2025年湘师大新版高三数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘师大新版高三数学下册月考试卷903考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、由曲线y=x2与直线y=x+2所围成的平面图形的面积为（）A.B.4C.2D.2、已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5，若am，an满足=8a1，则+的最小值为（）A.2B.4C.6D.83、在△ABC中，c2=（a-b）2+6，C=，则△ABC的面积为（）A.3B.C.D.4、已知点A、O、B为平面内不共线的三点，若Ai（i=1，2，3，，n）是该平面内的任一点，且有•=•，则点Ai（i=1，2，3，，n）在（）A.过A点的抛物线上B.过A点的直线上C.过A点的圆心的圆上D.过A点的椭圆上5、当a＜0时，关于x的不等式12x2-ax-a2＜0的解集为（）A.B.C.D.6、设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2+a5=0，则等于（）A.11B.5C.-8D.-117、【题文】一个几何体按比例绘制的三视图如右图所示（单位:）；则该几何体的体积为（）

A.B.C.D.8、已知集合P={x|鈭�5<x<5}Q={x||x鈭�5|<3}

则P隆脡Q=(

)

A.(2,5)

B.(鈭�2,5)

C.(鈭�5,8)

D.(鈭�5,2)

评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)9、对于下列命题：

①将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后；方差恒不变；

②y与x具有线性相关关系，其回归方程为=3-5x；则y与x具有负的线性相关关系；

③在一组样本数据中的散点图中，若所有样本点（x1，y1）（i=1，2，，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为；

④设m；n为直线，a为平面，若m∥n，m∥a，则n∥a．

其中正确命题的序号为____（把你认为正确的命题的序号都填上）．10、要得到y=sinx的图象，只须将函数y=sin（）的图象向左最少平移____个单位．11、程序框图，如图所示，已知曲线E的方程为ax2+by2=ab（a，b∈R），若该程序输出的结果为s，则下列命题正确的是____

①当s=1时；E是椭圆②当s=0时，E是一个点。

③当s=0时，E是抛物线④当s=-1时，E是双曲线．12、在△ABC中，B＝60°，AC＝则AB＋2BC的最大值为________．13、(2010年高考湖南卷)在区间[－1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．14、已知复数z满足（i为参数单位），则复数z的实部与虚部之和为____．15、【题文】设正四面体的四个顶点是各棱长均为1米，有一个小虫从点开始按以下规则前进：在每一顶点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一，并一直爬到这条棱的尽头，则它爬了米之后恰好再次位于顶点的概率是____________（结果用分数表示）．16、在（x+）6的二项展开式中第四项的系数是______．（结果用数值表示）评卷人得分三、判断题(共6题，共12分)17、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．18、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）19、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）20、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．21、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）22、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．评卷人得分四、证明题(共4题，共12分)23、梯形ABCD沿中位线EF折起成空间图形ABEC1D1F；求证：

（1）AD1，BC1所在直线相交（记交点为P）；

（2）设AD、BC交于R，EC1、FD1交于Q，则P、Q、R三点共线．24、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD．求证：A1D⊥平面ABC1D1．

25、（2015秋•余姚市期末）如图；在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD⊥平面PAB，△PAB是正三角形，AD=AB=2，BC=1，E是线段AB的中点。

（Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面ABCD；

（Ⅱ）设直线PC与平面PDE所成角为θ，求cosθ26、如图，在五棱锥S-ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，BC=DE=；∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°

（1）证明：CD∥平面SBE；

（2）证明：平面SBC⊥平面SAB．评卷人得分五、计算题(共4题，共12分)27、若，则实数x的取值集合为____．28、已知函数f（x）=（x≠0），求f（）+f（-2）的值，并判断f（x）是否具有奇偶性．29、已知圆C的圆心坐标是（-，3），且圆C与直线x+2y-3=0相交于P，Q两点，又OP⊥OQ，O是坐标原点，求圆C的方程．30、如图；在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=120°．

①求证：平面ADE⊥平面ABE；

②求点C到平面ADE的距离．评卷人得分六、解答题(共2题，共14分)31、如图，所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC=；AB=2BC=2，AC⊥FB

（1）求证：AC⊥平面FBC

（2）若M为线段AC的中点，求证：EA∥平面FDM．32、随着机构改革开作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（140＜2a＜420，且a为偶数），每人每年可创利b万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、D【分析】【分析】联立方程组求出积分的上限和下限，结合定积分的几何意义即可得出结果．【解析】【解答】解：作出两条曲线对应的封闭区域；如右图：

