2024-2025学年北师版九年级数学上学期期末模拟考试卷

-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：北师大版九年级上册、下册。5．难度系数：0.55。第一部分（选择题共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．下列方程中，是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．2．如图，在中，对角线相交于点，添加下列一个条件，能判定是菱形的是（

）A． B． C． D．3．中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩，奥运会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，它的左视图是（

）A． B．C． D．4．如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（

）A． B． C． D．5．在中，，那么的值等于（）A． B．43 C． D．456．如图，点A，B，C均在上，若，则（

）A． B． C． D．7．如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的个数是（

）A． B． C． D．8．如图，矩形的对角线交于点，，，为等边三角形，点是直线上一点，连接，则线段的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．第二部分（非选择题共96分）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）9．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为．10．一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，这些球除颜色外都相同．小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.3左右，则可估计红球的个数约为个．11．黄金分割在生活中的应用十分广泛，例如大多数窗户的宽和长的比是黄金比，已知某扇宽与长的比等于黄金比的矩形窗户的长为米，则宽为米．（结果保留根号）12．如图，点在轴上，分别以，为边，在轴上方作正方形，，反比例函数的图像分别交边，于点．作轴于点，轴于点．若，为的中点，且阴影部分面积等于，则的值为．13．如图，四边形为矩形，，点E在边上，从点D运动到点C，运动速度为每秒2个单位，点F从点A开始沿射线方向运动，运动速度为每秒3个单位，当点E停止时，点F也随之停止．连接和交于点G，直线交直线于点M，则的最小值为．三、解答题（本大题共13小题，满分81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）14．（5分）解方程：．15．（5分）如图，在菱形中，分别是边、上的点，，连接，交于点．求证：．16．（5分）如图，在中，请用尺规作图法，在边确定一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹）17．（5分）某商场销售一种服装，原价卖时，该服装每日销售额为4500元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价促销．经过两轮的促销活动后，该服装每日的销售额增长至6480元，求该种服装日销售额的每轮平均增长率．18．（5分）如图，在中，，于，作于．求证：；19．（5分）如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点坐标分别为．(1)以原点O为位似中心,在y轴左侧画出的位似,与的相似比为,点对应点分别为点；(2)在(1)的情况下直接写出点的坐标．20．（6分）如图，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同），转盘甲上的数字分别是，转盘乙上的数字分别是（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．

(1)单独转动转盘甲一次，转盘甲指针指向正数的概率是；(2)若同时转动两个转盘一次，请用列表法或画树状图法，求两个转盘指针所指的数字乘积为负数的概率．21．（6分）某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，并尽可能减少库存，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．设销售单价提高x元（x为正整数）．(1)求当售价定为多少元时，每天的利润为140元？(2)假设这种商品每天的销售利润为w元，商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元．22．（7分）如图，在四边形中，，于点，点是延长线上一点，，于点．

(1)求证：四边形是菱形；(2)若平分，，，求和的长．23．（7分）小明和爸爸想利用测角仪和阳光下的影子来测量一古树（底部不可到达）的高．如图所示：在阳光下，小明爸爸站在古树影子的顶端D处，此时，小明量得爸爸的影长；然后，小明从D点往古树方向走了3m到达点F，并用测角仪测得树顶端A的仰角为（测角仪高度不计）．已知爸爸身高，点E、D、F、B在同一条直线上，，．求该古树的高．（参考数据：，，）24．（7分）垂柳是常见的树种之一，也是园林绿化中常用的行道树，观赏价值较高，成本低廉，深受各地绿化喜爱．如图①是某街道旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状呈如图②所示的抛物线形状，它距离地面的高度y（单位：）与到树干的水平距离x（单位：）之间满足关系式．已知这枝垂柳的始端到地面的距离，末端B恰好接触地面，且到始端的水平距离．

(1)求该抛物线的函数解析式；(2)小明头顶距离地面，他从点O出发向点B处走去，请计算小明走出多远时，头顶刚好碰到树枝？25．（8分）如图，是的直径，是的弦，是延长线上一点，过点作交于，交于，．

