15.4　角的平分线 课堂同步练习 2023- 2024学年沪科版八年级数学上册

2023-2024学年沪科版八年级数学上册课堂同步练习第15章轴对称图形与等腰三角形15.4角的平分线知识点1用尺规作角的平分线1.如图,已知∠AOB,按照以下步骤作图:①以点O为圆心,适当的长为半径作弧,分别交∠AOB的两边于点C,D,连接CD;②分别以点C,D为圆心,大于12CD的长为半径作弧,两弧在∠③连接OE交CD于点M.下列结论中错误的是()A.∠CEO=∠DEOB.CM=MDC.∠OCD=∠ECDD.S四边形OCED=12CD·知识点2角平分线的性质定理2.(2023安徽合肥庐江期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,作∠CAB的平分线AP交BC于点D.若AB=10,S△ABD=20,则CD的长为.

知识点3角平分线的判定定理3.如图,P是OC上一点,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,F、G分别是OA、OB上的点,且PF=PG,DF=EG.求证:OC平分∠AOB.知识点4三角形的三条内角平分线的性质4.如图,△ABC的周长为12,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作OD⊥BC于点D,当OD=1时,△ABC的面积为.

课后训练5.(2022内蒙古鄂尔多斯中考,6,★☆☆)如图,∠AOE=15°,OE平分∠AOB,DE∥OB交OA于点D,EC⊥OB,垂足为C.若EC=2,则OD的长为()A.2B.3C.4D.56.(2021青海中考,5,★☆☆)如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=3,BC=5,对角线BD平分∠ABC,则△BCD的面积为()A.8B.7.5C.15D.无法确定7.(2023安徽淮南谢家集期中,6,★☆☆)如图,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于点E,CD=DE,∠CBD=28°,则∠A的度数为()A.34°B.36°C.38°D.40°8.(2020湖南湘潭中考,15,★☆☆)如图,点P是∠AOC的平分线上一点,PD⊥OA,垂足为点D,且PD=3,点M是射线OC上一动点,则PM长的最小值为.

9.(2018山东东营中考,15,★☆☆)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,以顶点C为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,BC于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于12EF的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线CP交AB于点D.若BD=3,AC=10,则△ACD的面积是10.(2022安徽合肥庐江期中,20,★★☆)如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,连接EF,EF与AD相交于点G.(1)求证:AD垂直平分EF;(2)若△ABC的面积为16,AB+AC=8,求DE的长.11.如图1,△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线BE,CF相交于点G,∠BAC=50°.(1)求∠BGC的度数;(2)如图2,连接AG,求证:AG平分∠BAC;(3)若∠ABC和∠ACB的邻补角的平分线BM,CN相交于点H,连接AH.①∠BHC是多少度?②AH平分∠BAC吗?请说明理由.12.如图,△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的邻补角∠ACN的平分线相交于点P,连接AP.(1)求证:AP平分∠BAC的邻补角∠CAM;(2)过点C作CE⊥AP,垂足为E,延长CE交BM于点D,求证:CE=ED;(3)在(2)的条件下,请添加一个条件,并证明:AP∥BC.答案1.C由题中作图方法可得OE平分∠COD,∴∠COE=∠DOE,∵OC=OD,OE=OE,∴△COE≌△DOE,∴∠CEO=∠DEO.∵OC=OD,CE=DE,∴OE垂直平分CD,∴CM=MD,S四边形OCED=12CD·OM+12CD·ME=12CD·OE,由已知条件不能得出∠2.答案4解析如图,过点D作DH⊥AB于H,∵∠C=90°,AD平分∠BAC,∴DH=CD,∵S△ABD=12AB·DH=12×103.证明∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴△PFD和△PGE都为直角三角形,在Rt△PFD和Rt△PGE中,PF=PG,∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),∴PD=PE.∵P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,∴OC平分∠AOB.4.答案6解析如图,过点O作OE⊥AB,垂足为E,过点O作OF⊥AC,垂足为F,连接AO,∵BO平分∠ABC,OD⊥BC,OE⊥AB,∴OE=OD.∵CO平分∠ACB,OD⊥BC,OF⊥AC,∴OF=OD.∴OD=OE=OF.∵△ABC的周长为12,∴AB+BC+AC=12,∴△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积=12AB·OE+12BC·OD+12AC·OF=12(AB+BC+AC)5.C过点E作EH⊥OA于点H,如图.∵OE平分∠AOB,EC⊥OB,∴EH=EC.∵∠AOE=15°,OE平分∠AOB,∴∠AOC=2∠AOE=30°.∵DE∥OB,∴∠ADE=30°,∴DE=2HE=2EC.∵EC=2,∴DE=4.∵∠ADE=30°,∠AOE=15°,∴∠DEO=15°,∴∠AOE=∠DEO,∴OD=DE=4.6.B过点D作DE⊥BC于E,如图,∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,DA⊥AB,∴DE=DA=3,∴△BCD的面积=12BC·DE=17.A∵DE⊥AB,DC⊥BC,DE=DC,∴BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠CBD=28°,∴∠A=90°-∠ABC=90°-2×28°=34°.8.答案3解析根据垂线段最短可知,当PM⊥OC时,PM的长最小.∵OP平分∠AOC,PD⊥OA,PD=3,∴PM长的最小值=PD=3.9.答案15解析由作图过程可知CD平分∠ACB,∴点D到∠ACB两边的距离相等,∵∠B=90°,BD=3,∴点D到AC边的距离为3,∴△ACD的面积=12AC×3=110.解析(1)证明:∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∠AED=∠AFD=90°.在Rt△AED和Rt△AFD中,AD=AD,∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),∴AE=AF.又∵DE=DF,∴AD垂直平分EF.(2)∵S△ABD+S△ACD=S△ABC,∴12AB·DE+12AC∵DE=DF,AB+AC=8,∴1211.解析(1)∵∠BAC=50°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=130°.∵BE平分∠ABC,CF平分∠ACB,∴∠GBC=12∠ABC,∠GCB=12∴∠GBC+∠GCB=12∠ABC+12∠ACB=12(∠∴∠BGC=180°-(∠GBC+∠GCB)=115°.(2)证明:如图,过点G作GM⊥AB,GN⊥BC,GQ⊥AC,垂足分别为M,N,Q,∵BE平分∠ABC,GM⊥AB,GN⊥BC,∴GM=GN.∵CF平分∠ACB,GN⊥BC,GQ⊥AC,∴GN=GQ,∴GM=GQ,∴AG平分∠BAC.(3)如图,过点H作HP⊥AB,交AB的延长线于点P,过点H作HL⊥AC,交AC的延长线于点L,过点H作HK⊥BC,垂足为K.①∵BM平分∠CBP,BE平分∠ABC,∴∠CBM=12∠CBP,∠EBC=12∴∠EBH=∠EBC+∠CBH=12∠ABC+12∠CBP=12(∠ABC+∠∵∠BGC=115°,∴∠BHC=360°-∠BGC-∠EBH-∠FCH=65°.②AH平分∠BAC.理由:∵BM平分∠CBP,HP⊥AB,HK⊥BC,∴HP=HK,∵CN平分∠BCL,HK⊥BC,HL⊥AC,∴HK=HL,∴HP=HL,∴AH平分∠BAC.解析(1)证明:如图,过点P作PH⊥BM于点H,PF⊥BN于点F,PG⊥AC于点G,∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACN,BP,CP交于点P,∴PH=PF,PF=PG,∴PH=PG,∴AP平分∠BAC的邻补角∠CAM.(2)证明:由(1)知AP平分∠BAC的邻补角∠CAM,∴∠DAE=∠CAE.