再联立方程；解得x=-1或x=2；

所以；A（-1，1），B（2，4）；

根据定积分的几何意义；所求阴影部分的面积：

S阴影==（-x3+x2+2x）=；

故选：D．2、A【分析】【分析】由等比数列的性质易得m+n=8，可得+=（+）（m+n）=（10++），由基本不等式求最值可得．【解析】【解答】解：∵正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5；

∴q2a5=qa5+2a5，即q2-q-2=0；

解得公比q=2；或q=-1（舍去）

又∵am，an满足=8a1；

∴aman=64a12，∴qm+n-2a12=64a12；

∴qm+n-2=64；∴m+n-2=6，即m+n=8；

∴+=（+）（m+n）=（10++）

≥（10+2）=2

当且仅当=即m=2且n=6时取等号；

故选：A．3、C【分析】【分析】利用余弦定理列出关系式，代入已知等式整理求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解析】【解答】解：由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab；

代入已知等式得：（a-b）2+6=a2-2ab+b2+6=a2+b2-ab；

整理得：ab=6；

则S△ABC=absinC=；

故选：C．4、B【分析】【分析】根据题意，得出⊥，即得出点Ai（i=1，2，3，，n）在过A点的直线上．【解析】【解答】解：根据题意；得。

有•=•；

∴（-）•=0；

•=0；

∴⊥；

∴点Ai（i=1；2，3，，n）在过A点的直线上．

故选：B．5、C【分析】【分析】按照一元二次不等式的解题步骤进行解答，一计算b2-4ac，二求对应方程的根，三写出解集．【解析】【解答】解：∵12x2-ax-a2＜0，且（-a）2-4×12×（-a2）=49a2≥0；

∴方程12x2-ax-a2=0的实数根为。

x1=，x2=-；

∵a＜0，∴＜-；

∴不等式的解集为{x|＜x＜-}；

故选：C．6、D【分析】【分析】由题意可得数列的公比q，代入求和公式化简可得．【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q；（q≠0）

由题意可得8a2+a5=8a1q+a1q4=0；解得q=-2；

故====-11

故选D7、C【分析】【解析】

试题分析：根据“长对正，宽相等，高平齐”，由三视图知，该几何体为左边为一个棱长为1的正方体，中间为棱长为1的两个正方体摞在一起，右边是放到的由棱长为1的正方体沿对角面切开得到的直三棱柱，其体积为３个半棱长为１的正方体的体积，１个正方体的体积为１，故可以计算出该几何体的体积为3×1×1×1+×1×1×1=故选Ｃ．

考点：1.三视图；2.简单几何体体积.【解析】【答案】C8、A【分析】解：隆脽P={x|鈭�5<x<5}Q={x||x鈭�5|<3}={x|2<x<8}

隆脿P隆脡Q={x|鈭�5<x<5}隆脡{x|2<x<8}=(2,5)

．

故选：A

．

求解绝对值的不等式化简B

再由交集运算得答案．

本题考查交集及其运算，考查绝对值不等式的解法，是基础题．【解析】A

二、填空题(共8题，共16分)9、略

【分析】【分析】①利用方差的公式进行判断；②利用回归方程的系数判断；③根据两个变量之间的相关系数r判断；④根据线面平行的判定定理判断．【解析】【解答】解：①将一组数据中的每个数据都加上同一个常数；数据的稳定性不变，即方差不变，①正确；

②回归直线的一次项系数为-5；y与x具有负的线性相关关系，②正确；

③由条件知这组样本数据完全正相关；其相关系数为1，③不正确；

④根据线面平行的判定定理知；一条直线在平面外，另一条在平面内，④不正确；

综上得；正确命题的序号是①②；

故答案为：①②．10、略

【分析】【分析】由条件根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解析】【解答】解：将函数y=sin（）的图象向左最少平移单位；

可得y=sin[（x+）-]=sinx的图象；

故答案为：．11、略

【分析】【分析】从输出结果入手，对照圆锥曲线的定义与方程，逐一分析即可得到正确的结论．【解析】【解答】解：根据程序框图分析，①当s=1时，c＞0，∴c=ab＞0；∵曲线E的方程为ax2+by2=ab，∴+=1在a=b＞0时不是椭圆；

②当s=0时，c=ab=0，∴a=0或b=0或a=b=0；∴曲线E的方程ax2+by2=ab不一定是一个点；

③当s=0时，c=ab=0，∴a=0或b=0或a=b=0；曲线E的方程ax2+by2=ab；不一定是抛物线；

④当s=-1时，c＜0，∴ab＜0；∵曲线E的方程为ax2+by2=ab，∴+=1，a、b异号；E是双曲线．

以上命题正确的是④．

故答案为：④12、略

【分析】A＋C＝120°⇒C＝120°－A，A∈(0°，120°)，＝2⇒BC＝2sinA，＝2⇒AB＝2sinC＝2sin(120°－A)＝cosA＋sinA，∴AB＋2BC＝cosA＋5sinA＝sin(A＋φ)＝2sin(A＋φ)，其中tanφ＝故最大值是2【解析】【答案】213、略

