3.7-探索与表达规律-专题探究-学案-2021-2022学年鲁教版（五四制）六年级数学上册

《探索规律》专题探究最近几年，全国多数地市的中考试题都有找规律的题目，人们开始逐渐重视这一类数学题目。所谓规律探索题，指的是给出一组具有某种特定关系的数字、式子、图形，或者是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察，分析，推理探索其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。这类问题在素材的选择、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖灵活，由于这类题目没有固定的形式和方法，要求学生通过阅读、观察、分析、比较、猜想、概括等探索活动来解决问题，它体现了“特殊到一般”的数学思想方法。研究发现数学规律题的解题思想，不但能够提高学生的考试成绩，而且更有助于创新型人才的培养。但究竟怎样才能把这种题目做好，是一个值得探究的问题。下面就解决这类问题作一个初步的探究。一、常见题型1.代数中的规律2.平面图形中的规律3.空间图形中的规律二、一般步骤应用规律证规律察应用规律证规律察特例表达规律察特例猜想规律表达规律察特例猜想规律察特例验证规律察特例观察特例成立重新探索重新探索三、应用举例：（一）代数中的规律：找数字规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把项数和项放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。＜一＞数字中的规律:数字中的规律包括等差数列、等比数列、乘方的数列、循环数列等。这些是我们在学习中会经常遇到的。我们先来看一下等差数列。1.等差数列：这类数列的规律是每相邻两个数之间的差值是相等的，整个数字序列依次递增或递减。等差数列中比较简单的是自然数数列，如：0,1,2,3,4,5，·······，n.奇数数列，如：1，3，5，7，9，·······2n-1.偶数数列2，4，6，8，10·······2n。例题1（1）1，5，9，13，17······第n个为（2）7，11，15，19，23·······第n个为。变式训练：1、已知下列一组数：1，34，59，716，925A．2n-13B．2C．2n+1D．2【分析】仔细观察给出的数字，找出其中存在的规律从而解题即可．【解答】解：∵1=2×1-11²34=2∴第n个数是：2故选：B．2.按一定规律排列的一列数：12，1，1，（），911，1113，1317······【分析】把整数1化为33，55，原数列为：12，33，55，（），911，1113，13【解答】解：答案为1.3.观察下列单项式：a,-2a²,3a³,-4a4,5a5,········。（1）观察规律，写出第2017和2018个单项式；（2）请你写出第n个单项式和第n+1个单项式。【解答】解：（1）第2017个单项式是2017a20172018个单项式是-2018a2018（2）第n个单项式是（-1）n+1nn,第n+1个单项式是（-1）n+2(n+1)n。4.已知：a1=，a2=，a3=，a4=，a5=，a6=，……，则a100=．菁优网版权所有【分析】根据已知数列得出an=，据此解答可得．【解答】解：由题意知an=，当n=100时，a100==，故答案为：．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知数列得出an=．5、设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，an表示第n个数（n是正整数）．已知a1=1，4an=（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，则a2018=4035．【分析】由4an=（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，可得（an+1﹣1）2=（an﹣1）2+4an=（an+1）2，根据a1，a2，a3……是一列正整数，得出an+1=an+2，根据a1=1，分别求出a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，进而发现规律an=2n﹣1，即可求出a2018=4035．【解答】解：∵4an=（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，∴（an+1﹣1）2=（an﹣1）2+4an=（an+1）2，∵a1，a2，a3……是一列正整数，∴an+1﹣1=an+1，∴an+1=an+2，∵a1=1，∴a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，…，∴an=2n﹣1，∴a2018=4035．故答案为4035．【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过计算，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出式子an+1=an+2．