数列的函数性质-2023届高三数学一轮复习

2023高考数列专题——数列的函数性质

一、数列的单调性

解决数列单调性问题的三种方法

(1)作差比较法：根据。〃”一4〃的符号判断数列｛斯｝是递增数列、递减数列还是常数列；

(2)作商比较法：根据誓或小<0)与1的大小关系进行判断；

(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断.

例1(2022♦滕州模拟)设数列｛m｝的通项公式为斯=炉+加，若数列｛〃”｝是单调递增数列，则实数b的取

值范围为()

A.[1,+8)B.(-3,+8)

C.(-2,+8)D.(-/+8)

例2若数列｛斯｝满足如=—2层+加-1,且｛小｝是递减数列，则实数攵的取值范围为

跟踪练习

1、已知数列｛斯｝的通项公式为猾，那么这个数列是()

A.递增数列B.递减数列

C.摆动数列D.常数列

2、请写出一个符合下列要求的数列｛小｝的通项公式:①｛为｝为无穷数列;②｛斯｝为单调递增数列;③0〜“<2.这

个数列的通项公式可以是.

3、(2022•绵阳模拟)在数列仅“｝中，。1=1,m+2a2+3a3H------\~nan=^~^~an+\.

(1)求数列｛〃“｝的通项公式；

(2)若存在〃£N",使得诙W(〃+1)A成立，求实数人的最小值.

二、数列的周期性

解决数列周期性问题的方法

根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前〃项的

和.

例3、若数列｛m｝满足卬=2,知+|=老(〃£N)则该数列的前2023项的乘积是()

A.2B.-6

C.3D.I

12

例4(2021•福建福清校际联盟期中联考)已知与为数列｛〃”｝前〃项和，若卬=今且田产三

则6Sioo=()

A.425B.428

C.436D.437

跟踪练习

1、（2022•福州模拟）已知数列｛斯｝满足-,若田=不则“2023=（）

I1斯/

A.-1B.；

C.1D.2

三、数列的最大（小）项

求数列的最大项与最小项的常用方法

（1）将数列视为函数｛x）当x£N”时所对应的一列函数值，根据力（）的类型作出相应的函数图象，或利用

求函数最值的方法，求出«r）的最值，进而求出数列的最大（小）项；

斯-]9\dn^Cln-1

（2）通过通项公式小研究数列的单调性，利用|、（〃22）确定最大项，利用彳_9（〃22）

确定最小项；

（3）比较法：若有如+i—〃”=/（〃+1）—/（〃）>0（或〃“>0时，W*l），则则数列｛“”｝是递增数列，

所以数列｛斯｝的最小项为ai=yu）；若有④+i—a〃=ys+i）一4〃）<0（或小>0时，笺Li），则即1〈斯，则数

列｛斯｝是递减数列,所以数列｛如｝的最大项为

例5（2022・金陵质检）已知数列｛m｝满足0=28,如产=2,则等的最小值为（）

A.yB.477-1C.yD.今

例6已知数列｛m｝的通项公式则数列｛斯｝中的最大项是第项.

跟踪练习

fi-2

1、已知数列｛3｝的通项公式为小=万=F，前〃项和为s〃，则当s“取得最小值时〃的值为.

2、已知递增数列｛斯｝,如20,0=0.对于任意的正整数小不等式尸一居一3,-3%忘0恒成立，则正数/

的最大值为（）

A.1B.2

C.3D.6

3、（2022•重庆模拟）设S”为等差数列｛〃〃｝的前n项和，且满足S2oi8>O，S2oi9<O，Xr任意正整数〃，都有|叫?㈤，

则k的值为（）

A.I008B.1009

C.1010D.1011

4、（多选）已知数列｛小｝满足a〃=〃・K（〃£N，04<l）,下列命题正确的有（）

A.当1=4时,数列A”｝为递减数列

4

B.当2=5时，数列｛m｝一定有最大项

C.当0<上4时，数列｛m｝为递减数列

D.当占为正整数时，数列｛m｝必有两项相等的最大项

5、已知数列｛6｝的通项公式斯=",若“is•…”“Wars•…•诙对〃WN+恒成立，则正整数k的值为.

