线性变换的矩阵表示及相似矩阵

线性变换的矩阵表示及相似矩阵线性变换的矩阵表示及相似矩阵【例5-8】中，我们通过任意一个n阶方阵A，可以定义n维向量空间Rn的一个线性变换σA.这一节，主要介绍一般的n维线性空间上的线性变换与n阶矩阵之间的关系.线性变换的矩阵表示一、设V是数域F上的一个线性空间，α1,α2,…,αn是V的一组基，σ是V上的一个线性变换.那么，对于任意的α∈V，存在一组唯一确定的数k1,k2,…,kn，使得

α=k1α1+k2α2+…+knαn（5-4）也可以把上式写成矩阵形式

其中(k1,k2,…,kn)T是α的坐标向量，(α1,α2,…,αn)是以V中向量为分量的向量表达式.（5-5）由上一节的性质5-2，用σ作用式（5-4）的左右两端，得到σ(α)=k1σ(α1)+k2σ(α2)+…+knσ(αn)

这就说明，如果确定了V的一组基α1,α2,…,αn在σ下的像σ(α1),σ(α2),…,σ(αn)，那么V中任意元素α的像σ(α)也就确定了，从而线性变换σ就确定了.下面，将证明一个线性变换完全被它在一组基上的作用所唯一确定，但基向量的像可以是任意的.定理5-2设V是数域F上的一个线性空间，向量α1,α2,…,αn是V的一组基.如果v1,v2,…,vn是V中任意的n个向量，那么存在V上唯一的线性变换σ，使得

σ(αi)=vi,i=1,2,…,n（5-6）证明首先证明线性变换σ的存在性.设任意的α∈V，则存在k1,k2,…,kn，使得式（5-4）成立，即α可以写成因此于是σ是一个线性变换.又因为每个αi在基α1,α2,…,αn下的坐标向量为εi=(0,…,0,1,0,…,0)T，即αi=0α1+…+0αi－1+αi+0αi+1+…+0αn,i=1,2,…,n

那么σ(αi)=0v1+…+0vi－1+vi+0vi+1+…+0vn=vi,i=1,2,…,n

因此，σ满足式（5-6）.其次证明满足式（5-6）的σ是唯一的.假设还有一个线性变换τ也满足式（5-6），即

τ(αi)=vi,i=1,2,…,n

那么对于任意的

，就有因此σ=τ，即满足式（5-6）的线性变换是唯一的.下面就建立n维线性空间上的线性变换与n阶矩阵之间的对应.定义5-9设V是数域F上的一个线性空间，α1,α2,…,αn是V的一组基，σ是V上的一个线性变换.如果基向量α1,α2,…,αn在σ下的像σ(α1),σ(α2),…,σ(αn)∈V被基α1,α2,…,αn的线性表出关系为（5-7）记σ(α1,α2,…,αn)=［σ(α1),σ(α2),…,σ(αn)］那么式（5-7）可以写成矩阵形式σ(α1,α2,…,αn)=(α1,α2,…,αn)A（5-8）其中称式（5-8）的矩阵A为σ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示.σ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示A是式（5-7）右端α1,α2,…,αn的系数矩阵的转置；矩阵A的第j列(a1j,a2j,…,anj)T就是σ(αj)在基α1,α2,…,αn下的坐标向量，j=1,2,…,n.提示上一节中，定义了线性空间V上的单位变换ι和零变换0，即

ι(α)=α,0(α)=0,α∈V

显然，单位变换ι在V的任意一组基下的矩阵表示均为单位矩阵E，而零变换0在V的任意一组基下的矩阵表示均为零矩阵O.设F3［x］={f(x)=a2x2+a1x+a0|a0,a1,a2∈F}是所有次数小于3的多项式的全体.在前面我们指出，按照多项式的加法和数量乘法，F3［x］是数域F上的一个3维线性空间，1,x,x2是这个空间的一组基.多项式的微商运算δ是线性空间F3［x］上的一个线性变换.由于δ(1)=0，δ(x)=1，δ(x2)=2x那么微商δ在基1,x,x2的矩阵表示为【例5-9】在上一节【例5-7】的平面解析几何中，定义了将平面绕原点O逆时针旋转θ角的线性变换Tθ.取定R2中的基ε1=(1,0)T,ε2=(0,1)T，则容易验证Tθ在这组基下的矩阵即为【例5-10】在空间R3中，取定一个直角坐标系{O;e1,e2,e3}.对于R3中的任意一个向量xe1+ye2+ze3，令ρ(xe1+ye2+ze3)=xe1+ye2，显然ρ是R3的一个线性变换.又e1,e2,e3是R3的一组基，直接验证可得ρ关于这组基的矩阵表示为【例5-11】由于一个向量在一组固定的基下的坐标是唯一的，那么一个线性变换在一组固定的基下的矩阵表示也是唯一的.因此，取定线性空间V的一组基以后，就建立了V上所有线性变换的集合End(V)到数域F上所有n阶方阵的集合Mn(F)之间的一个映射.定理5-3设V是数域F上的一个n维线性空间，α1,α2,…,αn是V取定的一组基.定义集合End(V)到Mn(F)的一个对应φ，对任意的σ∈End(V)满足：φ(σ)=A，如果A是σ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示，那么φ是End

