2019届北京专用高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第三节简单的逻辑联结词全称量词与存在量词讲义理

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词总纲目录教材研读1.简单的逻辑联结词考点突破2.全称命题和特称命题考点二含逻辑联结词的命题的真假判断考点一全称命题与特称命题考点三由命题真假确定参数的取值范围教材研读1.简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有①

或

、②

且

、③

非

.(2)命题p∧q、p∨q、¬p的真假判断pqp∧qp∨q¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称命题和特称命题(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等④

∀

存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等⑤

∃

全称命题特称命题形式对M中任意一个x,有p(x)成立存在M中的一个x0,使p(x0)成立简记⑥

∀x∈M

,p(x)⑦

∃x0∈M

,p(x0)否定⑧

∃x0∈M

,¬p(x0)⑨

∀x∈M

,¬p(x)(2)全称命题和特称命题1.命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是

()A.∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1B.∀x∉(0,+∞),lnx=x-1C.∃x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1D.∃x0∉(0,+∞),lnx0=x0-1A答案

A特称命题的否定为全称命题,所以∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1的

否定是∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1,故选A.2.设命题p:∀平面向量a和b,|a-b|<|a|+|b|,则¬p为

()A.∀平面向量a和b,|a-b|≥|a|+|b|B.∃平面向量a和b,|a-b|<|a|+|b|C.∃平面向量a和b,|a-b|>|a|+|b|D.∃平面向量a和b,|a-b|≥|a|+|b|D答案

D先改换量词,再否定结论,¬p为∃平面向量a和b,|a-b|≥|a|+|b|,

故选D.3.如果命题“p且q”是假命题,“非p”是真命题,那么

()A.命题p一定是真命题B.命题q一定是真命题C.命题q一定是假命题D.命题q可以是真命题也可以是假命题D答案

D“非p”是真命题,那么p一定是假命题,故A错;“p且q”是假

命题,且p是假命题,所以q可能是真命题也可能是假命题,故选D.4.下列四个命题中的真命题为

()A.∃x0∈Z,1<4x0<3

B.∃x0∈Z,5x0+1=0DC.∀x∈R,x2-1=0

D.∀x∈R,x2+x+2>0答案

D选项A中,

<x0<

且x0∈Z,不成立;选项B中,x0=-

,与x0∈Z矛盾;选项C中,x≠±1时,x2-1≠0;选项D正确.5.设命题p:函数f(x)=ex-1在R上为增函数;命题q:函数f(x)=cos(x+π)为奇函

数.则下列命题中真命题是

()A.p∧q

B.(¬p)∨qC.(¬p)∧(¬q)

D.p∧(¬q)D答案

D由复合函数的单调性知,命题p为真.f(x)=cos(x+π)=-cosx,易

知函数f(x)是偶函数,所以命题q为假,则¬q为真,从而p∧(¬q)为真命题.故

选D.考点一全称命题与特称命题典例1(1)命题p:对于任意x∈R,2x+1>0的否定是

()A.¬p:对于任意x∈R,2x+1≤0B.¬p:不存在x0∈R,

+1≤0C.¬p:存在x0∈R,

+1≤0D.¬p:存在x0∈R,

+1>0(2)已知命题p:∃x∈R,log2(3x+1)≤0,则

()A.p是假命题;¬p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0B.p是假命题;¬p:∀x∈R,log2(3x+1)>0C.p是真命题;¬p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0考点突破D.p是真命题;¬p:∃x∈R,log2(3x+1)>0BC答案(1)C(2)B解析(1)全称命题的否定是特称命题,所以¬p:存在x0∈R,

+1≤0.故选C.(2)∵∀x∈R,3x>0,∴3x+1>1,∴log2(3x+1)>0,∴p是假命题.¬p:∀x∈R,log2(3x+1)>0,故选B.方法技巧1.全称命题、特称命题的真假判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验

证p(x)成立;但要判断全称命题是假命题,只要能找出集合M中的一个x=

x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一

个x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.2.全称命题与特称命题的否定(1)改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义