6、把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：第一组：2，4；第二组：6，8，10，12；第三组：14，16，18，20，22，24第四组：26，28，30，32，34，36，38，40……则现有等式Am=（i，j）表示正偶数m是第i组第j个数（从左到又数），如A10=（2，3），则A2018=（）A．（31，63） B．（32，17） C．（33，16） D．（34，2）【分析】由第n组中偶数的个数为2n，知第n组最后一个偶数为2×（2+4+6+……+2n）=2×2×（1+2+3+…+n）=2n（n+1），据此求出第31组最后一个偶数为1984，继而可得答案．【解答】解：由题意知第n组中偶数的个数为2n，则第n组最后一个偶数为2×（2+4+6+……+2n）=2×2×（1+2+3+…+n）=2n（n+1），因为第31组最后一个偶数为2×31×32=1984，所以=17，则A2018=（32，17），故选：B．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据数列得出第n组最后一个偶数为2n（n+1）．2、等比数列：每相邻两个数之间的比值是相等的，整个数字序列依次递增或递减。等比数列在数字推理测验中，也是比较常见的。例题2：请按照下列规律填空，并写出第n项：（1）1，3，9，27，,········。（2）3，6，12，24，48，,········。例题3：有一列按一定规律排列的数：2，4，8，16，x，64······，求x及x24-（x4分析：先观察分析所给出的这列数的规律，然后求出x的值，进而代到后面的代数式中求值。解：因为第n个数是2n,x是第5个数，所以x=25=32,所以原式=3224-（324）变式训练二：1、按照一定规律排列的n个数：﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、…，若最后三个数的和为768，则n为（）A．9 B．10 C．11 D．12菁优网版权所有【分析】观察得出第n个数为（﹣2）n，根据最后三个数的和为768，列出方程，求解即可．【解答】解：由题意，得第n个数为（﹣2）n，那么（﹣2）n﹣2+（﹣2）n﹣1+（﹣2）n=768，当n为偶数：整理得出：3×2n﹣2=768，解得：n=10；当n为奇数：整理得出：﹣3×2n﹣2=768，则求不出整数．故选：B．【点评】此题考查规律型：数字的变化类，找出数字的变化规律，得出第n个数为（﹣2）n是解决问题的关键．2、为了求1+2+22+23+…+22016的值，可令S=1+2+22+23+…+22016，则2S=2+22+23+24+…+22017，因此2S﹣S=22017﹣1，所以1+2+22+23+…+22016=22017﹣1．仿照以上推理计算出1+5+52+53+…+52016的值是（）A．52016﹣1 B．52017﹣1 C． D．【考点】1G：有理数的混合运算；37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有【分析】设S=1+5+52+53+…+52016，则5S=5+52+53+…+52014+52017，相减即可求出答案．【解答】解：∵设S=1+5+52+53+…+52016，则5S=5+52+53+…+52014+52017，∴4S=52017﹣1，则S=，故选：D．【点评】本题考查了整式的混合运算的应用及数字的变化问题，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．3.总结规律：﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32…，用含n的式子表示为（﹣1）n（﹣2）n﹣1．【考点】规律型：数字的变化类．菁优网版权所有【分析】首先观察这组数得到一规律，第n个数是（﹣1）n（﹣2）n﹣1．【解答】解：通过观察，发现：第n个数是（﹣1）n（﹣2）n﹣1．故答案为：（﹣1）n（﹣2）n﹣1．【点评】本题主要考查了数字的变化规律，找出数字之间的规律，利用规律解决问题．4、设一列数1、、、、…、的和为Sn，则Sn=．菁优网版权所有【分析】由已知Sn=1++++…+，将这个等式两边同时乘以，得：Sn=+++…+，然后两式相减，得：Sn=1﹣，进而得到：Sn=2﹣．【解答】解：∵Sn=1++++…+①，∴Sn=+++…+②，∴①﹣②得：Sn=1﹣，∴Sn=2﹣．故答案为：2﹣．【点评】此题考查了数字的变化类的规律型题，解题的关键是：表示Sn=+++…+．3.关于乘方的数列在乘方的数列中，自然数的平方，立方要记熟练，平方依次为0，1,4,9,16,25,36·····立方依次为0，1,8,27,64,125,216········例题4请按照下列规律填空，写出第n个数（n为正整数）：（1）0,3,8，15，,········。（2）9,16,25,36，,········。（3）2,9,28,65，,········。例题5、观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出第100个数是＿＿＿。分析：解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较：

