2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)专题20 解三角形(含详解)

专题20解三角形

【考点预测】

知识点一：基本定理公式

(1)正余弦定理：在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是〃，b,c,R为△A8C外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+C2-2/?ccosA；

2=上=上=2R

公式b2=c2+a2-2«<?cosB；

sinAsinBsinC

c2=a2+b2-2abcosC

222

Ab^c-a

⑴a=2RsinA,b=27?sinB»c=27?sinC；2bc

常见c2+a2-br

(2)sinA=—,sinB=—»sinC=—:cosDB=----------；

变形2R2R2Rlac

C储十从一。2

cosC=----------.

2ab

(2)面积公式：

5.ABC=—£7^sinC=—Z>csinA=—ncsinBS.ABC==—(a+b+c)r(r是三角形内切圆的半径，并

A222△4R2

可由此计算R,r.)

知识点二：相关应用

(1)正弦定理的应用

①边化角，角化边u>a:〃:c=sinA:sin8:sinC

②大边对大角大角对大边

a>OoA>8osinA>sin8ocos4vcos8③合分比

a+b+ca+bb-\-ca+cabc

----------------------------=------------------=------------------=------------------=--------=--------=--------=2A

sin4+sin8+sinCsinA+sinBsin8+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)AABC内角和定理：A+B+C=TT

©sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBoc=acos8+bcosA

同理有：a=Z?cosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；

tQnA+tqnA?

③斜三角形中，一tanC=tan(A+B)--------------<=>tanA+tanB+tanC=tanA-tailtanC

1-tanA-tanB

⑷sin(-----)=cos—；cos(-----)=sin—

2222

⑤在AABC中，内角A,B,C成等差数列=B=工,A+C=@.知识点三：实际应用

33

（1）仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线二方的角叫俯角（如图①）.

图①图②图③图④（2）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a（如图②）.

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角.

（1）北偏东a,即由指北方向顺时针旋转Q到达目标方向（如图③）.

⑵北偏西a,即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向.

（3）南偏西等其他方向角类似.

（4）坡角与坡度

⑴坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角。为坡角）.

（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）.坡度又称为坡比.

【方法技巧与总结】

L方法技巧：解三角形多解情况

在△ABC中，已知小力和4时，解的情况如下:

A为锐角A为钝角或直角

C

图形zA

4,ABJ….B4B

AB

bsinA<a<ba>b

关系式a=bsinAa>ba<b

解的个

一解两解一解一解无解

数

2.在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要

选择“边化角'’或“角化边”，变换原则常用：

（1）若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；

（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；

（3）若式子含有8sx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；

（4）代数变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到4+8+。=万.

【题型归纳目录】

题型一：正弦定理的应用

题型二：余弦定理的应用

题型三：判断三角形的形状

题型四：正、余弦定理与的综合

题型五：解三角形的实际应用

题型六：倍角关系

题型七：三角形解的个数

题型八：三角形中的面积与周长问题

【典例例题】

题型一：正弦定理的应用

例1.（2022•浙江•镇海中学高三开学考试）在中，A=30°,岗'=1,则“IBC外接圆的半径为（）

A.1B.gC.2D.3

例2.（2022•青海玉树•高三阶段练习（文））在中，内角A,8,C所电的边分别为mA,c,且“BC

的面积5=立（/+/一02）

（1）求角B的大小；

Q）若a+6b=2c，求sinC.

例3.（2022•全国•高考真题）记入48。的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以。，b,c为边长

的三个正三角形的面积依次为§2,S3,已知£-S,+色=且,sin8=」.

23

⑴求的面积；

（2）^sinAsinC=»求b.

3

例4.（2022•安徽•合肥一六八中学模双预测（文））在AABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c

3

若&114=14=28,角。为钝角，b=5.

（1）求sin（A-B）的值;

（2）求边c的长.

例5.（2022•湖北•黄石市有色第一中学模拟预测）在AABC中，内角AB,C的对边分别为a,h,c,

已知2cosc（acos8+灰2sA）=c.

⑴若8s4=包，求sin（2A+C）的值；

4

Q）若c=@,AABC的面积为述，求边“，b的值.