【分析】由|x|≤1，得－1≤x≤1.由几何概型的概率求法知，所求的概率P＝＝【解析】【答案】14、略

【分析】

设复数z=a+bi（a、b∈R），代入已知的等式得=3；

=3，=3，∴a=1，b=

∴a+b=1+=

故答案为：．

【解析】【答案】复数z=a+bi（a、b∈R）；代入已知的等式，利用两个复数代数形式的乘除法法则及两个复数相等的充要条件，解方程组。

求出复数的实部和虚部．

15、略

【分析】【解析】

试题分析：小虫从A出发；一共分第5步走，可以确定下来是小虫最后一步必须回到A，那么第四步就不能是走回A，所以第三步成为关键；

分两种情况；①回到A点，②不回A点。

在①情况下；小虫第一步有3种选择，第三步为了回到A，则第二步只能有2种选择，到第四步时，因为从A出发，又有3种选择，所以此时共3×2×1×3×1=18种可能。

在②情况下；第二步的走法又分为③回A点或者④不回A点的情况。

因此在③情况下；共3×1×3×2×1=18种可能；

在④情况下；共3×2×2×2×1=24种可能。

所以；第五步回到A总共有18+18+24=60种可能。

而小虫总共有3×3×3×3×3=243种选择；

故它爬了米之后恰好再次位于顶点的概率是

考点：本题主要考查等可能性事件的概率计算。

点评：中档题，利用分类分步计数原理，计算完成事件的方法数，是正确解题的关键。【解析】【答案】16、略

【分析】解：在（x+）6的二项展开式中第四项：

=8Cx-3=160x-3．

∴在（x+）6的二项展开式中第四项的系数是160．

故答案为：160．

利用二项式定义的通项公式求解．

本题考查二项展开式中第四项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项式定理的性质的合理运用．【解析】160三、判断题(共6题，共12分)17、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．18、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×19、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√20、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．21、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×22、×【分析】【分析】判断5与集合A的关系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5∉Z；所以5∈A错误．

故答案为：×四、证明题(共4题，共12分)23、略

【分析】【分析】（1）由AB∥DC1，且AB＞DC1，得AD1，BC1共面且不平行，由此能证明AD1，BC1所在直线相交（记交点为P）．

（2）由已知推导出P、Q、R三点分别是平面APR和平面APR的公共点，由此利用公理二得P、Q、R三点共线．【解析】【解答】证明：（1）∵梯形ABCD沿中位线EF折起成空间图形ABEC1D1F；

∴空间图形ABEC1D1F中，AB∥DC1，且AB＞DC1；

∴A、B、C1、B1共面，且AD1，BC1所在直线不平行；

∴AD1，BC1所在直线相交（记交点为P）．

（2）∵AD1，BC1所在直线相交；交点为P；

∴p∈AD1，且P∈BC1；

∵AD1⊂平面APR；∴P∈平面APR；

∵BC1⊂平面BPR；∴P∈平面BPR；

∵AD；BC交于R；∴R∈AD，且R∈BC；

∵AD⊂平面APR；∴R∈平面APR；

∵BC⊂平面BPQ；∴R∈平面BPR；

∵EC1、FD1交于Q，∴Q∈EC1，且Q∈FD1；

∵FD1⊂平面APR；∴Q∈平面APR；

∵EC1⊂平面BPR；∴Q∈平面BPR；

∴P；Q、R三点分别是平面APR和平面APR的公共点；

∵平面APR∩平面APR=PR；

∴由公理二得P、Q、R三点共线．24、略

【分析】【分析】证明AB⊥A1D，AD1⊥A1D，通过AB∩AD1=A，AB⊂平面ABC1D1，AD1⊂平面ABC1D1，即可证明A1D⊥平面ABC1D1．【解析】【解答】证明：∵ABCD-A1B1C1D1为长方体；

∴AB⊥平面AA1D1D．

∵A1D⊂平面AA1D1D；

∴AB⊥A1D．（4分）

∵AD=AA1；

∴四边形AA1D1D为正方形．（6分）

∴AD1⊥A1D．（8分）

∵AB∩AD1=A，AB⊂平面ABC1D1，AD1⊂平面ABC1D1；

∴A1D⊥平面ABC1D1．（10分）25、略

【分析】【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥PE；PE⊥AB，由此能证明平面PED⊥平面ABCD．