项数：1

2

3

4

5

……

项：0，3，8，15，24，……。

通过观察我们

容易发现，已知数的每一项，都等于它的项数的平方减1。因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。如果题目比较复杂，或者包含的变量比较多。解题的时候，不但考虑已知数的项数，还要考虑其他因素。变式训练：1.观察下一列数的特点：0，1，-4，9，-16，25，·······，则第11个数是（）A．-121 B．-100 C．100 D．1212.观察下一列数的特点：12,25,310,417,,········(第3、观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（）A． B． C． D．【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有【分析】观察数据，发现第n个数为，再将n=6代入计算即可求解．【解答】解：观察该组数发现：1，，，，…，第n个数为，当n=6时，==．故选：C．【点评】本题考查了数字的变化类问题，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键是发现第n个数为．4.农夫将苹果树种在正方形的果园内．为了保护苹果树不怕风吹，他在苹果树的周围种针叶树．在下图里，你可以看到农夫所种植苹果树的列数（n）和苹果树数量及针叶树数量的规律：当n为某一个数值时，苹果树数量会等于针叶树数量，则n为（）A．6 B．8 C．12 D．16【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有【分析】观察图形不难发现，苹果树的棵树为相应序号的平方，再求出各个图形中针叶树的棵树，并找出规律写出第n个图形中的棵树的表达式，然后列出方程求解即可．【解答】解：第1个图形中苹果树的棵树是1，针叶树的棵树是8，第2个图形中苹果树的棵树是4=22，针叶树的棵树是16=8×2，第3个图形中苹果树的棵树是9=32，针叶树的棵树是24=8×3，第4个图形中苹果树的棵树是16=42，针叶树的棵树是32=8×4，…，所以，第n个图形中苹果树的棵树是n2，针叶树的棵树是8n，∵苹果树的棵数与针叶树的棵数相等，∴n2=8n，解得n1=0（舍去），n2=8．故选：B．5、观察下面一列有规律的数：，，，…（1）请在横线上填写第7个数；（2）根据规律可知，用分式表示第n个数应是（n为正整数）．【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有【分析】根据第1个数的分子是1加1，分母是1乘以1加2，第2个数的分子是2加1，分母是2乘以2加2，依此论推，可以得出第7个数是分子是7加1，分母是7乘以7加2，第n个数的分子是n加1，分母是n乘以n加2，根据这一规律，即可得出答案．【解答】解：（1）∵第一个数是：=，第二个数是：=，第三个数是：=，…第7个数是：=；（2）根据（1）可得：；故答案为：，．【点评】此题主要考查了数字变化规律，要求学生通过观察，找分数的规律时，一定要分别观察分数的分子和分母的规律．6、设一列数1、、、、…、的和为Sn，则Sn=2﹣．【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有【分析】由已知Sn=1++++…+，将这个等式两边同时乘以，得：Sn=+++…+，然后两式相减，得：Sn=1﹣，进而得到：Sn=2﹣．【解答】解：∵Sn=1++++…+①，∴Sn=+++…+②，∴①﹣②得：Sn=1﹣，∴Sn=2﹣．故答案为：2﹣．【点评】此题考查了数字的变化类的规律型题，解题的关键是：表示Sn=+++…+．7．按照一定规律排列的n个数：﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、…，若最后三个数的和为768，则n为（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有【分析】观察得出第n个数为（﹣2）n，根据最后三个数的和为768，列出方程，求解即可．【解答】解：由题意，得第n个数为（﹣2）n，那么（﹣2）n﹣2+（﹣2）n﹣1+（﹣2）n=768，当n为偶数：整理得出：3×2n﹣2=768，解得：n=10；当n为奇数：整理得出：﹣3×2n﹣2=768，则求不出整数．故选：B．【点评】此题考查规律型：数字的变化类，找出数字的变化规律，得出第n个数为（﹣2）n是解决问题的关键．4、加减法数列：例题：请你按照如下规律填空：（1）1，1，2，3，5，（）·····（2）6，3，3，（），3，-3·······变式训练：1、杨辉三角2、古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为an，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400=1.6×105或160000．【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有【专题】2A：规律型．【分析】首先计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值，然后总结规律，根据规律可以得出结论．【解答】解：∵；；；…∴；∴．故答案为：1.6×105或160000．【点评】本题考查的是规律发现，根据计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值可以发现规律为，发现规律是解决本题的关键．3、从1开始得到如下的一列数：1，2，4，8，16，22，24，28，…其中每一个数加上自己的个位数，成为下一个数，上述一列数中小于100的个数为（）A．21 B．22 C．23 D．99【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有【专题】2A：规律型．【分析】根据数字的变化，找出规律，每4个数一组，每一组数的首数字为1，16，36，56，76，96，由此可得结果．【解答】解：由题意知：1，2，4，8，16，22，24，28，…由此可知，每4个数一组，后面依次为36，42，44，48，56，62，64，68，76，82，84，88，96，故小于100的个数为：21个，故选：A．