向量组的秩课件

向量组的秩向量组的秩向量组的极大无关组与秩一、定义3-9设向量组Ⅰ0:αi1,αi2,…,αir

是向量组Ⅰ:α1,α2,…,αs的一个部分组.如果(1）向量组Ⅰ0是线性无关的.(2）向量组Ⅰ可以由向量组Ⅰ0线性表出.

则称部分组Ⅰ0是向量组Ⅰ的一个极大无关组.显然，往向量组Ⅰ:α1,α2,…,αs的一个极大无关组Ⅰ0:αi1,αi2,…,αir中添加Ⅰ中任意一个向量β，所得到的向量组αi1,αi2,…,αir,β必线性相关.这是因为，由极大无关组的定义，β可以由Ⅰ0:αi1,αi2,…,αir线性表出，再由本章第三节的定理3-1即可得到.非零向量组Ⅰ均存在极大无关组.事实上，一个非零向量线性无关，于是在Ⅰ中任取一个β1≠0，如果Ⅰ中其余的每个向量都与β1相关，即可由β1线性表出，则{β1}就为Ⅰ的一个极大无关组；否则，存在β2与β1无关，这时，{β1,β2}是Ⅰ的一个无关的部分组.如果Ⅰ中其余的每个向量都可由{β1,β2}线性表出，则{β1,β2}是Ⅰ的一个极大无关组；否则，存在向量β3不能由{β1,β2}线性表出，此时，{β1,β2,β3}是Ⅰ的一个无关的部分组.依次下去，总可以找到Ⅰ的一个部分组{β1,β2,…,βr}，使得这组向量是线性无关，且Ⅰ中的向量均可由这组向量线性表出，即{β1,β2,…,βr}是Ⅰ的极大无关组.另外，很容易看出，线性无关的向量组的极大无关组就是这个向量组本身.定理3-5非零向量组与其极大无关组等价，换句话说，极大无关组是一个与向量组自身等价的无关部分组.证由上面的说明和极大无关组定义知，非零向量组存在极大无关组，并且原向量组可以由其极大无关组线性表出.因此，只需说明：极大无关组可以由原向量组线性表出.事实上，一个部分组可以由原向量组线性表出.因为，如果设Ⅰ0:αi1,αi2,…,αir是向量组Ⅰ:α1,α2,…,αs的一个部分组.那么αip=0α1+…+0αip－1+1αip+0αip+1+…+0αs，αip∈Ⅰ0