加上量词,再对量词进行改写.(2)否定结论:对原命题的结论进行否定.1-1

(2017北京东城一模,2)已知命题p:∀n∈N,2n>

,则¬p是

()A.∀n∈N,2n≤

B.∀n∈N,2n<

C.∃n∈N,2n≤

D.∃n∈N,2n>

答案

C根据全称命题的否定是特称命题,知¬p:∃n∈N,2n≤

,故选C.C1-2下列命题中,真命题是

()A.∀x∈R,x2-x-1>0B.∀α,β∈R,sin(α+β)<sinα+sinβC.∃x∈R,x2-x+1=0D.∃α,β∈R,sin(α+β)=cosα+cosβ答案

D因为x2-x-1=

-

≥-

,所以A是假命题.当α=β=0时,有sin(α+β)=sinα+sinβ,所以B是假命题.x2-x+1=

+

≥

,所以C是假命题.当α=β=

时,有sin(α+β)=cosα+cosβ,所以D是真命题,故选D.D考点二含逻辑联结词的命题的真假判断典例2(1)设命题p:“若sinα=

,则α=

”,命题q:“若a>b,则

<

”,则

()A.p∧q为真命题

B.p∨q为假命题C.¬q为假命题

D.以上都不对(2)已知命题p:∀x>0,x+

≥4;命题q:∃x0∈R,

=-1.则下列判断正确的是

()A.p是假命题

B.q是真命题C.p∧(￢q)是真命题

D.(￢p)∧q是真命题BC答案(1)B(2)C解析(1)命题p:“若sinα=

,则α=

”是假命题,命题q:“若a>b,则

<

”是假命题,故p∨q是假命题.故选B.(2)对于命题p:∵x>0,∴x+

≥2

=4(当且仅当x=2时,等号成立),∴命题p为真命题;对于命题q:∵∀x∈R,2x>0,∴命题q为假命题,∴¬q为真命

题.故选C.规律总结1.判断含有逻辑联结词的命题真假的步骤(1)判断简单命题p,q的真假;(2)根据真值表判断含有逻辑联结词的命题的真假.2.含逻辑联结词的命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p,q至少一个真⇔(¬p)∧(¬q)假.(2)p∨q假⇔p,q均假⇔(¬p)∧(¬q)真.(3)p∧q真⇔p,q均真⇔(¬p)∨(¬q)假.(4)p∧q假⇔p,q至少一个假⇔(¬p)∨(¬q)真.(5)¬p真⇔p假;¬p假⇔p真.2-1命题p:∀x∈R,x2+ax+a2≥0;命题q:∃x0∈R,sinx0+cosx0=2,则下列

命题为真命题的是

()A.p∧q

B.p∨qC.(¬p)∨q

D.(¬p)∧(¬q)答案

B因为x2+ax+a2=

+

a2≥0,所以命题p是真命题;因为sinx+cosx=

=sin

,所以(sinx+cosx)max=

<2,所以命题q是假命题.所以p∨q为真命题,故选B.B2-2已知命题p:存在x∈

,使sinx+cosx=

,命题q:不等式x2-x-2<0的解集是{x|-1<x<2},给出下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题

“p∧(¬q)”是假命题;③命题“(¬p)∨q”是真命题;④命题“(¬p)∨

(¬q)”是假命题,其中正确的是

()A.②③

B.①②④C.①③④

D.①②③④D答案

D∵x∈

,∴sinx+cosx=

sin

∈(1,

],故存在x∈

,使sinx+cosx=

,即命题p是真命题.又易知命题q也是真命题,∴①②③④正确.故选D.典例3已知p:∃x∈R,mx2+1≤0,q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q为假命题,

则实数m的取值范围为

()A.m≥2

B.m≤-2C.m≤-2或m≥2

D.-2≤m≤2考点三由命题真假确定参数的取值范围答案

A解析当p是真命题时,有m<0;当q是真命题时,有Δ=m2-4<0,-2<m<2.依题意知p,q均为假命题,因此由p,q均为假命题得

则m≥2.A方法技巧根据复合命题的真假求参数范围的步骤(1)先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围;(2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定

只有一种情况);(3)最后由(2)的结果求出满足条件的参数取值范围.3-1若本例中的条件“p∨q为假命题”变为“p∧(¬q)为真命题”,其

他条件不变,求实数m的取值范围.解析由p∧(¬q)为真命题,知p为真命题且q为假命题.p为真命题,则m<0,q为假命题,则m≥2或m≤-2.所以m≤-2,即实数m的取值范围为(-∞,-2].3-2给定命题p:对任意实数x都有ax2+ax+1>0成立;q:关于x的方