(V)到Mn(F)的一个一一对应.证由前面的讨论，φ是End

(V)到Mn(F)的一个映射.而对于任意的A∈Mn(F)，令(v1,v2,…,vn)=(α1,α2,…,αn)A

其中vi(i=1,2,…,n)是V中任意的向量.根据定理5-2，则存在V上的一个线性变换σ，满足σ(αi)=vi,i=1,2,…,n由于［σ(α1),σ(α2),…,σ(αn)］=(v1,v2,…,vn)=(α1,α2,…,αn)A

故矩阵A是σ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示.因此φ(σ)=A.这样φ是一个满射.另外，如果对于σ,τ∈End(V)，有φ(σ)=φ(τ)=A，即σ和τ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示均为A，那么［σ(α1),σ(α2),…,σ(αn)］=［τ(α1),τ(α2),…,τ(αn)］=(α1,α2,…,αn)A

从而σ(αi)=τ(αi),i=1,2,…,n

根据定理5-2，于是σ=τ，即φ是一个单射.这样φ就是End(V)到Mn(F)的一个一一对应.定理说明，在给定的一组基下，n维线性空间上的线性变换和n阶方阵是一一对应的.提示

下面讨论，当固定线性空间V的一组基以后，如何利用线性变换σ的矩阵表示A来求一个向量α的像σ(α).定理5-4设V是数域F上的一个线性空间，线性变换σ在V的一组基α1,α2,…,αn下的矩阵表示为A.如果向量α∈V在α1,α2,…,αn下的坐标向量为(k1,k2,…,kn)T，那么σ(α)在α1,α2,…,αn下的坐标向量证由于α∈V在α1,α2,…,αn下的坐标向量为(k1,k2,…,kn)T，那么由于一个向量在一组基下的坐标向量是唯一的，因此σ(α)在α1,α2,…,αn下的坐标向量(l1,l2,…,ln)T即为在定理5-3中，映射φ建立了集合End(V)到Mn(F)的一一对应，更重要的，这个映射φ还保持End(V)中的运算.定理5-5设V是数域F上的一个n维线性空间，α1,α2,…,αn是V中取定的一组基，φ是定理5-3中定义的End(V)到Mn(F)的一一对应.那么，对于任意σ,τ∈End(V)，k∈F，有（1）φ(σ+τ)=φ(σ)+φ(τ).（2）φ(στ)=φ(σ)φ(τ).（3）φ(kσ)=kφ(σ).（4）如果σ是可逆的线性变换，那么φ(σ)为可逆矩阵，且φ(σ)－1=φ(σ－1).证设φ(σ)=A，φ(τ)=B，即σ,τ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示分别为矩阵A,B，且σ(α1,α2,…,αn)=［σ(α1),σ(α2),…,σ(αn)］=(α1,α2,…,αn)Aτ(α1,α2,…,αn)=［τ(α1),τ(α2),…,τ(αn)］=(α1,α2,…,αn)B（1）因为(σ+τ)(α1,α2,…,αn)=［(σ+τ)(α1),(σ+τ)(α2),…,(σ+τ)(αn)］=［σ(α1)+τ(α1),σ(α2)+τ(α2),…,σ(αn)+τ(αn)］=［σ(α1),σ(α2),…,σ(αn)］+［τ(α1),τ(α2),…,τ(αn)］=(α1,α2,…,αn)A+(α1,α2,…,αn)B=(α1,α2,…,αn)(A+B)所以，由线性变换在固定的一组基下的矩阵表示是唯一的，σ+τ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示为矩阵A+B，即

