{an}满足a1=2,|an+1-an|=d·qn,n∈N*.(1)若q=1,{an}为递增数列,且2,a5,a7+3成等比数列,求d;(2)若d=1,q=,且{a2n-1}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{an}的通项公式.角度二数列的周期性例2(1)(2024·山东济宁三模)已知数列{an}中,a1=2,a2=1,an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),则a2024=(

)A.-2 B.-1 C.1 D.2C解析

由a1=2,a2=1,an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),得a3=a2-a1=-1,a4=a3-a2=-2,a5=a4-a3=-1,a6=a5-a4=1,a7=a6-a5=2,a8=a7-a6=1,…,则{an}是以6为周期的周期数列,所以a2

024=a337×6+2=a2=1.故选C.A.该数列是周期数列且周期为3B.该数列不是周期数列BC角度三数列中的最值、范围问题例3(2022·全国甲,理17)记Sn为数列{an}的前n项和.已知

+n=2an+1.(1)证明:{an}是等差数列;(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.(1)证明

因为

+n=2an+1,所以2Sn+n2=2nan+n.①当n≥2时,2Sn-1+(n-1)2=2(n-1)an-1+(n-1),②①-②得,2Sn+n2-2Sn-1-(n-1)2=2nan+n-2(n-1)an-1-(n-1),即2an+2n-1=2nan-2(n-1)an-1+1,即2(n-1)an-2(n-1)an-1=2(n-1),所以an-an-1=1,n≥2且n∈N*,所以{an}是以1为公差的等差数列.规律方法

针对训练1.(1)(2024·湖北黄冈模拟)已知数列{an}是等比数列,则“存在正整数k,对于∀t∈N*,at>at+k恒成立”是“{an}为递减数列”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件C解析

取两种特殊情况说明充分性,当k=1时显然成立;当k=4时,理由如下:因为{an}是等比数列,设公比为q(q≠0),则an≠0,当∀t∈N*,at>at+4时,at>atq4,即at(q2-1)(q2+1)<0,若at>0,则-1<q<1,且q≠0,当q<0时,at+1=atq<0,与假设矛盾,舍去,故0<q<1,此时at+1=atq<at,则{an}为递减数列,若at<0,则q<-1或q>1,当q<-1时,at+1=atq>0,与假设矛盾,舍去,故q>1,此时at+1=atq<at,则{an}为递减数列.综上,存在k=4,使∀t∈N*,at>at+4时,{an}为递减数列,即充分性成立.当{an}为递减数列时,at>at+1>at+2>at+3>at+4,即∀t∈N*,at>at+4成立,即必要性成立.故选C.(2)(2022·北京,15)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和Sn满足an·Sn=9(n=1,2,…).给出下列四个结论:①{an}的第2项小于3;②{an}为等比数列;③{an}为递减数列;④{an}中存在小于

的项,其中所有正确结论的序号是

.

①③④A(2)(多选题)(2024·福建福州期末)任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈1→4→2→1.比如取正整数m=8,根据上述运算法则得出8→4→2→1→4→2→1.猜想的递推关系如下:已知数列{an}满足a1=5,

设数列{an}的前n项和为Sn,则下列结论正确的是(

)A.a3=8

B.a5=2C.S10=49 D.S300=722ABDa10=3×1+1=4,所以S10=5+16+8+4+2+1+4+2+1+4=47,所以A,B正确,C错误.因为数列{an}中从第4项起以4,2,1循环,而(300-3)÷3=99,所以S300=(5+16+8)+99×(4+2+1)=722,所以D正确,故选ABD.3.(2024·陕西西安模拟)在①a1=1,a1,a3,a9成等比数列;②a2+a4=6,a1a5=5;

问题:已知数列{an}是公差为正数的等差数列,

.

(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列

的前n项和为Sn,对任意的n∈N*有m-3<Sn<m恒成立,求m的取值范围.解

(1)选择条件①:因为数列{an}是公差为正数的等差数列,设公差为d(d>0),且a1=1,a1,a3,a9成等比数列,所以

=a9a1,即(1+