2025年北师大版高一数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高一数学下册月考试卷667考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（）A.B.C.D.2、设用二分法求方程在内近似解的过程中得则方程的根落在区间（）A.B.C.D.不能确定3、【题文】在直角坐标平面中，若F1、F2为定点，P为动点，a>0为常数，则“|PF1|+|PF2|=2a”是“点P的轨迹是以F1、F2为焦点，以2a为长轴的椭圆”的()

A.充要条件B.仅必要条件C.仅充分条件D.非充分且非必要条件4、“”是“直线与直线相互垂直”的()A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件5、若直线经过两点，则直线的倾斜角为()A.B.C.D.6、已知函数的定义域为（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)7、三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数为____．8、若函数f（x）与g（x）=的图象关于直线y=x对称，则f（4-x2）的单调递增区间是____．9、给出四个命题：

①函数的单调递增区间是（-∞；-1]∪[1，+∞）；

②如果y=f（x）是偶函数；则它的图象一定与y轴相交；

③如果y=f（x）是奇函数；则它的图象一定过坐标原点；

④函数f（x）=+的定义域是{x|≥-1；且x≠3}；

其中错误命题的序号是____．10、设a,b为正实数.现有下列命题:①若a2-b2=1,则a-b<1;②若-=1,则a-b<1;③若|-|=1,则|a-b|<1;④若|a3-b3|=1,则|a-b|<1.其中真命题有.(写出所有真命题的编号)11、【题文】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的全面积为____。12、已知点A（-1，2），B（2，-2），C（0，3），若点M（a，b）是线段AB上的一点（a≠0），则直线CM的斜率的取值范围是______．13、已知集合A={x|鈭�2鈮�x鈮�5}B={x|m+1鈮�x鈮�2m鈭�1}

若B?A

则实数m

的取值范围是______．评卷人得分三、计算题(共9题，共18分)14、解方程

（1）3x2-32x-48=0

（2）4x2+x-3=0

（3）（3x+1）2-4=0

（4）9（x-2）2=4（x+1）2．15、若x2-6x+1=0，则=____．16、在平面直角坐标系中，有A（3，-2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=____时，AC+BC的值最小．17、（2005•兰州校级自主招生）已知四边形ABCD是正方形，且边长为2，延长BC到E，使CE=-，并作正方形CEFG，（如图），则△BDF的面积等于____．18、方程2x2-x-4=0的两根为α，β，则α2+αβ+β2=____．19、已知α、β是方程x2-x-1=0的两个实数根，则代数式α2+α（β2-2）的值为____．20、如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线DE，与过点A的直线垂直于E，弦BD的延长线与直线AE交于C点．

（1）求证：点D为BC的中点；

（2）设直线EA与⊙O的另一交点为F，求证：CA2-AF2=4CE•EA；

（3）若弧AD=弧DB，⊙O的半径为r．求由线段DE，AE和弧AD所围成的阴影部分的面积．21、已知函数f（x），g（x）同时满足：g（x﹣y）=g（x）g（y）+f（x）f（y）；f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，求g（0），g（1），g（2）的值．22、化简求值．评卷人得分四、作图题(共4题，共28分)23、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．24、作出函数y=的图象．25、画出计算1++++的程序框图．26、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

评卷人得分五、证明题(共4题，共28分)27、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．28、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．29、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．30、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、B【分析】试题分析：首先满足最小正周期为有B和D，而且还要是在区间上为减函数，只有B符合条件，故选择B.这里特别要关注的图象，它是将在轴下方的图象沿轴翻折上去，这样最小正周期就变为原来的一半，即为考点：三角函数的周期性、单调性和图象变换.【解析】【答案】B2、C【分析】试题分析：由题意得,因为f(1.25)<0.f(1.5)>0.所以f(1.25)f(1.5)<0,即有零点定理得在的落在故选B.考点：1.函数的零点的判定.2.指数函数值的计算.3.估算的思想.【解析】【答案】C.3、B【分析】【解析】点P的轨迹是以F1、F2为焦点，以2a为长轴的椭圆的充要条件为“|PF1|+|PF2|=2a>”

所以“|PF1|+|PF2|=2a”是“点P的轨迹是以F1、F2为焦点，以2a为长轴的椭圆”的必要不充分条件【解析】【答案】B4、B【分析】【分析】因为“直线与直线相互垂直”的充要条件是即或所以“”是“或”充分而不必要条件，因此“”是“直线与直线相互垂直”的充分而不必要条件.5、A【分析】【解答】由且所以直线的倾斜角为选A。

【分析】简单题，理解直线的斜率与倾斜角，牢记特殊角的函数值。6、D【分析】【解答】为使函数有意义，须解得故选D。

【分析】综合题，求函数的定义域，往往要建立不等式组，依据是“分母不为0，偶次根号下式子不小于0，对数的真数大于0”等等。二、填空题(共7题，共14分)7、略

【分析】【分析】根据题意可以得到当三角形纸片内有1个点时，有3个小三角形；当有2个点时，有5个小三角形；当n=3时，有7个三角形，因而若有n个点时，一定是有2n+1个三角形．【解析】【解答】解：根据题意有这样的三角形的个数为：2n+1=2×100+1=201；