四、数列与函数的综合问题

例7（2022•珠海模拟汜知函数丫=危+1）的图象关于），轴对称，且函数危）在（1,+8）上单调，若数列｛&,｝

是公差不为0的等差数列，且八。4）=/如而，则｛小｝的前21项之和为（）

A.0B.

C.21D.42

跟踪练习

1、（2022•舟岛模■拟）等比数列｛〃“｝的各项均为正数，的，“6是函数7（X）=¥—3，+8x+l的极值点，则log2m

+log2tt2H-----bl0g2«10=（）

A.3+Iogz5B.8

C.10D.15

2、已知等比数列伍”｝的公比乃1,«,-2,且0，a2,你一8成等差数列.

（1）求出数列｛仇｝的通项公式；

（2）设数列用的前〃项和为S”任意〃wM,S〃W加恒成立，求实数机的最小值.

3、[2022•东莞模拟）已知等差数列｛m｝的首项0=1,公差为d,前〃项和为S”.若S,WS8恒成立，则公差

d的取值范围是.

高考数列专题——数列的函数性质（解析版）

一、数列的单调性

解决数列单调性问题的三种方法

（D作差比较法：根据z+i—斯的符号判断数列｛期｝是递增数列、递减数列还是常数列；

(2)作商比较法：根据*(如＞0或如＜0)与1的大小关系进行判断；

(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断.

例1(2022•滕州模拟)设数列｛m｝的通项公式为斯=/+而，若数列(〃〃｝是单调递增数列，则实数b的取

值范围为(B)

A.[1,+8)B.(-3,+8)

C.[-2,+8)D.(一去+8)

解：;数列｛。〃｝是单调递增数列，工对任意的都有如+1＞小，・•.(〃+1)2+伙〃+1)＞/+加，即

比＞一(2〃+1)对任意的〃£“恒成立，又〃=1时，一(2〃+1)取得最大值-3,・二加＞一3,即实数力的取值范围

为(一3,+0°).

例2若数列｛卬｝满足〃”=—2层+加-1,且｛小｝是递减数列，则实数女的取值范围为(一8,6).

2

解：解法一：由数列是一个递减数列，得0J+1&G”又因为an=-2n-\-kn—\t所以一2(〃+1＞+2(〃+

1)-1〈一2层+加一1,k＜4〃+2,对〃WN",所以kv6.

k3

解法二：数列｛〃”｝的通项公式是关于〃(〃£N・)的二次函数，•••数列是递减数列，・•・：$,「/〈S

跟踪练习

1、已知数列｛内｝的通项公式为。”=肃彳，那么这个数列是()

A.递增数列B.递减数列

C.摆动数列D.常数列

解析：A由诙=3〃11'可得研|-0尸3"+4-3〃；1=(3〃+1；(3〃+4)丸故选A.

2、请写出一个符合下列要求的数列(为｝的通项公式:①｛诙｝为无穷数列;②｛斯｝为单调递增数歹U；®)4〃v2.这

个数列的通项公式可以是.

解析：因为函数3=2一[的定义域为N*,且4“=2-]在N*上单调递增，0＜2-32,所以满足3个条件

的数列的通项公式可以是。〃=2-1.

答案：斯=2一《答案不唯一)

3、(2022•绵阳模拟)在数列｛斯｝中，m=l,0+2a2+3s+…+也产"^\”+1.

⑴求数列｛为｝的通项公式；

(2)若存在〃£N*,使得anW(〃+1)2成立，求实数2的最小值.

解：(1)：。1+2。2+3。3~1------/〃+i,.,.当“22时，。［+2a2+3。3"1--------------------l-(n—l)«M-i=^an>

两式相减得M="L”+I—前，即片=3(心2),

乙乙flCln

*.*ai=1,1=1.即。2=1,...^■^=2W3.