2

例6.（2022•青海西宁♦二模（理））在①。=6；②&=8；③a=12这三个条件中任选一个，补充在下

面问题中，若问题中的三角形存在，求8sA的值：若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在AABC,它的内角A,B,C的对边分别为b»c,GQ积为S,且a?+〃-（？=4S,

5&，?

【方法技巧与总结】

（1）已知两角及一边求解三角形;

（2）已知两边一对角；.

大角求小角一解（锐）

两解一sinA<1（一锐角、一钝角）

小角求大角一1一解一sinA=l（直角）（3）两边一对角，求第三边.

无解一sinA>1

题型二：余弦定理的应用

例7.（2022•全国•高三专题练习）设“ABC的内角A,B,。所对边的长分别为〃，b,c,若的面

积为S,且4&S=（a+力）2-/,则sin（c4）=（）

A.1B.；C.也D.立例8.（2022•青海玉树•高三阶段练习（理））在入48。中，内角4,

222

B,。的对边分别为a,b,c,且。=2#，cosA=-isinB=2sinC,则6=（）

4

A.1B.2C.3D.4

例9.（2022・青海・大通回族土族自治县教学研究室三模（理））在AABC中，a,b,c•分别是角A,B,C

的对边.若a,Ac成等比数列，且〃2-=5-加，则A的大小是（）

A-B.工C.?D.学

6336

例10.（2022•河南安阳•模拟预测（理））在AABC中，角A,B,。的对边分别为小b,a满足

2b2-3c2-ac=0,sin（A+B）=2sinA,则tanC=.

【方法技巧与总结】

（1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边.

（2）己知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，

>0,则△ABC为锐角三角形

若余弦值，=0,则△ABC为直角三角形.

<0,则△ABC为钝角三角形

题型三：判断三角形的形状

例11.（2022・吉林•三模（理））在“1BC中，A,B,C所对的边分别为。，b,c,若/一6=/一岛°且

bcosC=as\nB,则AABC是（）

A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形

例12.（2022.陕西•西北工业大学附属中学模拟预测（理））设AABC的内角A、B、C的对边分别是

从a+-=—\—，贝UAAAC的方色状是（）

abca+b-c

A.等边三角形

B.C为直角的直角三角形

c.C为顶角的等腰三角形

D.A为顶角的等腰三角形或B为顶角的等腰三角形

例13.（2022・青海•海东市教育研究室一模（理））A/WC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若

c2+b1cos2A=2bccosA,则AABC为（）

A.等腰非等边三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等边三角形

例14.（2022•全国•高三专题练习）已知“IBC中，三内角A仇C满足28=4+C,三边。也c满足力2=加,

则△ABC是（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形

例15.（2022・全国•高三专题练习）设AABC的三个内角4氏C满足2A=A+C,又sir?8=sinAsinC，

则这个三角形的形状是（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰直角三角形D.钝角三角形

Ab-4-r

例16.（2022・全国•高三专题练习）在AABC中，乙4,,NC的对边分别为叫b,c,cos2-=——,

22c

则AMC的形状一定是（）

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【方法技巧与总结】

（1）求最大角的余弦，判断AABC是锐角、直角还是钝角三角形.

（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形.

题型四：正、余弦定理与的综合

例17.（2022・全国•高三专题练习（理）〕如图，在“18。中，。是AC边上一点，Z48C为钝角，NOBC=90。.

⑴证明:cosZADB+sinC=0：

（2）若A8=25/7,BC=2,再从下面①②中选取一个作为条件，求△48。的面积.

①sin/ABC=;®AC=3AD.

14

注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.

例18.(2022・全国•高三专题练习)在①AB=2A£>,@sinZ4CB=2sinZ4CD,③5.0=25.8这三

个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知在四边形A8CO中，ZABC+ZADC=n,8C=CO=2,且.(1)证明：tanZABC=3UinZBAC；

(2)若AC=3,求四边形ABC。的面积.

例19.(2022・全国•高三专题练习)在①sin2C=GcosC,©c(2+cosfi)=^sinC,③

bsin4+岛cos8=0这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求该三角形

的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在IBC,它的内角AB,C所对的边分别为。出c,且。=7,c=5,?