(1)求证：是的切线；(2)若，的半径为5，求的长．26．（10分）（1）如图1，在中，，，．与、两边分别相切于点E，F，圆心O恰好在上，求的半径．（2）已知某文创园区原有一块草坪（区域）如图2所示，经测量：，，在M处建有一个亭子，满足．现要在原基础上扩大面积重新规划为花卉展区，要求在上找一点P，连接并延长到点D，使得，过点P分别作于E，于F．按设计要求，四边形区域为游客观赏区，其余部分为花卉展区（、、三部分总和）．为了游客得到更好的体验，需要尽可能把花卉展区布置大一些，请问能否将花卉展区面积设计最大？若可以，请求出最大面积；若不可以，请说明理由．

2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：北师大版九年级上册、下册。5．难度系数：0.55。第一部分（选择题共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．下列方程中，是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、最高次是3次，不是2次，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；D、当时，该方程中未知数的最高次数不是2，故本选项不符合题意．故选：C．2．如图，在中，对角线相交于点，添加下列一个条件，能判定是菱形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：A、∵，∴，∴是菱形，故选项符合题意；B、∵四边形是平行四边形，，∴是矩形，故选项不符合题意；C、∵四边形是平行四边形，，∴，∵，∴，∴是矩形，故选项不符合题意，D、∵四边形是平行四边形，，∴还是平行四边形，故选项不符合题意；故选：A．3．中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩，奥运会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，它的左视图是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：由左视图的定义知该领奖台的左视图如下：．故选：D．4．如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵，∴，即，当时，，故A不符合要求；当时，，故B不符合要求；当时，，故C不符合要求；当时，无法证明，故D符合要求；故选：D．5．在中，，那么的值等于（）A． B．43 C． D．45【答案】C【详解】解：如图所示：∵，∴，∴，故选：C6．如图，点A，B，C均在上，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵，，∴，∴，∴,故选：A7．如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：①∵二次函数图象开口向下，与轴交于轴的上方，∴，，∵抛物线的对称轴为，∴，∴，故①错误；②∵，∴，故②正确；③∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，∴二次函数的图象与轴的另一个交点坐标是，结合图象可知：当时，，即，故③错误；④∵抛物线的开口向下，与轴的两个交点坐标为，，由图象可知：当时，，故④正确；正确的有个．故选：B．8．如图，矩形的对角线交于点，，，为等边三角形，点是直线上一点，连接，则线段的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【详解】解：连接交于，如图所示：当时，线段的值最小，四边形是矩形，且，，，，，，是等边三角形，，，，是的垂直平分线，，，在中，根据勾股定理得：，，，故选D．第二部分（非选择题共96分）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）9．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为．【答案】3【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根，∴，解得，故答案为：3．10．一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，这些球除颜色外都相同．小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.3左右，则可估计红球的个数约为个．【答案】60【详解】解：由题意可知红球的个数约为（个），故答案为：60．11．黄金分割在生活中的应用十分广泛，例如大多数窗户的宽和长的比是黄金比，已知某扇宽与长的比等于黄金比的矩形窗户的长为米，则宽为米．（结果保留根号）【答案】【详解】解：根据题意得；（）故答案为：12．如图，点在轴上，分别以，为边，在轴上方作正方形，，反比例函数的图像分别交边，于点．作轴于点，轴于点．若，为的中点，且阴影部分面积等于，则的值为．【答案】6【详解】解：如图所示：设，则，点的纵坐标是，点的横坐标是，为的中点，，在反比例函数的图像上，，，阴影部分面积等于，，即，故答案为：．13．如图，四边形为矩形，，点E在边上，从点D运动到点C，运动速度为每秒2个单位，点F从点A开始沿射线方向运动，运动速度为每秒3个单位，当点E停止时，点F也随之停止．连接和交于点G，直线交直线于点M，则的最小值为．【答案】【详解】解：如图1，∵矩形，∴，，，设运动时间为秒，则，∵，，∴，∴，∴，∴，如图1，记的中点为，∴在以为直径的上运动，由题意知，、均为的切线，如图1，作的切线，交于，切点为，由题意知，的最小值为，由切线长定理可知，，，设，则，，由勾股定理得，，即，解得，，故答案为：．三、解答题（本大题共13小题，满分81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）14．（5分）解方程：．解：∵a=2，，，∴，∴方程有两个不相等的实数根，·····（2分）∴，·····（1分）∴，．·····（2分）15．（5分）如图，在菱形中，分别是边、上的点，，连接，交于点．求证：．【详解】证明：四边形是菱形，，····（1分）在和中，，，····（3分）．····（1分）16．（5分）如图，在中，请用尺规作图法，在边确定一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹）【详解】解：如图，点D即为所求．．····（5分）17．（5分）某商场销售一种服装，原价卖时，该服装每日销售额为4500元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价促销．经过两轮的促销活动后，该服装每日的销售额增长至6480元，求该种服装日销售额的每轮平均增长率．【详解】解：设该种服装日销售额的每轮平均增长率为，由题意得：，····（2分）解得：，（不符合题意，舍去）答：该种服装日销售额的每轮平均增长率为．····（3分）18．（5分）如图，在中，，于，作于．求证：；【详解】证明：∵于D，于E，∴，····（1分）∵，于，∴，∴，∴，····（2分）∴，∵，∴．····（2分）19．（5分）如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点坐标分别为．(1)以原点O为位似中心,在y轴左侧画出的位似,与的相似比为,点对应点分别为点；(2)在(1)的情况下直接写出点的坐标．【详解】（1）解：如图，即为所求；····（4分）（2）解：∵，位似比为，∴点坐标为．····（1分）20．（6分）如图，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同），转盘甲上的数字分别是，转盘乙上的数字分别是（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．