故答案为：201．8、略

【分析】

∵函数f（x）与g（x）=的图象关于直线y=x对称；

∴函数f（x）是g（x）=的反函数，∴f（x）=

f（4-x2）=又4-x2＞0；-2＜x＜2；

∴f（4-x2）的减区间是（-2；0]．

【解析】【答案】函数f（x）是g（x）=的反函数，求出f（4-x2）的解析式；确定单调减区间．

9、略

【分析】

①根据函数的单调性的定义可得：函数的单调递增区间应该是（-∞；-1]，[1，+∞），所以①错误．

②如果y=f（x）是偶函数，则它的图象不一定与y轴相交，如f（x）=所以②错误．

③如果y=f（x）是奇函数，则它的图象不一定过坐标原点，如f（x）=所以③错误．

④根据根式与分式的意义可得：函数f（x）=+的定义域为即是{x|x≥-1，且x≠3}，所以④正确．

故答案为：①②③．

【解析】【答案】①根据函数的单调性的定义可得：答案应该是（-∞；-1]，[1，+∞）．

②举例如f（x）=．

③举例如f（x）=．

④根据根式与分式的意义可得：④正确．

10、略

【分析】试题分析：对于①,因为由此可知若这与矛盾,故有成立,所以①为真;对于②取知所以②不真;对于③取成立,但不成立,所以③不真;对于④由得到:又因为中至少有一个大于1（否则已知|a3-b3|=1不成立）,从而成立,故④为真;综上可知真命题有①④.考点：不等式的性质.【解析】【答案】①④11、略

【分析】【解析】

。

该几何体是四棱锥，如图：四棱锥中，是边长为1的正方形；易证四个侧面都是直角三角形；SB=SD=在的面积都为1，的面积都为底面面积为1，故该几何体的全面积为【解析】【答案】12、略

【分析】解：如图；

．

∴直线CM的斜率的取值范围是（-∞，-]∪[1；+∞）．

故答案为：（-∞，-]∪[1；+∞）．

在平面直角坐标系中找出A；B，C三点，求出AC，BC所在直线的斜率，数形结合可得直线CM的斜率的取值范围．

本题考查利用两点求直线斜率的方法，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．【解析】（-∞，-]∪[1，+∞）13、略

【分析】解：垄脵

若B=鈱�

则m+1>2m鈭�1

隆脿m<2

垄脷

若B鈮�鈱�

则m

应满足：{m+1鈮�2m鈭�1m+1鈮�鈭�22m鈭�1鈮�5

解得2鈮�m鈮�3

综上得m鈮�3

隆脿

实数m

的取值范围是(鈭�隆脼,3]

．

故答案为：(鈭�隆脼,3]

．

根据B?A

可分B=鈱�

和B鈮�鈱�

两种情况：B=鈱�

时，m+1>2m鈭�1B鈮�鈱�

时，{m+1鈮�2m鈭�1m+1鈮�鈭�22m鈭�1鈮�5

这样便可得出实数m

的取值范围．

考查子集的概念，描述法表示集合，注意不要漏了B=鈱�

的情况．【解析】(鈭�隆脼,3]

三、计算题(共9题，共18分)14、略

【分析】【分析】（1）方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式；然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；

（2）方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式；然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；

（3）将常数项移到右边；开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；

（4）利用两数的平方相等，两数相等或互为相反数转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解析】【解答】解：（1）3x2-32x-48=0；

分解因式得：（x-12）（3x+4）=0；

可得x-12=0或3x+4=0；

解得：x1=12，x2=-；

（2）4x2+x-3=0；

分解因式得：（4x-3）（x+1）=0；

可得4x-3=0=或x+1=0；

解得：x1=，x2=-1；

（3）（3x+1）2-4=0；

变形得：（3x+1）2=4；

开方得：3x+1=2或3x+1=-2；

解得：x1=，x2=-1；

（4）9（x-2）2=4（x+1）2；

开方得：3（x-2）=2（x+1）或3（x-2）=-2（x+1）；

解得：x1=8，x2=．15、略

【分析】【分析】两边都除以x求出x+，两边平方后能求出x2+的值，代入求出即可．【解析】【解答】解：∵x2-6x+1=0；

∴x-6+=0；

∴x+=6；

两边平方得：x2+2•x•+=36；

∴x2+=36-2=34；

∴x2+-1=34-1=33．

故答案为：33．16、略

【分析】【分析】先作出点A关于x=1的对称点A′，再连接A'B，求出直线A'B的函数解析式，再把x=1代入即可得．【解析】【解答】解：作点A关于x=1的对称点A'（-1；-2）；