例20.(2022・全国•高三专题练习)aABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面

积为

(1)证明：sinA=2sin^；

3

(2)若〃cosC=2%,求cosA.

例2L(2022•江苏泰州•模拟预测)在锐角△ABC中，角4,B,。所对的边分别为a,b,c,已知8c边

上的高等于

⑴求证：sinA=sin^sinC；

cb

(2)若NBAC=45。，求:+一的值.

bc

例22.(2022•山东潍坊•模拟预测)在“IBC中，内角的对边分别为a/,c"gnA+blan8=二叵土.

cosA

⑴求角8；

(2)。是AC边上的点，若8=1,AD=BD=3,求sinA的值.

【方法技巧与总结】

先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化

求解.

题型五：解三角形的实际应用例23.(2022•陕西•西安中学一模(理))为了测量隧道口A、8间的距离，

开车从A点出发，沿正西方向行驶400&米到达。点，然后从。点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达C

点，再从C点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口8点处，测得8。间的距离为1000米.

c

⑴若隧道口8在点。的北偏东。度的方向上，求COS。的值;

(2)求隧道口间的距离.

例24.(2022•上海市建平中学高三期中)如图，某沿海地区计划铺设一柒电缆联通A、8两地，A处位

于东西方向的直线MN上的陆地处，8处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得tan/BAN=±,在A

4

处正西方向1km的点。处，用测角器测得tan/8CN=l.现有两种铺设方案:①沿线段A8在水下铺设；②在

岸MN上选一点P,设/BPN=9,先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算

地下、水下的电缆铺设裁用分别为2万元/km、4万元/km.

西---东

(1)求A、8两点间的距离:

DPCAM

(2)请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由.

例25.(2022•广东湛江•二模)如图，一架飞机从A地飞往8地，两地相距200km.飞行员为了避开某一

区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成。角的方向飞行，飞行到C地，再沿与原来的

飞行方向成45角的方向继续飞行60夜km到达终点.

(1)求A、。两地之间的距离；

⑵求tan®.

例26.(2022•山东泰安•高三期末)在某海域A处的巡逻船发现南偏东60方向，相距。海里的8处有一

可疑船只，此可疑船只正沿射线y=^x(xN0)(以4点为坐标原点，正东，正北方向分别为“轴，V轴正

方向，I海里为单位长度，建立平面直角坐标系)方向匀速航行.巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡

逻船出发/小时后，可疑船只所在位置的横坐标为次.若巡逻船以30海里〃J、时的速度向正东方向追击，则恰

好1小时与可疑船只相遇.

(1)求4b的值;

(2)若巡逻船以5日海里/小时的速度进行追击拦截，能否撼截成功？若能，求出据截时间，若不能，请

说明理由.

例27.(2022•辽宁•大连市一0三中学模拟预测)如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B

位于小岛A北偏东75距离60海里处，小岛8北偏东15距离306-30海里处有一个小岛C.

(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C,求游船航行的方向.

例28.(2022•黑龙江大庆•高三阶段练习(理))如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底8在

同一水平面内的两个测量基点C与。.现测得N8CD=a=35。，ZfiDC=/?=100°,C0=400m.在点C测得

(1)求"与O两点间的距离(结果精确到1m)：

(2)求塔高A8(结果精确到1m).

参考数据：取及sin35。=0.811，0sin80。=1.393，tan50.5°=1.2.

【方法技巧与总结】

根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解.

题型六：倍角关系

例29.(2022•北京丰台•二模)在△舫。中，a=2,b=BA=2B,贝ijcos8=.

例30.(2022•全国•高考真题(文))汜AABC的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,已知

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-i4).

⑴若A=28,求C；

(2)证明：2/=/+。2

例31.(2022.江苏•华罗庚中学高三阶段练习)在AABC中，内角A,B,。所对的边分别为a,b,c

且6=4.

（1）若sinC=2sinB,«cosC=4,求AABC的面积：

（2）若A=28,且AABC的边长均为正整数，求

例32.（2022•上海市奉贤中学高三阶段练习）已知AABC中，A,B,C所对的边分别为mb,c.

