2025版高中数学第2章数列2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和及其性质课时作业案新人教A版必修5

PAGEPAGE1第1课时等差数列的前n项和及其性质A级基础巩固一、选择题1．若等差数列{an}的前三项和S3＝9，且a1＝1，则a2等于(A)A．3 B．4C．5 D．6[解析]S3＝3a1＋eq\f(3×2,2)d＝9，又∵a1＝1，∴d＝2，∴a2＝a1＋d＝3.2．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，则{an}的前n项和Sn等于(A)A．－eq\f(3,2)n2＋eq\f(n,2) B．－eq\f(3,2)n2－eq\f(n,2)C．eq\f(3,2)n2＋eq\f(n,2) D．eq\f(3,2)n2－eq\f(n,2)[解析]易知{an}是等差数列且a1＝－1，所以Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(n1－3n,2)＝－eq\f(3,2)n2＋eq\f(n,2).故选A．3．(2024·全国卷Ⅰ理，4)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(B)A．－12 B．－10C．10 D．12[解析]3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a1＋\f(3×2,2)×d))＝2a1＋d＋4a1＋eq\f(4×3,2)×d⇒9a1＋9d＝6a1＋7d⇒3a1＋2d＝0⇒6＋2d＝0⇒d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.4．(2024·全国Ⅰ理，9)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(A)A．an＝2n－5 B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝eq\f(1,2)n2－2n[解析]设首项为a1，公差为d.由S4＝0，a5＝5可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝5，,4a1＋6d＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－3，,d＝2.))所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋eq\f(nn－1,2)×2＝n2－4n.故选A．5．在－12和8之间插入n个数，使这n＋2个数组成和为－10的等差数列，则n的值为(B)A．2 B．3C．4 D．5[解析]依题意，有－10＝eq\f(－12＋8,2)×(n＋2)，解得n＝3.6．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖(粗细匀称改变)长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是(B)A．14斤 B．15斤C．16斤 D．18斤[解析]由题意可知等差数列中a1＝4，a5＝2，则S5＝eq\f(a1＋a5×5,2)＝eq\f(4＋2×5,2)＝15，∴金杖重15斤．故选B．二、填空题7．(2024·山东荣成六中高二月考)若一个等差数列前3项的和为34，最终三项的和为146，且全部项的和为390，则这个数列有__13__项．[解析]设这个等差数列为{an}，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝34①,an＋an－1＋an－2＝146②))，①＋②得3(a1＋an)＝180，∴a1＋an＝60.∴Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝30n＝390，∴n＝13.8．在等差数列{an}中，aeq\o\al(2,3)＋aeq\o\al(2,8)＋2a3a8＝9，且an<0，则S10＝__－15__.[解析]由aeq\o\al(2,3)＋aeq\o\al(2,8)＋2a3a8＝9得(a3＋a8)2＝9，∵an<0，∴a3＋a8＝－3.∴S10＝eq\f(10a1＋a10,2)＝eq\f(10a3＋a8,2)＝eq\f(10×－3,2)＝－15.三、解答题9．若等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8.求：(1)数列{an}的首项a1和公差d；(2)数列{an}的前10项和S10的值．[解析](1)依据题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝8,a2·a4＝a1＋d·a1＋3d＝12))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝8,d＝－2)).(2)S10＝10a1＋eq\f(10×10－1,2)d＝10×8＋eq\f(10×9,2)×(－2)＝－10.10．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前n项和，求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前n项和Tn.[解析]设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋eq\f(1,2)n(n－1)d.∵S7＝7，S15＝75，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7a1＋21d＝7,15a1＋105d＝75))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＝1,a1＋7d＝5))，解得a1＝－2，d＝1.