Z1-671

・.・数歹U5。〃｝是从第二项开始的等比数列，

工当〃22时，有〃小=2X3””，

1,〃=1,

.“1京3〃-2,介2.

(2)存在使得a〃W(〃+l)2成立022含•有解，

①当〃=1时，y=1,则2*,即Amin=4

②当〃/时，鬲=诉，

设加尸篇，，喘=患＞］，•.必)单调递增，

•*-/(W)min=/(2)=|,实数X的最小值是;.

由①②可知实数Z的最小值是提

二、数列的周期性

解决数列周期性问题的方法

根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前〃项的

和.

例3、若数列｛小｝满足0=2,卬+1=；)："(〃£”),则该数列的前2023项的乘积是(3)

A.2B.-6

C.3D.I

解因为数列｛小｝满足0=2,而*件(〃卧’)，所以做=田^罟二一3,同理可得G=一9，44

=1,05=2,…所以数列｛斯｝每四项重复出现，即为+4=%，且0«2&3g=1,而2023=505X4+3,所以

该数列的前2023项的乘积是4「42・。3“4」"0023=15°5乂〃［、42乂43=3.

例4(2021•福建福清校际联盟期中联考)已知S〃为数列｛小｝前〃项和，若防=［且4"产W"(〃£N)

则6SM=(A)

A.425B.428

C.436D.437

解：由数列的递推公式可得：

2__4__2__,__2__-__2__1_

G=r^=3.2・as=^—=2=ax.

据此可得数列｛为｝是周期为4的周期数列，贝I：65IOO=6X25XQ+1+3-2)=425.

跟踪练习

1、(2022•福州模拟)己知数列｛〃“｝满足a〃+i=:二一»若。|=5，则42023=()

A.-1B.5

C.1D.2

解析：B由〃1=J,诙+1=775~得G=2,。3=—1，〃4=,，45=2,…，可知数列｛m｝是以3为周期的

周期数列，因此42023=43x674+1=。1=£.

五、数列的最大(小)项

求数列的最大项与最小项的常用方法

(1)将数列视为函数«r)当x£N*时所对应的一列函数值，根据代©的类型作出相应的函数图象，或利用

求函数最值的方法，求出|x)的最值，进而求出数列的最大(小)项；

、缶\an^an-\,

(2)通过通项公式为研究数列的单调怛，利用|、(〃22)确定最大项，利用＜?(〃22)

%)a〃+11

确定最小项；

(3)比较法：若有4〃+1—a〃=/(〃+1)—/(〃)＞0(或小＞0时，与表＞1)，则则数列｛〃”｝是递增数列，

所以数列｛斯｝的最小项为。1=/(1)；若有④+1—4〃=4〃+1)—/(〃)V0(或4”＞0时，食〃1)，则斯+1＜4”则数

列｛斯｝是递减数列，所以数列｛知｝的最大项为0=41).

例5(2022・金陵质检)已知数列｛小｝满足m=28,色千色=2,则年的最小值为(C)

A.yB.4^7-1C.yD.y

解：由斯+L。”=2〃，可得a〃=ai+(42—0)+(的一。2)+…+3〃一。“-1)=28+2+4+…+2(〃-1)=28

+〃(〃-1)=7?—〃+28,.,.与=〃+那一1,设式x)=x+§,可知/(x)在(0,，与］上单调递减，在(、陷，+8)

上单调递增，又且/=竽螳=学.

例6已知数列｛知｝的通项公式斯=(〃+1)(¥＞，则数列｛“〃｝中的最大项是第项.

解：解法一：•.•如+借下"一（〃+借>=借>乂\^,

1—01=（〃+2）1）

当n<9时，〃“+]—4〃>0,即

当〃=9时，a〃+i—%=0,即即+i=m;

当〃>9时，研1—斯<0,即an+\<an,

，该数列中有最大项，为第9、10项，

且。9=。10=l°X（if>.