⑴若A<8vC,«=pAABC的外接圆半径为R,OC=2R2（1-2COS4COSC）,求A的大小；

（2）若a=3,b=2,A=2B,求。边的长.

例33.（2022•山东•高三开学考试）在△48。中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,边长均为正

整数，且。=4.

（1）若角8为钝角，求△48C的面积；

（2）若A=28,求a.

例34.（2022•天津市新华中学高三阶段练习）已知AABC的内角A仇C的对边分别为且

b=3,c=\,A=2B.

⑴求。的值；

⑵求cos（2A+£）的值.

题型七：三角形解的个数

例35.（2022・江西二模（文））设在“18。中，角4、8、。所对的边分别为42,。,若满足〃=6/=皿8=乡

例36.（2022•全国•模拟预测（理））在/XABC中，ZA=y,b=6,下面使得三角形有两组解的。的值

可以为（）

A.4B.3v/5C.2>/7D.373

例37.（2022•河南•许昌高中高三开学考试（文））在三角形ABC中（A点在8c上方），若A=。，8。=2右,

8C边上的高为/?,三角形ABC的解的个数为〃，则以下错误的是（）

A.当力>3时，〃=0B.当"=3时，〃=1

C.当Ov/iKl时，n=0D.当lv〃<3时，n=2

例38.（2022・全国•高三专题练习（文））已知在“1BC中，。、b、。分别为角A、B、C的对边，则

根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是（）

A.a=3,6=4,A=—B.a=4,b=3,A=—

63

C.a=l,b=2,A=—D.a=2,b=3,A=—

43

例39.(2022•河南•南阳中学高三阶段练习(文))中，已知下列条件：①力=3,c=4,8=30；②

a=5,b=8,A=30。；③c=6,〃=3G,8=60。；@c=9,b=12,C=60°,其中满足上述条件的三角形有两解的

是()A.①④B.①@C.①②③D.③④

题型八：三角形中的面积与周长问题

例40.(2022,湖南•模拟预测)在△MC中，角A,B,C所对的边分别为mb,c,已知C=2A.

(1)求证：c=2acosA；

(2)若C=〃8S4,A<B<C,6=10,且a+c=2Z?,求的面积.

例41.(2022•全国•模拟预测)从①力=。，②〃=3&sin8这两个条件中选一个，补充到下面问题中，

并完成解答.

已知锐角“IBC中，a,b,c分别是内角4,B,。所对的边，fisin2B=sin2A+sin2C-5/2sinAsinC-

⑴求角B；

(2)己知〃="，且_____,求sinC的值及AABC的面积.

例42.(2022•全国•高考真题(理))汜的内角A8,C的对边分别为©Ac,已知

sinCsin(A-8)=sin8sin(C-A).

(1)证明：2a2=b2+c2:

25

(2)若〃=5,cosA=下，求AABC的周长.

例43.(2022•四川省泸县第二中学模拟预测(文))在AASC中，角A,B,C的对边分别为mb,

c.AE(0，T)，GsinA+cosA=\/5.

⑴求tan24的值；

(2)若h=26,a=2,b2>a2+c2,求c和面积S的值.

例44.(2022•四川省泸县第二中学模拟预测(理))在AABC中，角A,B,C的对边分别为mb,

222

c,\/^sinA+cosA=G,b=2石.请再从条件①：a=2,sinB>sinA+sinC;条件②：a<bt

acosAcosCucsin?4+ga.这两个条件中选择一个作为己知，求：

(l)tan2A的值；

(2)c和面积S的值.

例45.(2022•北京•高考真题)在“18。中，sin2C=百sinC.

⑴求NC;

（2）若力=6,且AABC的面积为6百，求△ABC的周长.

例46.（2022・青海・大通回族土族自治县教学研究室三模（文））在△ABC中，内角A、B、C的对边分

别为。、bc,且2Z?cosB=c8sA+acosC.

（1）求角8的大小；

（2）若。+2c=16,且AABC的面积为86,求AABC的周长.

例47.（2022•陕西•西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为。，

b,c,且asin（A+B-C）=csin（8+C）.

（1）求角C的值；

⑵若2a+b=6,且AABC的面积为白，求的周长.