φ(σ+τ)=φ(σ)+φ(τ).（2）因为(στ)(α1,α2,…,αn)=［(στ)(α1),(στ)(α2),…,(στ)(αn)］={σ［τ(α1)］,σ［τ(α2)］,…,σ［τ(αn)］}=σ［τ(α1),τ(α2),…,τ(αn)］=σ［τ(α1,α2,…,αn)］=σ［(α1,α2,…,αn)B］=［σ(α1,α2,…,αn)］B=［(α1,α2,…,αn)A］B=(α1,α2,…,αn)AB因此，στ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示为矩阵AB，即φ(στ)=φ(σ)φ(τ).（3）另外，由于(kσ)(α1,α2,…,αn)=［(kσ)(α1),(kσ)(α2),…,(kσ)(αn)］=［kσ(α1),kσ(α2),…,kσ(αn)］=kσ(α1,α2,…,αn)=k(α1,α2,…,αn)A=(α1,α2,…,αn)kA故kσ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示为矩阵kA，即φ(kσ)=kφ(σ).（4）如果σ是可逆的线性变换，不妨设τ就是σ的逆变换，即τ=σ－1，且

στ=τσ=ι那么，根据（2）知，φ(στ)=φ(σ)φ(τ)=φ(ι)，φ(τσ)=φ(τ)φ(σ)=φ(ι)又因为A，B是σ,τ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示，单位矩阵E是单位变换ι的矩阵表示.因此，矩阵A,B满足AB=BA=E

即A是可逆矩阵，且B=A－1.于是φ(σ)为可逆矩阵，且φ(σ)

－1=φ(σ－1).相似矩阵二、一个线性变换的矩阵表示是与线性空间的一组基联系在一起的.但是，一个线性空间的基一般不是唯一的.那么，同一个线性变换在不同的基下的矩阵表示是不是相同呢？这个问题的回答是否定的.对于数域F上的线性空间F3［x］，我们直接验证可得1,x+1,(x－1)2也是F3［x］的一组基.事实上，由k1+k2(x+1)+k3(x－1)2=0

即(k1+k2+k3)+(k2－2k3)x+k3x2=0，有k1=k2=k3=0.因此1,x+1,(x－1)2线性无关.另外，对于任意的f(x)=a2x2+a1x+a0∈F3［x］，显然有f(x)=a2(x－1)2+(a1+2a2)(x+1)+(a0－a1－3a2)【例5-12】即F3［x］中的任意向量均可由1,x+1,(x－1)2线性表出.因此1,x+1,(x－1)2是线性空间F3［x］的一组基.那么，F3［x］上的线性变换δ（多项式的微商运算）对这组基1,x+1,(x－1)2的作用为δ(1)=0，δ(x+1)=1，δ［(x－1)2］=2x－2

因此，δ在基1,x+1,(x－1)2的矩阵表示为【例5-9】和【例5-12】表明，F3［x］上的线性变换δ在两组不同的基下的矩阵是不同.那么，同一个线性变换在不同基下的矩阵表示会有什么联系呢？首先给出关于矩阵的如下定义.定义5-10设A，B是两个n阶方阵.如果存在一个n阶可逆矩阵P，使得P－1AP=B

则称A与B相似，或者说B是A的相似矩阵.通常将A与B相似记作A～B.矩阵之间的相似关系满足如下性质：（1）自反性：A～A.（2）对称性：如果A～B，那么B～A.（3）传递性：如果A～B，B～C，那么A～C.其中A，B,C均为n阶方阵.证留给读者证明.有了矩阵之间的相似概念之后，我们给出同一个线性变换在不同基下的矩阵表示的关系.定理5-6设V是数域F上的一个线性空间，α1,α2,…,αn和β1,β2,…,βn是V的两组基，σ是V上的一个线性变换.如果基α1,α2,…,αn到基β1,β2,…,βn的过渡矩阵为P，σ在这两组基下的矩阵表示分别为A，B，那么P－1AP=B

即A～B.换句话说，同一个线性变换在不同基下的矩阵表示是相似的.证由于基α1,α2,…,αn到基β1,β2,…,βn的过渡矩阵为P，σ在这两组基下的矩阵表示分别为A，B，则有(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)Pσ(α1,α2,…,αn)=(α1,α2,…,αn)Aσ(β1,β2,…,βn)=(β1,β2,…,βn)B

于是(β1,β2,…,βn)B=σ(β1,β2,…,βn)=σ［(α1,α2,…,αn)P］=σ(α1,α2,…,αn)P=［(α1,α2,…,αn)A］P=(α1,α2,…,αn)AP=［(β1,β2,…,βn)P－1］AP=(β1,β2,…,βn)P－1AP由于在同一组基下的矩阵表示是唯一的，所以P－1AP=B反过来，如果A和B是两个相似的n阶方阵，即存在可逆矩阵P，使得P－1AP=B

那么，根据定理5-3，存在数域F上的n维线性空间V的一个线性变换σ，满足σ关于V的基α1,α2,…,αn的矩阵表示为A，即σ(α1,α2,…,αn)=［σ(α1),σ(α2),…,