【点评】本题主要考查了数字的变化规律，发现规律是解答此题的关键．5、循环数列：这类题型的特点是数列的结果是以某些数为一组循环出现的。例题：观察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，…，通过观察，用你所发现的规律确定32016的个位数字是（）A．9B．7C．3D．1变式训练：1、式子31+32+33+·······+32016的个位数字是（）A．9B．7C．3D．02、将全体自然数按下面的方式进行排列：按照这样的排列规律，2014应位于（）A．位 B．位 C．位 D．位【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有【专题】2A：规律型．【分析】观察图形不难发现，每4个数为一个循环组依次循环，因为2014是第2015个数，所以用2015除以4，再根据商和余数的情况确定2014所在的位置即可．【解答】解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，∵2014是第2015个数，∴2015÷4=503余3，∴2014应位于第504循环组的第3个数，在位．故选：C．【点评】本题是对数字变化规律的考查，观察出每4个数为一个循环组依次循环是解题的关键，要注意2014是第2015个数．3、根据如图中箭头的指向规律，从2016到2017再到2018，箭头的方向是以下图示中的（）A． B． C． D．【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有【专题】2A：规律型．【分析】观察不难发现，每4个数为一个循环组依次循环，用2016除以4，根据商和余数的情况解答即可．【解答】解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，2016÷4=504，∴2016是第505个循环组的第1个数，∴从2016到2017再到2018，箭头的方向是．故选：B．【点评】本题是对数字变化规律的考查，仔细观察图形，发现每4个数为一个循环组依次循环是解题的关键．4、一列数，x1，x2，x3…，其中x1=，xn=（n为不小于2的整数），则x2016等于（）A． B．2 C．0 D．﹣1【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有【专题】2A：规律型；51：数与式．【分析】计算出数列的前4个数即可发现该数列每3个数为一周期循环，根据2016÷3=672知x2016=x3=﹣1．【解答】解：∵x1=，x2==2，x3==﹣1，x4==，…∴该数列每3个数为一周期循环，∵2016÷3=672，∴x2016=x3=﹣1，故选：D．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据数列得出该数列每3个数为一周期循环．5、a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是=﹣2，﹣2的“哈利数”是，已知a1=3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2018=（）A．3 B．﹣2 C． D．【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有【专题】2A：规律型．【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案．【解答】解：∵a1=3，∴a2==﹣2，a3=，a4=，a5=，∴该数列每4个数为一周期循环，∵2018÷4=504…2，∴a2018=a2=﹣2，故选：B．【点评】本题主要考查数字的变换规律，根据题意得出该数列每4个数为一周期循环是关键．6、已知a＞0，S1=，S2=﹣S1﹣1，S3=，S4=﹣S3﹣1，S5=，…（即当n为大于1的奇数时，Sn=；当n为大于1的偶数时，Sn=﹣Sn﹣1﹣1），按此规律，S2018=﹣．【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有【专题】2A：规律型．【分析】根据Sn数的变化找出Sn的值每6个一循环，结合2018=336×6+2，即可得出S2018=S2，此题得解．【解答】解：S1=，S2=﹣S1﹣1=﹣﹣1=﹣，S3==﹣，S4=﹣S3﹣1=﹣1=﹣，S5==﹣（a+1），S6=﹣S5﹣1=（a+1）﹣1=a，S7==，…，∴Sn的值每6个一循环．∵2018=336×6+2，∴S2018=S2=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出Sn的值每6个一循环是解题的关键．7、若a是不为1的实数，我们把1﹣称为a的差倒数，设a1=﹣，若a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3是差倒数，…，依此类推，a2017的值是﹣．【考点】17：倒数；37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有【专题】2A：规律型；51：数与式．【分析】根据差倒数的定义分别计算出a1，a2，a3，a4，…则得到从a1开始每3个值就循环，而2017=3×672+1，所以a2017=a1=﹣．【解答】解：∵a1=﹣，a2==，a3==4，a4==﹣，∴每3个数为一周期循环，∵2017÷3=672…1，∴a2017=a1=﹣，故答案为：﹣【点评】此题考查了数字的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．＜二＞等式中的规律：例题：研究下列算式，你会发现什么规律？=1\*GB3①1³=12=×12×22=2\*GB3②13+23=32=×22×32=3\*GB3③13+23+33=62=×32×42；=4\*GB3④13+23+33+43=102=×42×52；=5\*GB3⑤13+23+33+43+53=152=×52×62；=1\*GB2⑴根据以上算式的规律，写出第六个算式；=2\*GB2⑵用含n（n为正整数）的式子表示第n个算式；=3\*GB2⑶请用以上规律计算73+83+93+·······+203。