例48.（2022・广东深圳•高三阶段练习）已知“IBC的内角人脱。的对边分别为〃也叫〃=近，

c=4,2cos（8一9+近sinC=3.

⑴求8；

（2）若C为锐角，求AABC的面积.

例49.（2022•浙江•高考真题）在中，角A,B,。所对的边分别为a",c.已知4〃二6c,cosC=|.

⑴求sinA的值；

（2）若力=11,求AABC的面积.

【过关测试】

一、单选题

1.（2022•江西师大附中三模（理））滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永

徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹫齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，小明同学为测量滕王

阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物A8,高为12m,在它们的地面上的点M（5,M,。三点共

线）测得楼顶A,滕工阁顶部C的仰角分别为15。和60。，在楼顶A处测得阁顶部。的仰角为3伊，则小明

估算滕王阁的高度为（）（精确到1m）

D.57m

2.（2022•黑龙江・哈九中模拟预测（文））记△枷的内角4B,。的对边分别为。，b,c,smC二号,

c=2,b=3,则cosB的值为（）

B./C.土也

A.一旦

141414

4

3.（2022•江西•模拟预测（理））在中，内角A,8,C所对的边分别为。也c,且bsinB+csinC=-«sinA,

则包鬻的值为（

)

sinosinC

A.4B.5C.6D.7

4.（2022•黑龙江•哈九中模拟预测（理））记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinC=—,

7

b=3,c=2.则cosB的值为（）

A.一遮B,且

1414

C,土也D,土立

147

5.（2022•江西宜春•模拟预测（文））“IBC的内角A8,C的对边分别为〃也%若4=苧，。=2日,

6

C=5/%，则ZkABC的面积为（）

A.276B.76C.75D.25/3

6.（2022.全国•高三专题练习）在“ISC中，已知AB=5,BC=3,CA=4,则而.而=（）

A.16B.9C.-9D.-167.（2022•北京昌平•二模）在△ABC中，/8=45°,c=4,只需添加

一个条件，即可使△A8C存在且唯一.条件：①°=3&;②b=26；③cosC=-g中，所有可以选择的

条件的序号为（）

A.①B.（D®C.②③D.①②③

8.（2022・全国•高三专题练习）在AABC中，三边长。，"c满足a+c=幼，则tan,tan］的值为（）

A.1B,1

54

C-D-

J23

二、多选题

9.（2022・全国•高三专题练习）AABC内角A,B,C的对边分别为“，b,c.已知切inA=（劝-c）sinB,

且8sA=g,则下列结论正确的是（）

A.a+c=3bB.tanA=2夜

C.AABC的周长为4cD.AABC的面积为里/

9

10.（2022・河北・石家庄二中模拟预测i已知“IBC中，A8=3,AC=5,8C=7,。为AABC外接圆的圆心,

/为AABC内切圆的圆心，则下列叙述正确的是（）

A.AABC外接圆半径为妁叵B.AABC内切圆半径为立

32

C.AOBC=SD.AIBC=\

11.（2022•全国•高三专题练习）在中各角所对得边分别为。，b,c,下列结论正确的有（）

A.上7=3=三则AABC为等边三角形；

cosAcosocosc

B.已知（a+6+c）（a+b-c）=%b,则NC=60;

C.已知a=7,b=«6C=ji5,则最小内角的度数为30。；

D.在a=5,A=60,b=4,解三角形有两解.

12.（2022.全国•高三专题练习）在AABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,且满足

sinB（l+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC,则下列结论可能成立的是（）

A.a=2bB.h=2aC.A=2BD.C=90

三、填空题

13.（2022・河北•高三期中）已知AABC中角4,B,C所对的边分别为小b,c,〃=缺±二则”15。

的面积S=Jp（p-〃）（p-3（p-c）,该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出.若△4?。的

周长为15,（sinA+sinB）:（sinB+sinC）:（sinC+sinA）=4:6:5,则AABC的面积为

.14.（2022•青海玉树•高三阶段练习（理））在锐角“IBC中，角A,B,。的对边分

别为a,b,c,sin*2B=sinA»b=4a,a+c=5»则AABC的面积为.