即Ⅰ0可以由Ⅰ线性表出.验证{β1,β2}与{β2,β3}均为向量组β1=(2,1,3,1)T，β2=(1,2,0,1)T，β3=(1,－1,3,0)T

的极大无关组.解因为两个向量α与β线性相关当且仅当α与β成比例，又显然β1与β2,β2与β3不成比例，因此，{β1,β2}，{β2,β3}均为线性无关的向量组.【例3-13】另外，由β1,β2,β3作为列向量组成的矩阵化成阶梯形矩阵为又由于上面阶梯形矩阵的非零行的个数小于线性方程组AX=0未知数的个数，因此，方程组AX=0存在非零解，从而β1,β2,β3线性相关.由定理3-3，β3可以由{β1,β2}线性表出，β1可以由{β2,β3}线性表出，于是{β1,β2,β3}可以由{β1,β2}线性表出，也可由{β2,β3}线性表出.所以{β1,β2}与{β2,β3}均为向量组{β1,β2,β3}的极大无关组.由例题可知，一个向量组的极大无关组可能不唯一.但是，由定理3-5知，如果向量组存在极大无关组时，极大无关组均与原向量组等价，但向量组的等价是满足传递性和对称性，因此，向量组的任意两个极大无关组是等价的.向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数是相同的.定义1-10将向量组α1,α2,…,αs的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩，记为R(α1,α2,…,αs).因为单个零向量0构成的向量组不存在极大无关组，我们规定其秩为0.向量组的极大无关组不一定是唯一的，可能存在很多个极大无关组，但是这些极大无关组所含向量的个数是唯一确定的，这个数反映了向量组本身的性质.例如，上面【例3-13】中向量组{β1,β2,β3}的秩即为2.提示定理3-6向量组α1,α2,…,αs线性无关的充分必要条件是R(α1,α2,…,αs)=s，换句话说，向量组α1,α2,…,αs线性相关的充分必要条件是R(α1,α2,…,αs)<s.证我们只需证明第一个结论，而第二个结论为第一个的逆否命题.必要性：如果向量组α1,α2,…,αs线性无关，那么向量组本身即为其一个极大无关组，因此，R(α1,α2,…,αs)=s.充分性：如果R(α1,α2,…,αs)=s，那么α1,α2,…,αs的极大无关组中含有s个向量.而α1,α2,…,αs中只有其本身含有s个向量，故α1,α2,…,αs是其本身的极大无关组，从而α1,α2,…,αs线性无关.定理3-7等价的向量组必有相同的秩.证明设向量组Ⅰ:α1,α2,…,αs与Ⅱ:β1,β2,…,βt等价，Ⅰ0，Ⅱ0分别为Ⅰ和Ⅱ的极大无关组.由定理3-5知，向量组与其极大无关组等价，再由等价的传递性和对称性，向量组Ⅰ0和Ⅱ0也是等价的.最后，Ⅰ0和Ⅱ0所含向量的个数相同，即R(α1,α2,…,αs)=R(β1,β2,…,βt)定理3-8设向量组α1,α2,…,αs的秩R(α1,α2,…,αs)=r,那么α1,α2,…,αs中任意含有r个向量的无关部分组均为α1,α2,…,αs的一个极大无关组.证明不妨设α1,α2,…,αr为α1,α2,…,αs的任意一个无关部分组.只需证明向量组的任何一个向量β均可由α1,α2,…,αr线性表出.假设β不可以由α1,α2,…,αr线性表出，那么，α1,α2,…,αr,β是线性无关的，且可以由向量组α1,α2,…,αs的一个极大无关组线性表出，从而有r+1≤r，这是不可能的.因此β可由α1,α2,…,αr线性表出.从而α1,α2,…,αr为α1,α2,…,αs的一个极大无关组.向量组的秩与矩阵的秩二、第二章介绍过矩阵的秩的概念，那么，矩阵的秩与向量组的秩之间有什么关系呢？下面讨论这个问题.设m×n型矩阵将矩阵A的每一行看作一个n维行向量，并记α1=a11,a12,…a1n，α2=a21

,a22,…a2n,…,αm=am1,am2,…amn为矩阵A的行向量组，称该行向量组的秩为矩阵A的行秩；将矩阵A的每一列看作一个m维列向量，并记为A的列向量组，称该列向量组的秩为矩阵A的列秩.对于一般的矩阵，它的行秩与列秩有什么关系呢？先看一个例子.例如，对于矩阵A的行向量组为α1=1,1,3,2，α2=0,1,－1,0，α3=0,0,0,0，显然α1,α2是它的唯一极大无关组，故A的行秩为2.A的列向量组为β1=1,0,0T，β2=1,1,0T，β3=3,－1,0T，β4=2,0,0T.可以验证，β1,β2是列向量组的一个极大无关组，故A的列秩为2.容易验证，矩阵A的秩也是2.由此可看出，矩阵A的行秩、列秩和矩阵A的秩都相等，这个结论对任何一个矩阵都成立.据此，我们很容易得到一个求向量组α1,α2,…,αn的秩的方法.对于只含有有限个向量的向量组α1,α2,…,αn，以向量组的向量αi（i=1,

2,…,n）为列向量构造矩阵A=α1,α2,…,αn，对A进行初等行变换，将A化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵A的秩，也是向量组α1,α2,…,αn的秩.求向量组α1=1,－2,1T，α2=2,－4,2T，α3=1,0,3T，α4=0,－4,－4T

的秩和它的一个极大无关组.解对矩阵A=α1,α2,α3,α4做初等行变换:【例3-14】显然，RA=RB=2，即向量组α1,α2,α3,α4的秩为2.易见，β1,β3是矩阵B的列向量组的一个极大无关组，由定理3-4知，α1,α3是矩阵A的列向量组的一个极大无关组.定理3-9向量组B=β1,β2,…,βs能由向量组A={α1,α2,…,αr}线性表示的充分必要条件是矩阵A=（α1,α2,…,αr）的秩等于矩阵A,B=(α1,α2,…,αr,β1,β2,…,βs)的秩，即RA=RA,B.证明（略）.根据定理3-9，我们容易得出如下推论：推论3-1

如果向量组B=β1,β2,…,βs可由向量组A=α1,α2,…,αr线性表示，那么Rβ1,β2,…,βs≤Rα1,α2,…,αr.证明

记