解：=1\*GB2⑴=6\*GB3⑥13+23+33+43+53+63=212=2\*GB2⑵13+23+33·······+n3=×n2×(n+1)2=3\*GB2⑶73+83+93+·······+203=(13+23+33+·······+203)–(13+23+33+·······+63)=×202×212–×62×72=43659变式训练1观察下列等式：=1\*GB3①3+5+7=15=3x5;=2\*GB3②5+7+9=21=3x7;=3\*GB3③7+9+11=27=3x9;=4\*GB3④9+11+13=33=3x11;········=1\*GB2⑴根据你观察的规律，写出第六个等式；=2\*GB2⑵小颖说：“三个连续奇数的和一定是3的整数倍”，她说得对吗？简单说明理由。解：=1\*GB2⑴13+15+17=45=3x15=2\*GB2⑵设三个连续奇数依次为2n+1,2n+3,2n+5.根据题意得：2n+1+2n+3+2n+5=6n+9=3（2n+3）因为n为正整数所以三个连续奇数的和一定是3的整数倍。2.阅读下列材料：1×2=（1×2×3﹣0×1×2），2×3=（2×3×4﹣1×2×3），3×4=（3×4×5﹣2×3×4），由以上三个等式相加，可得：1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20．2.读完以上材料，请你计算下列各题：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）；（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=[n×（n+1）×（n+2）]；（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=1260．【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有【专题】16：压轴题；21：阅读型；2A：规律型．【分析】可得规律：a×b=[a×b×（b+1）﹣（a﹣1）×a×b]．【解答】解：1×2=（1×2×3﹣0×1×2）；2×3=（2×3×4﹣1×2×3）；3×4=（3×4×5﹣2×3×4）；…10×11=（10×11×12﹣9×10×11）；…n×（n+1）=[n×（n+1）×（n+2）﹣（n﹣1）×n×（n+1）]．（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11=（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+（10×11×12﹣9×10×11）=（10×11×12）=440；（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+[n×（n+1）×（n+2）﹣（n﹣1）×n×（n+1）]=[n×（n+1）×（n+2）]；（3）1×2×3=（1×2×3×4﹣0×1×2×3）；2×3×4=（2×3×4×5﹣1×2×3×4）；3×4×5=（3×4×5×6﹣2×3×4×5）；…7×8×9=（7×8×9×10﹣6×7×8×9）；∴1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=（1×2×3×4﹣0×1×2×3）+（2×3×4×5﹣1×2×3×4）+（3×4×5×6﹣2×3×4×5）+…+（7×8×9×10﹣6×7×8×9）；=（7×8×9×10）=1260．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．3、阅读下列解题过程：为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上方法计算1+3+32+33+…+32014．4.观察下列等式：第一个等式是1+2=3，第二个等式是2+3=5，第三个等式是4+5=9，第四个等式是8+9=17，…猜想：第n个等式是2n﹣1+（2n﹣1+1）=2n+1．【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有【专题】2A：规律型．【分析】第一个等式是20+（20+1）=21+1，第二个等式是21+（21+1）=22+1，第三个等式是22+（22+1）=23+1，第四个等式是23+（23+1）=24+1，第n个等式是2n﹣1+（2n﹣1+1）=2n+1．【解答】解：第n个等式是2n﹣1+（2n﹣1+1）=2n+1．【点评】解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．5.观察下列各式：…请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的代数式表达出来（n≥1）．【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有【专题】2A：规律型．【分析】观察分析可得：=（1+1）；=（2+1）；…则将此题规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来【解答】解：∵=（1+1）；=（2+1）；∴=（n+1）（n≥1）．故答案为：=（n+1）（n≥1）．【点评】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．本题的关键是根据数据的规律得到=（n+1）（n≥1）．6.先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．┅┅（1）计算=；（2）探究=；（用含有n的式子表示）（3）若的值为，求n的值．【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有【专题】16：压轴题；2A：规律型．【分析】通过观察数据找到规律，并以规律解题即可．【解答】解：（1）原式=1﹣﹣+﹣+﹣+﹣=1﹣=；（2）原式=1﹣﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；（3）=+…+==由=，解得n=17，经检验n=17是方程的根，∴n=17．【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出分式的符号的变化规律是此类题目中的难点．代数中的规律小结：