2

15.（2022•辽宁・沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水

蜿蜒形成了一个“秀''字，故称“秀湖湖峰有秀湖阁（A）和临秀亭（6）两个标志性景点，如图.若为测量隔

湖相望的A、B两地之间的距离，某同学任意选定了与A、8不共线的C处，构成△ABC,以下是测量数据

的不同方案:

①测量NA、AC、BC：

②测量N4、BB、BC；

③测量NC、AC.BC；

④测量NA、/C、DA.

其中一定能唯一确定A、B两地之间的距离的所有方案的序号是

16.（2022.河南安阳.模拟预测（文））右△4次？中，角A,B,C的对

边分别为a,b,c,满足2b呢=o,sin（A+B）=2sinA,则cosC=.

四、解答题

17.（2022,上海市光明中学模拟预测）已知在三角形AABC中，a=2b,三角形的面积S=12.

⑴若6=4,求tan(A+8)；

3

(2)若sinC=《，求sinAsinB.

18.（2022・上海交大附中高三阶段练习）已知三角形花园A8C,顶点A、B、C为花园的三个出入口,

满足A8=20历，BC=20屈，CA=20回（单位：米）.

（1）求三角形花园的面积（精确到1平方米）；

（2）若三角形3个内角均小于120。，到三角形三个顶点距离之和最短的点M必满足MA、MB、正好

三等分M点所在的周角，该点所对三角形三边的张角相等，均为120,所以这个点也称为三角形的等角中

心.请根据此知识求出三角形花园的最佳会合点P到三个出入口的最小距离和（满足到三个出入口的距离

和最小）.

19.（2022•浙江•模拟预测）已知函数/（x）=cosxsinx/3sinxsin

（1）求人幻的最小正周期以及在［0,兀］上的单调递增区间；（2）将/（用的图象向右平移?个单位长度得到函

O

数g（x）的图象.在中，a,b,c分别是角A,B,。的对边，若g（8）=0,〃=4,b=g,求c的值.

29.（2022•河南•平顶山市第一高级中学模拟预测（理））在△48。中.角B.。所对的边分别为“

byc,且/一/=c（acos8-2）.

2

（1）求角A的大小；

（2）若c=8,“8C的面积为4",求3c边上的高.

21.（2022•全国•模拟预测）在“15（”sin4cos

⑴求角A；

（2）若AC=8,点。是线段8C的中点，OE_L4C于点E,且。E=3叵，求CE的长.

4

22.（2022♦重庆•高三阶段练习）已知对任意出8,都有：sin2^-sin2^=sin（＜9+^）sin（^-^）,若“IBC

1

的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.aht且asinA-bsinB=3sin（A-B）.

⑴求c；

⑵若方二为，过点C作垂足为“，若AH=4,求AA5C的面积S.

专题20解三角形

【考点预测】

知识点一：基本定理公式

(1)正余弦定理：在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是〃，b,c,R为△A8C外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+C2-2/?ccosA；

2=上=上=2R

公式b2=c2+a2-2«<?cosB；

sinAsinBsinC

c2=a2+b2-2abcosC

222

Ab^c-a

⑴a=2RsinA,b=27?sinB»c=27?sinC；2bc

常见c2+a2-br

(2)sinA=—,sinB=—»sinC=—:cosDB=----------；

变形2R2R2Rlac

C储十从一。2

cosC=----------.

2ab

(2)面积公式：

5.ABC=—£7^sinC=—Z>csinA=—ncsinBS.ABC==—(a+b+c)r(r是三角形内切圆的半径，并

A222△4R2

可由此计算R,r.)

知识点二：相关应用

(1)正弦定理的应用

①边化角，角化边u>a:〃:c=sinA:sin8:sinC

②大边对大角大角对大边

a>OoA>8osinA>sin8ocos4vcos8③合分比

a+b+ca+bb-\-ca+cabc

----------------------------=------------------=------------------=------------------=--------=--------=--------=2A

sin4+sin8+sinCsinA+sinBsin8+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)AABC内角和定理：A+B+C=TT

©sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBoc=acos8+bcosA

同理有：a=Z?cosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；

tQnA+tqnA?

③斜三角形中，一tanC=tan(A+B)--------------<=>tanA+tanB+tanC=tanA-tailtanC

1-tanA-tanB

⑷