解法二：根据题意，令、（〃22）,

3“力斯+i

7x（卧WM+1）（勖,

艮K,、，、解得9W〃W10.

”+l）G?）〃2（〃+2）G?H

又〃WN*,，〃=乡或〃=10,

该数列中有最大项，为第9、10项，

且49=00=10X（$9

跟踪练习

n-2

1、已知数列｛斯｝的通项公式为斯=市外，前〃项和为&,则当S”取得最小值时〃的值为

解析：当a=--->0=>n=l或〃26,.•.&=（）,的<0,«4<0,的<0,故当S”取得最小值时n的值为5.

n2〃一11

2、已知递增数列｛〃"｝,。"20,m=0.对于任意的正整数〃，不等式r2一晶一3f—3a”W0恒成立，则正

数f的最大值为（）

A.1B.2

C.3D.6

解析：C因为数列｛斯｝是递增数列，又产一居一3f—3a4=（f—如-3）（f+m）W0,f+a”>0,所以fWa”+3

恒成立，即/W（即+3）min=〃l+3=3,所以，max=3.

3、（2022•重庆模拟）设S〃为等差数列（〃〃）的前〃项和，且满足S2oi8>O，52019<0»对任意正整数〃，都有

则的值为（）

k112MI，k

A.1008B.1009

C.1010D.1011

解析：C因为S20l8>0,S2019V0,所以m+々2018=41009+aiOlO>0,41+。2019=2。1010<0,所以41009>0,

aioioO,且⑶oo9>|aioiol，因为对任意正整数〃，都有I斯|冽*，所以<=1010,故选C.

4、（多选）已知数列｛小｝满足4"=〃记（〃£N*・0v%vl）,下列命题正确的有（）

A.当仁刎，数列｛为｝为递减数列

4

B.当左=与时，数列｛斯｝一定有最大项

C.当（X2<1时，数列｛%｝为递减数列

D.当告为正整数时，数列｛〃”｝必有两项相等的最大项

1K

解析：BCD当左时，0=〃2=:,知A错误；当女=・时，当〃v4时，~~>h当心4

时，¥」vl,所以可判断｛〃〃｝一定有最大项，B正确；当OvkvJ时，与'所以数列｛〃〃｝为

tin乙cifin

L|I1k

递减数列，C正确；当■;~~为正整数时，\>k^,当左=5时，0=。2>。3>所>…，当1>上>5时，令■;~r=〃?£

N\解得％=一上，则答=学唱，当〃=加时，知+|=如，结合B,数列｛为｝必有两项相等的最大项，故

/Milcinnyin-ii）

D正确.故选B、C、D.

5、已知数列｛为｝的通项公式“等若aiwaWs…s对"WN*恒成立,则正整数k的值为

解析：斯=,当后5时，an>\\当〃26时，an<\,由题意知，ms•。★是｛〃”｝的前〃项乘积的最大值,

所以A=5.

六、数列与函数的综合问题

例7（2022•珠海模拟）已知函数尸兀v+1）的图象关于），轴对称，且函数於）在（1,+8）上单调，若数列｛为｝

是公差不为0的等差数列，且共出）=/3闻，则他〃｝的前21项之和为（C）

A.0B,苧

C.21D.42

解：由函数y=«r+l）的图象关于y轴对称，且函数«x）在（1,+8）上单调，可得）,=贝外的图象关于

直线x=l对称，由数列｛小｝是公差不为0的等差数列，且1出）=/（4而，可得田+。M=2,又｛斯｝是等差数

t

列，所以0+。21=44+可8=2,可得数列的前21项和S2I=21（02■助）=2],则｛〃“｝的前21项之和为21.故

选.

跟踪练习

1、（2022•青鸟模拟）等比数列｛处｝的各项均为正数，恁，%是函数兀0=*—3/+秋+