1、找到题目中的不变量

2、找到题目中的改变量，并认真观察改变量的变化规律

3、观察与猜想结合找到变量与不变量之间的关系=2\*GB4㈡、平面图形中的规律探索图形的变化规律也是探索规律中比较常见的，这类题型的特点是直观易懂，从一些基本的图形开始观察，努力寻找其他图形的变化规律，揭示其内在的奥秘，发展学生的观察能力、分析推理能力。平面图形中的规律，也分为等差数列、等比数列。等差数列例题：如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为（）A．671 B．672 C．673 D．674【分析】将已知三个图案中白色纸片数拆分，得出规律：每增加一个黑色纸片时，相应增加3个白色纸片；据此可得第n个图案中白色纸片数，从而可得关于n的方程，解方程可得．【解答】解：∵第1个图案中白色纸片有4=1+1×3张；第2个图案中白色纸片有7=1+2×3张；第3个图案中白色纸片有10=1+3×3张；…∴第n个图案中白色纸片有1+n×3=3n+1（张），根据题意得：3n+1=2017，解得：n=672，故选：B．变式训练：1、用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为（）A．3n B．6n C．3n+6 D．3n+3【分析】解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．【解答】解：∵第一个图需棋子3+3=6；第二个图需棋子3×2+3=9；第三个图需棋子3×3+3=12；…∴第n个图需棋子3n+3枚．故选：D．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．2、如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】38：规律型：图形的变化类．菁优网版权所有【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．【点评】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出第n次操作后，三角形的个数为3n+1是解题关键．3、将图1中的正方形剪开得到图2，图2中共有4个正方形；将图2中一个正方形剪开得到图3，图3中共有7个正方形；将图3中一个正方形剪开得到图4，图4中共有10个正方形；…；如此下去．则图10中正方形的个数是（）A．28 B．29 C．31 D．32【分析】根据已知图形可以发现：每次分割，都会增加3个正方形，所以可以得到此题的规律为：第n个图形中的正方形个数为：3n﹣2．依此求出图10中正方形的个数．【解答】解：根据题意：每次分割，都会增加3个正方形．故图10中共有3×10﹣2=28个正方形．故选：A．【点评】本题考查规律型：图形的变化，要求学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律：每次分割，都会增加3个正方形．4、一根绳子弯曲成如图1所示的形状．当用剪刀像图2那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图3那样沿虚线b（b∥a）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段．若用剪刀在虚线a，b之间把绳子再剪（n﹣2）次（剪刀的方向与a平行），这样一共剪n次时绳子的段数是（）A．4n+1 B．4n+2 C．4n+3 D．4n+5【分析】本题做为一道选择题，学生可把n=1，x=5；n=2，x=9代入选项中即可得出答案．而若作为常规题，学生则需要一一列出n=1，2，3…的能，再对x的取值进行归纳．【解答】解：设段数为x则依题意得：n=0时，x=1，n=1，x=5，n=2，x=9，n=3，x=13…所以当n=n时，x=4n+1．故选：A．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．而作为选择题，将已知代入求解能节省很多时间和避免计算错误．6、将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是（）A．502 B．503 C．504 D．505【考点】38：规律型：图形的变化类．菁优网版权所有【分析】根据正方形的个数变化可设第n次得到2013个正方形，则4n+1=2013，求出即可．【解答】解：∵第1次：分别连接各边中点如图2，得到4+1=5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4×2+1=9个正方形…，以此类推，根据以上操作，若第n次得到2013个正方形，则4n+1=2013，解得：n=503．故选：B．【点评】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键．等比数列例题：将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，请根据图2化简，S1+S2+S3+…+S2014=1﹣．【分析】观察图形的变化发现每次折叠后的面积与正方形的关系，从而写出面积和的通项公式．【解答】解：观察发现S1+S2+S3+…+S2014=+++…+=1﹣，故答案为：1﹣．【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形的变化，并找到图形的变化规律．变式训练：1、如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出+++…+=1﹣．．