（Ⅱ）以E为原点，在平面ABCD中过E作EB的垂直线x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空是直角坐标系，利用向量法能能求出cosθ．【解析】【解答】证明：（Ⅰ）∵AD⊥平面PAB，PE⊂平面PAB，

∴AD⊥PE；

又∵△PAB是正三角形；E是线段AB的中点，∴PE⊥AB；

∵AD∩AB=A；∴PE⊥平面ABCD；

∵PE⊂平面PED；∴平面PED⊥平面ABCD．

（Ⅱ）以E为原点；在平面ABCD中过E作EB的垂直线x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空是直角坐标系；

则E（0，0，0），C（1，1，0），D（2，-1，0），P（0，0，）；

=（2，-1，0），=（0，0，），=（-1，-1，-）；

设=（x；y，z）为平面PDE的一个法向量；

由，取x=1，得=（1；2，0）；

设PC与平面PDE所成角为θ；

则sinθ=|cos＜＞|==；

∴cos．26、略

【分析】【分析】（1）连结BE；延长BC；ED交于点F，证明BE∥CD，即可证明CD∥平面SBE；

（2）利用线面垂直的判定，证明BC⊥平面SAB，即可证明平面SBC⊥平面SAB．【解析】【解答】证明：（1）连结BE；延长BC；ED交于点F，则∠DCF=∠CDF=60°；

∴△CDF为正三角形；∴CF=DF

又BC=DE；∴BF=EF；

因此；△BFE为正三角形；

∴∠FBE=∠FCD=60°；∴BE∥CD；

∵CD⊄平面SBE；BE⊂平面SBE；

∴CD∥平面SBE．

（2）由题意；△ABE为等腰三角形，∠BAE=120°；

∴∠ABE=30°；又∠FBE=60°；

∴∠ABC=90°；∴BC⊥BA

∵SA⊥底面ABCDE；BC⊂底面ABCDE；

∴SA⊥BC；

又SA∩BA=A；

∴BC⊥平面SAB

又BC⊂平面SBC

∴平面SBC⊥平面SAB．五、计算题(共4题，共12分)27、略

【分析】【分析】由，可得sinx-cosx=2，2sinx=，即sinx=，cosx=-，从而可得实数x的取值集合．【解析】【解答】解：∵；

∴sinx-cosx=2，2sinx=；

∴sinx=，cosx=-；

∴x=+2kπ；k∈Z；

故答案为：{x|x=+2kπ，k∈Z}．28、略

【分析】【分析】代入数据即可得到所求的函数值的和，首先判断定义域是否关于原点对称，再计算f（-x），与f（x）比较，即可得到奇偶性．【解析】【解答】解：由f（x）=；

即f（）+f（-2）=+=3=；

由于定义域{x|x≠0}关于原点对称；

且f（-x）==1-≠1+=f（x），且≠-（1）；

则f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．29、略

【分析】【分析】设出圆的一般方程，求出圆的圆心坐标，即可求出D、E．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则P，Q两点坐标适合圆的方程，由韦达定理求出y1+y2，y1y2，利用OP⊥OQ，求出F，即可得到圆的方程．【解析】【解答】解：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．其圆心为（）；则。

，；

∴D=1；E=-6；

∴圆方程为x2+y2+x-6y+F=0．

设P（x1，y1），Q（x2，y2）；

则P，Q两点坐标适合方程组x2+y2+x-6y+F=0x+2y-3=0

消去x得，5y2-20y+12+F=0由韦达定理得：y1+y2=4，y1y2=

∴x1x2=（-2y1+3）（-2y2+3）=4y1y2-6（y1+y2）+9=

∵OP⊥OQ；

∴=-1；

即x1x2+y1y2=0；

∴=0；

∴F=3

故所求圆的方程为x2+y2+x-6y+3=030、略

【分析】【分析】解法1①取BE的中点O；连OC．BC=CE，OC⊥BE．又AB⊥平面BCE，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz．写出要用的点的坐标，表示出两个平面的法向量，根据两个法向量垂直得到面面垂直．

②根据写出的点的坐标；得到直线对应的向量的坐标，根据两个向量之间所成的角得到线面角．

解法2①做出辅助线；取BE的中点O，AE的中点F，连OC，OF，CD，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，根据线面垂直得到面面垂直．

②根据CD，延长AD，BC交于T，得到C为BT的中点．得到点C到平面ADE的距离等于点B到平面ADE的距离的，做出结果．【解析】【解答】解法1：①取BE的中点O；连OC．

∵BC=CE；∴OC⊥BE．又AB⊥平面BCE．

以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz如图；

则由已知条件有：C（1，0，0），，D（1，0，1），（4分）

设平面ADE的法向量为n=（a，b；c）；

则由n•==．