泰 勒 公 式课件

泰勒公式第三节、泰勒公式对于一些较复杂的函数，为了方便研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达．在各种函数中，多项式函数是最简单的一种，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算，便能求出它的函数值来，因此，我们希望用多项式来近似表示函数．那么，如何从理论上建立一个复杂函数与一个简单的多项式之间的关系呢？1712年，英国数学家泰勒（Taylor）解决了这个问题.这正是本节所要介绍的泰勒公式的核心内容．一、泰勒中值定理引入1.在微分的应用中已经知道，当|x|很小时，有如下的近似等式：ex≈1+x,ln(1+x)≈x.这些都是用一次多项式来表达函数的例子．但是这种近似表达式存在着两大不足：①精确度不高，它所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小；②不能具体估计出误差大小．于是，如何改进这两大缺点是当时摆在数学家面前的一个重要课题．

泰勒首先提出下面的问题：设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到（n+1）阶导数，试找出一个关于(x－x0)的n次多项式pn(x)=a0+a1(x－x0)+a2(x－x0)2+…+an(x－x0)n（3-1）来近似表达f(x)，要求pn(x)与f(x)之差是比(x－x0)n高阶的无穷小，并给出误差|f(x)－pn(x)|的具体表达式．下面我们来讨论这个问题．假设pn(x)在x0处的函数及它的直到n阶导数在x0处的值依次与f(x0),f′(x0),…,f(n)(x0)相等，即满足pn(x0)=f(x0),p′(x0)=f′(x0),p″(x0)=f″(x0),…,p(n)n(x0)=f(n)(x0)，一、泰勒中值定理

按这些等式来确定多项式（3-1）的系数a0,a1,a2,…,an．为此，对式（3-1）求各阶导数，然后分别代入以上等式，得a0=f(x0),1·a1=f′(x0),2!a2=f″(x0),…,n!an=f(n)(x0),即得下面的定理表明，多项式（3-2）的确是所要找的n次多项式．一、泰勒中值定理泰勒中值定理2.泰勒中值定理如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到（n+1）阶的导数，则对任一x∈(a,b)，有其中这里ξ是x0与x之间的某个值．一、泰勒中值定理

证设Rn(x)=f(x)－pn(x)，只需证明

（ξ在x0与x之间）.由假设可知，Rn(x)在(a,b)内具有直到（n+1）阶的导数，且Rn(x0)=R′n(x0)=R″n(x0)=…=R(n)n(x0)=0.

对两个函数Rn(x)及(x－x0)n+1在以x0与x为端点的区间上应用柯西中值定理（显然，这两个函数满足柯西中值定理的条件），得

（ξ1在x0与x之间）一、泰勒中值定理

再对两个函数R′n(x)与(n+1)(x－x0)n在以x0及ξ1为端点的区间上应用柯西中值定理，得

（ξ2在x0与ξ1之间）.照此方法继续下去，经过（n+1）次后，得（ξ在x0与ξn之间，因而也在x0与x之间）.注意到Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)（因pn(n+1)(x)=0），则由上式得（ξ在x0与x之间）.定理证毕．一、泰勒中值定理二、泰勒公式及其余项多项式（3-2）被称为函数f(x)按(x－x0)的幂展开的n次近似多项式，式（3-3）称为f(x)按(x－x0)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式，而表达式（3-4）称为拉格朗日型余项．当n=0时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式f(x)=f(x0)+f′(ξ)(x－x0)（ξ在x0与x之间)，因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广．

由泰勒中值定理可知，以多项式pn(x)近似表达函数f(x)时，其误差为|Rn(x)|．如果对于某个固定的n，当x∈(a,b)时，|f(n+1)(x)|≤M，则有估计式(3-5)及limx→x0Rn(x)/(x－x0)n=0.由此可见，当x→x0时误差|Rn(x)|是比(x－x0)n高阶的无穷小，即Rn(x)=o［(x－x0)n］.(3-6)这样，我们提出的问题完满地得到解决．二、泰勒公式及其余项在不需要余项的精确表达式时，n阶泰勒公式也可以写成(3-7)Rn(x)的表达式(3-6)称为佩亚诺(Peano)型余项，式(3-7)称为f(x)按(x－x0)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式．二、泰勒公式及其余项

在泰勒公式（3-3）中，如果取x0=0，则ξ在0与x之间．因此可令ξ=θx(0<θ<1)，从而泰勒公式变成比较简单的形式，即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林(Maclaurin)公式(3-8)在泰勒公式（3-7）中，如果取x0=0，则有带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式(3-9)由式(3-8)或式（3-9）可得近似公式误差估计式（3-5）相应变成(3-10)二、泰勒公式及其余项

写出函数f(x)=ex的带有拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式．解因为f(x)=f′(x)=f″(x)=…=f(n)(x)=ex．所以f(0)=f′(0)=f″(0)=…=f(n)(0)=1．把这些值代入式（3-8），并注意到f(n+1)(θx)=eθx使得(0<θ<1).由这个公式可知，ex用它的n次近似多项式可表达为【例1】二、泰勒公式及其余项

这时所产生的误差为(0<θ<1).如果取x=1，则得无理数e的近似式为其误差为当n=10时，可算出e≈2.718282，其误差不超过10－6．二、泰勒公式及其余项

求f(x)=sinx的带有拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式．解因为所以它们顺序循环地取四个数0,1,0,－1，于是按(3-8)式得（令n=2m）【例2】二、泰勒公式及其余项其中(0<θ<1).如果取m=1，则得近似公式sinx≈x.这时误差为如果m分别取2和3，则可得sinx的3次和5次近似多项式其误差的绝对值依次不超过类似地，还可以得到(4-11)(4-12)二、泰勒公式及其余项其中(0<θ<1)；其中(0<θ<1)；其中Rn(x)=(0<θ<1).由以上带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式，易得相应的带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，读者可自行写出．二、泰勒公式及其余项【例3】二、泰勒公式及其余项【例4】二、泰勒公式及其余项解法2

用泰勒公式求极限二、泰勒公式及其余项由以上解法可知，在求“”型未定式时，若无穷小的阶数比较高（三阶以上），用泰勒公式求解比用洛必达法则求解容易．注意二、泰勒公式及其余项

设f(x)在［a,b］上具有三阶导数，且f(a)=f(b)=f′(b)=f″(b)=0，证明在(a,b)内至少存在一点ξ，使证f(x)在x0=b的二阶泰勒公式为【例5】二、泰勒公式及其余项（1）要证明命题“f(n)(ξ)=0”．当n较小时（如n=1,2），可考虑对f(n－1)(x)使用罗尔定理的处理方法．此时，问题可转化为寻找使函数f(n－1)(x)的值相等的两个点，这往往需要借助于微分中值定理（如罗尔定理或拉格朗日中值定理）．（2）当n较大时，可考虑使用f(x)的n－1阶泰勒公式证明f(n)(ξ)=0．注意二、泰勒公式及其余项

应用三阶泰勒公式近似计算sin18°的值，并估计误差．解18°=π/10与0