菁优网版权【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．【解答】解：∵A1、B1分别是AC、BC两边的中点，且△ABC的面积为1，∴△A1B1C的面积为1×．∴四边形A1ABB1的面积=△ABC的面积﹣△A1B1C的面积==1﹣；∴四边形A2A1B1B2的面积=△A1B1C的面积﹣△A2B2C的面积=﹣=．…，∴第n个四边形的面积==．故+++…+=（1﹣）+（﹣）+…+（）=1﹣．故答案为：，1﹣．【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力2、【阅读】求值：1+2+22+23+…+22016解：设S=1+2+22+23+24+…+22016①将等式①的两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+22017②由②﹣①得2S﹣S=22017﹣1即：S=1+2+22+23+24+…+22016=22017﹣1仿照此法计算：（1）1+3+32+33+…+3100（2）1++++…+3、【应用】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2016次，依次得到小正方形S3、S4…S2016．完成下列问题：（3）小正方形S2016的面积等于；（4）求正方形S1、S2、S3、S4…S2016的面积和．【分析】（1）先将等式①的两边同时乘以3，再由②﹣①得结论；（2）将等式①的两边同时乘以，再由②﹣①得结论；（3）根据题意依次求S1、S2、S3、…，得出S2016的值；（4）将等式①的两边同时乘以4，再由②﹣①得结论；【解答】解：（1）设S=1+3+32+33+…+3100①，将等式①的两边同时乘以3得：3S=3+32+33+…+3100+3101②，由②﹣①得3S﹣S=3101﹣1，即：S=1+3+32+33+…+3100=；（2）设S=1++++…+①，将等式①的两边同时乘以得：S=+++…++②，由②﹣①得：S﹣S=﹣1，S=2﹣，即：S=1++++…+=2﹣；（3）由题意得：S=1，S1=，S2=×=，S3=××=，…，S2016=，故答案为：；（4）设A=S1+S2+S3+S4+…+S2016=+++…+①，将等式①的两边同时乘以4得：4A=1++++…+②，由②﹣①得：4A﹣A=1﹣，A=（1﹣），即：S1+S2+S3+S4+…+S2016=（1﹣）．【点评】本题是数字与图形相结合的规律题，关键是认真阅读已知材料，通过归纳与总结，得到其中的规律，并按此规律进行计算；本题还通过等分正方形的面积与数字类的规律结合在一起，进一步将数字类的规律应用到数学中来．4、一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为（）A．1﹣ B． C．（）n+1 D．【考点】38：规律型：图形的变化类．菁优网版权所有【专题】16：压轴题．【分析】根据题意分析可得：每次跳动后，到原点O的距离为跳动前的一半．【解答】解：故第n次跳动后，该质点到原点O的距离为．故选：D．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．5.如图，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，…，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（）A．32 B．56 C．60 D．64【考点】38：规律型：图形的变化类．菁优网版权所有【专题】16：压轴题；2A：规律型．【分析】通过观察已知图形可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，…，以此类推可得：A6比图A2多出“树枝”4+8+16+32个【解答】解：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，…，A6比图A2多出“树枝”4+8+16+32=60个，故选：C．【点评】此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．＜三＞、循环数列例题：一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（）A．2010 B．2011 C．2012 D．2013【分析】该纸链是5的倍数，剩下部分有12个，12=5×2+2，所以中间截去的是3+5n，从选项中数减3为5的倍数即得到答案．【解答】解：由题意，可知中间截去的是5n+3（n为正整数），由5n+3=2013，解得n=402，其余选项求出的n不为正整数，则选项D正确．故选：D．【点评】本题考查了图形的变化规律，从整体是5个不同颜色环的整数倍数，截去部分去3后为5的倍数，从而得到答案．变式训练：1、有一串彩色的珠子，按白黄蓝的顺序重复排列，其中有一部分放在盒子里，如图所示，则这串珠子被放在盒子里的颗数可能是（）A．2010 B．2011 C．2012 D．2013【分析】首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．【解答】解：根据规律可以发现盒子里有3n+1颗珠子，当有2011颗时，n恰为整数．故选：B．【点评】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力．注意由特殊到一般的分析方法．2、将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（）A．6 B．5 C．3 D．