∴eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(1,2)(n－1)d＝－2＋eq\f(1,2)(n－1)，∵eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(1,2)，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差数列，其首项为－2，公差为eq\f(1,2)，∴Tn＝eq\f(1,4)n2－eq\f(9,4)n.B级素养提升一、选择题1．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是(C)A．S7 B．S8C．S13 D．S15[解析]∵a2＋a4＋a15＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7为常数，∴S13＝eq\f(13a1＋a13,2)＝13a7为常数．2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq\f(S3,S6)＝eq\f(1,3)，则eq\f(S6,S12)等于(A)A．eq\f(3,10) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,8) D．eq\f(1,9)[解析]据等差数列前n项和性质可知：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍成等差数列．设S3＝k，则S6＝3k，S6－S3＝2k，∴S9－S6＝3k，S12－S9＝4k，∴S9＝S6＋3k＝6k，S12＝S9＋4k＝10k，∴eq\f(S6,S12)＝eq\f(3k,10k)＝eq\f(3,10).3．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是(B)A．3 B．－3C．－2 D．－1[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a3＋…＋a2n－1＝na1＋\f(nn－1,2)×2d＝90,a2＋a4＋…＋a2n＝na2＋\f(nn－1,2)×2d＝72，))得nd＝－18.又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.4．一同学在电脑中打出如下图案：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此图案依此规律接着下去，那么在前120个中的●的个数是(C)A．12 B．13C．14 D．15[解析]S＝(1＋2＋3＋…＋n)＋n＝eq\f(nn＋1,2)＋n≤120，∴n(n＋3)≤240，∴n＝14.故选C．二、填空题5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若eq\o(OB,\s\up6(→))＝a1eq\o(OA,\s\up6(→))＋a200eq\o(OC,\s\up6(→))，且A、B、C三点共线(该直线不过原点O)，则S200＝__100__.[解析]∵eq\o(OB,\s\up6(→))＝a1eq\o(OA,\s\up6(→))＋a200eq\o(OC,\s\up6(→))，且A、B、C三点共线，∴a1＋a200＝1，∴S200＝eq\f(200×a1＋a200,2)＝100.6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，则S3等于__14__.[解析]对于Sn＝2an－2，当n＝1时，有a1＝2a1－2，解得a1＝2；当n＝2时，有S2＝2a2－2，即a1＋a2＝2a2－2，所以a2＝a1＋2＝4；当n＝3时，有S3＝2a3－2，即a1＋a2＋a3＝2a3－2，所以a3＝a2＋a1＋2，又a1＝2，a2＝4，则a3＝8，所以S三、解答题7．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．[解析]设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10a1＋\f(10×9,2)d＝100，①,100a1＋\f(100×99,2)d＝10.②))①×10－②整理得d＝－eq\f(11,50)，代入①得，a1＝eq\f(1099,100)，∴S110＝110a1＋eq\f(110×109,2)d＝110×eq\f(1099,100)＋eq\f(110×109,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,50)))＝110×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1099－109×11,100)))＝－110.8．已知{an}是等差数列，公差为d，首项a1＝3，前n项和为Sn，令cn＝(－1)nSn(n∈N*)，{cn}的前20项和T20＝330.数列{bn}满意bn＝2(a－2)dn－2＋2n－1，a∈R.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＋1≤bn，n∈N*，求a的取值范围．[解析](1)设等差数列的公差为d，因为cn＝(－1)nSn，所以T20＝－S1＋S2－S3＋S4＋…＋S20＝330，则a2＋a4＋a6＋…＋a20＝330，则10(3＋d)＋eq\f(10×9,2)×2d＝330，解得d＝3，所以an＝3＋3(n－1)＝3n.(2)由(1)知bn＝2(a－2)3n－2＋2n－1，bn＋1－bn＝2(a－2)3n－1＋2n－[2(a－2)3n－2＋2n－1]＝4(a－2)3n－2＋2n－1＝4·3n－2[(a－2)＋eq\f(1,2)(eq\f(2,3))n－2]，由bn＋1≤bn⇔(a－2)＋eq\f(1,2)(eq\f(2,3))n－2≤0⇔a≤2－eq\f(1,2)(eq\f(2,3))n－2，因为2－eq\f(1,2)(eq\f(2,3))n－2随着n的增大而增大，所以n＝1时，2－eq\f(1,2)(eq\f(2,3))n－2最小值为eq\f(5,4)，所以a≤eq\f(5,4).9．甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.(1)甲、乙起先运动后几分钟相遇？(2)