第二节 线性微分方程

二.一阶线性微分方程

第二节线性微分方程一.可分离变量的一阶微分方程

一.可分离变量的一阶微分方程的形式,称(1)式为可分离变量的微分方程.

(2)如果一阶微分方程(1)式可以化为形如一阶微分方程的一般形式为(1)特点：方程经过适当变形,可以将含有相同变量的函数与微分分离到等式的同一端.具体解法为：(1)分离变量;(2)两边分别对各自的变量积分.例如求解微分方程分离变量:两端积分:为所求通解.例2求微分方程的通解例1求微分方程的通解．求微分方程例3满足初始条件的特解．

有的微分方程不是可分离变量的,但通过适当的变换,可将其化为可分离变量的方程.齐次方程可化为可分离变量的微分方程.的微分方程定义:称为齐次方程.解法:作变量代换代入原式可分离变量的方程对于其次方程分离变量，得

求微分方程例5

的通解.例4解微分方程二.一阶线性微分方程的微分方程称为一阶线性微分方程.(3)式称为一阶线性齐次微分方程.称为一阶线性非齐次微分方程.当形如:(3)当例如线性的;非线性的.一阶线性微分方程的解法:齐次方程的通解为1.求解线性齐次方程(使用分离变量法)2.求解线性非齐次方程分析:两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:令将其代入线性非齐次方程求出C(x)即可.一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解上述这种把对应的齐次方程通解中的常数C的通解的方法，称为常数变易法.变换为待定函数C(x)，然后求得线性非齐次方程由此,求解一阶线性微分方程的方法:(1)常数变易法;(2)直接利用通解公式.

由此，一阶线性非齐次方程的通解等于对应的线性齐次方程的通解与线性非齐次方程的一个特解之和．这是一阶线性非齐次方程通解的结构.的通解.例6求微分方程例7求微分方程满足初始条件的特解.三、二阶常系数线性齐次微分方程的解法其中p,q均为常数．

无关的特解

y1

与y2,由上节定理知,只要找出方程(1)的两个线性二阶常系数线性齐次方程的一般形式为(1)即可得(1)式的通解:当r为常数时,指数函数导数都只相差一个常数因子．和它的各阶(2)有因此,只要r是代数方程(2)的根,将代入原方程，因此可用来试解(其中r是待定常数)．y=erx就是微分方程的解．得种情况,因此方程的通解也有三种情况：特征方程(2)是一个二次方程,它的根有三时,1°当称为微分方程(1)的特征方程．代数方程:(2)个不相等的实根r1及

r2

，特征方程(2)有两个特解

与此时方程有两个

因为常数，线性无关,即2°当时，特解则微分方程有一个可以验证是与线性无关的解．因此通解为的实根特征方程有两个相等所以通解为:这时方程有两个复数形式的解

3°当时，其中有一对共轭复根特征方程(2)可以验证，函数为方程的两个实数形式的解，且它们线性与无关.因此方程的通解为:的通解步骤如下:综上，求二阶常系数线性齐次微分方程(1)写出微分方程的特征方程(2)求出特征方程的两个根方程的通解.(3)根据两个根的不同情况，按下表写出微分实根特征根通解例1求微分方程的通解．特征方程为解有两个不等的实根故方程的通解为先求通解，特征方程解个相等的实根有两故方程的通解为代入初始条件

求得C1=0,C