连接A'B交x=1于C，可求出直线A'B的函数解析式为y=；

把C的坐标（1，n）代入解析式可得n=-．17、略

【分析】【分析】根据正方形的性质可知三角形BDC为等腰直角三角形，由正方形的边长为2，表示出三角形BDC的面积，四边形CDFE为直角梯形，上底下底分别为小大正方形的边长，高为小正方形的边长，利用梯形的面积公式表示出梯形CDFE的面积，而三角形BEF为直角三角形，直角边为小正方形的边长及大小边长之和，利用三角形的面积公式表示出三角形BEF的面积，发现四边形CDEF的面积与三角形EFB的面积相等，所求△BDF的面积等于三角形BDC的面积加上四边形CDFE的面积减去△EFB的面积即为三角形BDC的面积，进而得到所求的面积．【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形；边长为2；

∴BC=DC=2；且△BCD为等腰直角三角形；

∴△BDC的面积=BC•CD=×2×2=2；

又∵正方形CEFG；及正方形ABCD；

∴EF=CE；BC=CD；

由四边形CDFE的面积是（EF+CD）•EC，△EFB的面积是（BC+CE）•EF；

∴四边形CDFE的面积=△EFB的面积；

∴△BDF的面积=△BDC的面积+四边形CDFE的面积-△EFB的面积=△BDC的面积=2．

故答案为：2．18、略

【分析】【分析】先根据根与系数的关系求出α+β、αβ的值，再根据完全平方公式对α2+αβ+β2变形后，再把α+β、αβ的值代入计算即可．【解析】【解答】解：∵方程2x2-x-4=0的两根为α；β；

∴α+β=-=，αβ==-2；

∴α2+αβ+β2=（α+β）2-αβ=（）2-（-2）=+2=．

故答案是：．19、略

【分析】【分析】根据所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化后即可得出答案．【解析】【解答】解：∵α、β是方程x2-x-1=0的两个实数根；

∴α+β=1，αβ=-1，α2-α-1=0，β2-β-1=0；

∴α2=α+1，β2=β+1

∴α2+α（β2-2）=α+1+α（β+1-2）

=α+1-1-α

=0．

故答案为：0．20、略

【分析】【分析】（1）连接OD；ED为⊙O切线；由切线的性质知：OD⊥DE；根据垂直于同一直线的两条直线平行知：OD∥AC；由于O为AB中点，则点D为BC中点．

（2）连接BF；AB为⊙O直径，根据直径对的圆周角是直角知，∠CFB=∠CED=90°，根据垂直于同一直线的两条直线平行知

ED∥BF由平行线的性质知，由于点D为BC中点，则点E为CF中点，所以CA2-AF2=（CA-AF）（CA+AF）=（CE+AE-EF+AE）•CF=2AE•CF；将CF=2CE代入即可得出所求的结论．

（3）由于则弧AD是半圆ADB的三分之一，有∠AOD=180°÷3=60°；连接DA，可知等腰三角形△OAD为等边三角形，则有OD=AD=r；在Rt△DEA中，由弦切角定理知：∠EDA=∠B=30°，可求得EA=r，ED=r，则有S阴影=S梯形AODE-S扇形AOD，从而可求得阴影部分的面积．【解析】【解答】（1）证明：连接OD；

∵ED为⊙O切线；∴OD⊥DE；

∵DE⊥AC；∴OD∥AC；

∵O为AB中点；

∴D为BC中点；

（2）证明：连接BF；

∵AB为⊙O直径；

∴∠CFB=∠CED=90°；

∴ED∥BF；

∵D为BC中点；

∴E为CF中点；

∴CA2-AF2=（CA-AF）（CA+AF）

=（CE+AE-EF+AE）•CF=2AE•CF；

∴CA2-AF2=4CE•AE；

（3）解：∵，

∴∠AOD=60°；

连接DA；可知△OAD为等边三角形；

∴OD=AD=r；

在Rt△DEA中；∠EDA=30°；

∴EA=r，ED=r；

∴S阴影=S梯形AODE-S扇形AOD=

=．21、解：由题设条件，令x=y=0；则有。

g（0）=g2（0）+f2（0）

又f（0）=0，故g（0）=g2（0）

解得g（0）=0；或者g（0）=1

若g（0）=0，令x=y=1得g（0）=g2（1）+f2（1）=0

又f（1）=1知g2（1）+1=0；此式无意义，故g（0）≠0

此时有g（0）=g2（1）+f2（1）=1

即g2（1）+1=1；故g（1）=0

令x=0；y=1得g（﹣1）=g（0）g（1）+f（0）f（﹣1）=0

令x=1；y=﹣1得g（2）=g（1）g（﹣1）+f（1）f（﹣1）=﹣1

综上得g（0）=1；g（1）=0，g（2）=﹣1

【分析】【分析】由题设条件知，可以采用赋值的方法来求值，可令x求g（0），再令x=y=1求g（1）的值，令x=1，y=﹣1求g（2）的值22、解：原式=sin50°=

=

==1【分析】【分析】通过通分，利用两角和的正弦公式、诱导公式即可得出．四、作图题(共4题，共28分)23、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．24、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可25、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．26、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．五、证明题(共4题，共28分)27、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．28、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC