2024年沪科版高一数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪科版高一数学下册月考试卷107考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、已知f（cosx）=sin2x；则f（sin30°）的值为（）

A.

B.

C.

D.

2、sin(-3300)的值为（）A.B.C.D.3、【题文】若存在x∈[﹣2，3]，使不等式2x﹣x2≥a成立，则实数a的取值范围是（）A.（﹣∞，1]B.（﹣∞，﹣8]C.[1，+∞）D.[﹣8，+∞）4、设P和Q是两个集合，定义集合P+Q={x∈P或x∈Q且∉P∩Q}，若P={x|x2﹣3x﹣4≤0}，Q={x|y=log2（x2﹣2x﹣15）}，那么P+Q等于（）A.[﹣1，4]B.（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）C.（﹣3，5）D.（﹣∞，﹣3）∪[﹣1，4]∪（5，+∞）5、已知f（x）=ax5+bx3+cx+8，且f（﹣2）=10，则f（2）=（）A.﹣2B.﹣6C.6D.86、已知集合则（）A.B.C.D.7、若是第二象限角,则是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角8、已知集合则A∩B=（）A.B.C.D.∅9、已知函数y=f（x）和y=g（x）在[-2，2]上的图象如图所示．给出下列四个命题：

①方程f[g（x）]=0有且仅有6个根；

②方程g[f（x）]=0有且仅有3个根；

③方程f[f（x）]=0有且仅有5个根；

④方程g[g（x）]=0有且仅有4个根．

其中正确的命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)10、方程在区间内的所有实根之和为.（符号表示不超过的最大整数）.11、将十进制数2008转化为二进制数____．12、如图，在平面斜坐标系xoy中，∠xoy=60°，平面上任一点P在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的：若=xe1+ye2（其中e1、e2分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量），则P点的斜坐标为（x，y）．若P点的斜坐标为（3，-4），则点P到原点O的距离|PO|=____．

13、已知ABC的内角的对边成等比数列，则的取值范围为_______14、459和357的最大公约数是_________；15、若集合A={x|x2-2x＜0，x∈R}，集合B={x||x|＞1，x∈R}，则A∩B=______．评卷人得分三、证明题(共8题，共16分)16、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．17、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．18、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．19、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．20、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．21、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．22、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．23、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．评卷人得分四、计算题(共4题，共40分)24、已知关于x的方程k2x2+（2k-1）x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．25、已知tanα=3，计算（1）（sinα+cosα）2；（2）的值．26、已知x，y，z为实数，满足，那么x2+y2+z2的最小值是____27、（2011•苍南县校级自主招生）已知二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示；则下列式子：

ab，ac，a+b+c，a-b+c，2a+b，2a-b中，其值为正的式子共有____个．评卷人得分五、综合题(共1题，共10分)28、已知点A（-2，0），点B（0，2），点C在第二、四象限坐标轴夹角平分线上，∠BAC=60°，那么点C的坐标为____．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、D【分析】

∵f（cosx）=sin2x；

则f（sin30°）=f（cos60°）=sin120°=

故选D

【解析】【答案】由诱导公式可知sin30°=cos60°；然后代入已知函数解析式即可求解。

2、C【分析】【解析】【答案】C3、A【分析】【解析】

试题分析：构造函数f（x）=2x﹣x2，由存在使不等式2x﹣x2≥a成立（如果是任意使不等式2x﹣x2≥a成立则易误解），可知即答案选A.

考点：二次函数的最值【解析】【答案】A4、D【分析】【解答】∵P={x|x2﹣3x﹣4≤0}=[﹣1；4]；

Q={x|y=log2（x2﹣2x﹣15）}=（﹣∞；﹣3）∪（5，+∞）；

∴P+Q={x∈P或x∈Q且∉P∩Q}=（﹣∞；﹣3）∪[﹣1，4]∪（5，+∞）；

故选：D

【分析】解不等式求出P，根据对数的真数大于0求出Q，进而可得答案．5、C【分析】【解答】解：∵f（x）=ax5+bx3+cx+8

∴f（﹣2）=﹣32a﹣8b﹣2c+8=10；

∴32a+8b+2c=﹣2

则f（2）=32a+8b+2c+8=﹣2+8=6

故选C

【分析】由f（﹣2）=﹣32a﹣8b﹣2c+8=10，可得32a+8b+2c=﹣2，而f（2）=32a+8b+2c+8代入可求6、C【分析】【解答】因为所以=故选C。

【分析】小综合题，首先明确集合中元素特征，然后利用集合的运算求解。7、A【分析】【解答】∵角p-a的终边与角a的终边关于y轴对称；且a是第二象限角，∴p-a是第一象限角，故选A

【分析】熟练掌握象限角的概念是解决此类问题的关键，属基础题8、A【分析】解：集合A={x|≤0}={x|＜x≤1}；

B={x|-3x2+4x-1＞0}={x|＜x＜1}；

∴A∩B={x|＜x＜1}．

故选：A．

化简集合A；B；求出A∩B即可．

本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．【解析】【答案】A9、C【分析】解：∵在y为[-2；-1]时，g（x）有两个自变量满足，在y=0，y为[1，2]时，g（x）同样都是两个自变量满足。

∴①正确。

∵f（x）值域在[-1；2]上都是一一对应，而在值域[0，1]上都对应3个原像；

∴②错误。

同理可知③④正确。

故选C．

把复合函数的定义域和值域进行对接；看满足外层函数为零时内层函数有几个自变量与之相对应．

本题考查了复合函数的对应问题，做题时注意外层函数的定义域和内层函数值域的对接比较．【解析】【答案】C二、填空题(共6题，共12分)10、略

【分析】试题分析：设当时，当时，当时，当时，即令得令得的所有根为0,2，之和为2.考点：新定义题、函数图像的交点.【解析】【答案】2.11、略

【分析】

2008÷2=10040

1004÷2=5020

502÷2=2510

251÷2=1251

125÷2=621

62÷2=310

31÷2=151

15÷2=71

7÷2=31

3÷2=11

1÷2=01

故2008（10）=11111011000（2）

故答案为：11111011000（2）．

【解析】【答案】利用“除k取余法”是将十进制数除以2；然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．

12、略

【分析】

∵P点斜坐标为（3；-4）；

∴=3e1-4e2．

∴||2=（3e1-4e2）2=25-24e1•e2=25-24×cos60°=13．

∴||=即|OP|=．

故答案为：．

【解析】【答案】在理解P点的斜坐标的基础上，根据p点的坐标表示出向量进而由||2=（3e1-4e2）2可得答案．

13、略

【分析】【解析】试题分析：∵成等比数列，∴设则又∴∴∴的取值范围为考点：本题考查了正余弦定理的综合运用【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】

∵459÷357=1102，357÷102=351，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故答案为：51【解析】【答案】5115、略

【分析】解：集合A={x|x2-2x＜0；x∈R}={x|0＜x＜2}，B={x||x|＞1，x∈R}={x|x＜-1或x＞1}；

则A∩B={x|0＜x＜2}∩{x|x＜-1或x＞1}=（1；2）．

故答案为：（1；2）．

解一元二次不等式化简集合A；解绝对值不等式化简集合B，再由交集的运算性质计算得答案．

本题考查了交集的运算性质，考查了一元二次不等式和绝对值不等式的解法，是基础题．【解析】（1，2）三、证明题(共8题，共16分)16、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．17、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．18、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=19、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．20、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．21、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．22、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=23、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．四、计算题(共4题，共40分)24、略

【分析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的情况的判断方法，可得：；解可得答案；

（2）假设存在，由相反数的意义，即方程的两根的和是0，依据一元二次方程的根与系数的关系即可得到两根的和是=0，可得k的值；把k的值代入判别式△，判断是否大于0可得结论．【解析】【解答】解：（1）根据题意得：；（2分）

∴且k≠0；（3分）

（2）假设存在；根据一元二次方程根与系数的关系；

有x1+x2==0，即；（4分）

但当时；△＜0，方程无实数根（5分）

∴不存在实数k，使方程两根互为相反数．（6分）25、略

【分析】【分析】（1）利用tanα==3得到a=3b，利用勾股定理求得斜边c=b；代入即可得到答案；

（2）分子分母同时除以cosα，把tanα=3代入答案可得；【解析】【解答】解：（1）∵tanα==3；

∴a=3b；

∴c==b；

∴（sinα+cosα）2=（+）2=（+）2=；

（2）∵tanα==3；

∴tanα==3；

===．26、略

【分析】【分析】通过方程组进行消元，让yz都用含x的代数式表示，再代入x2+y2+z2，根据二次函数的最值问题得出答案即可．【解析】【解答】解：；

①×2+②；得x+y=5，则y=5-x③；

①+2×②；得x+z=4，则z=4-x④；

把③④代入x2+y2+z2得；

x2+（5-x）2+（4-x）2

=3x2-18x+41

=3（x-3）2+14；

∴x2+y2+z2的最小值是14；

故答案为14．27、略

【分