(1)单独转动转盘甲一次，转盘甲指针指向正数的概率是；(2)若同时转动两个转盘一次，请用列表法或画树状图法，求两个转盘指针所指的数字乘积为负数的概率．【详解】（1）解：转盘甲被等分为3份，其中1份标有正数，∴转动转盘甲1次，指针指向正数的概率是，故答案为：；····（2分）（2）解：画树状图如下：

····（3分）共有9种等可能的结果，其中两个转盘指针所指的数字乘积为负数的结果有5种，∴两个转盘指针所指的数字乘积为负数的概率．····（1分）21．（6分）某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，并尽可能减少库存，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．设销售单价提高x元（x为正整数）．(1)求当售价定为多少元时，每天的利润为140元？(2)假设这种商品每天的销售利润为w元，商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元．【详解】（1）解：由售价单价提高x元，则每天销售量，由题可知售价为元，由，即，····（2分）解得，，故售价为：或，∵需要减少库存，并且每提高1元，销售量会减少4件，故售价定为10元，当售价定为10元时，每天的利润为140元；····（2分）（2），····（1分）∴当时，w最大值为144，故售价为，····（1分）故当售价为11元时，利润最大为144元．22．（7分）如图，在四边形中，，于点，点是延长线上一点，，于点．

(1)求证：四边形是菱形；(2)若平分，，，求和的长．【详解】（1）证明：，，，····（1分），四边形是平行四边形，····（1分），平行四边形是菱形．····（1分）（2）解：，，，∵平分，，，，，在和中，，，，即，解得，····（3分）由（1）已证：四边形是菱形，．····（1分）23．（7分）小明和爸爸想利用测角仪和阳光下的影子来测量一古树（底部不可到达）的高．如图所示：在阳光下，小明爸爸站在古树影子的顶端D处，此时，小明量得爸爸的影长；然后，小明从D点往古树方向走了3m到达点F，并用测角仪测得树顶端A的仰角为（测角仪高度不计）．已知爸爸身高，点E、D、F、B在同一条直线上，，．求该古树的高．（参考数据：，，）【详解】解：由题意得，米，设米，在中：，····（1分），，····（2分），，，，，，····（2分），，解得：；····（2分）答：该古树的高为米．24．（7分）垂柳是常见的树种之一，也是园林绿化中常用的行道树，观赏价值较高，成本低廉，深受各地绿化喜爱．如图①是某街道旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状呈如图②所示的抛物线形状，它距离地面的高度y（单位：）与到树干的水平距离x（单位：）之间满足关系式．已知这枝垂柳的始端到地面的距离，末端B恰好接触地面，且到始端的水平距离．

(1)求该抛物线的函数解析式；(2)小明头顶距离地面，他从点O出发向点B处走去，请计算小明走出多