2023年春新北师大版八年级数学下册全册教案

第一章三角形的（证明

【单元分析】

本章是八年级上册第七章《平行线的证明》的继续，在“平等线的证明”一章中，我们给出了

8条基本领实，并从其中的几条基本领实出发证明了有关平厅线的某些结论。运用这些基本领实和

已经学习过时定理，我们还可以证明有关三角形的某些结论。

在这之前，学生已经对图形的性质及其互相关系进行了大量的探索，探索的同步也经历过某些

简朴的推理过程，已经具有了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章深入严格证明

三角形有关定理打下了基础。

【单元目的I】

1.知识与技能

（1）等腰三角形H勺性质和鉴定定理；

（2）直角三角形的性质定理和鉴定定理；

2.i寸程与措施

（1）会运用等腰三角形f、J性质和鉴定定理处理有关问题；

（2）直角三角形的性质定理和鉴定定理处理简朴的实际问题；

3.情感态度与价值观

（1）经历由情景引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践的过程，培养学数学、用数

学的意识与能力：

（2）感受数学文化的价值和中国老式数学的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思

想感情。

【单元重点】

在证明过程中，深入感受证明过程，掌握推理证明的基本规定，明确条件和结论，可以借助

数学符号语言运用综合法证明等腰三角形的性质定理和鉴定定理。

【单元难点】

明确推理证明口勺基本规定如明确条件和结论，能否用数学语言对R勺体现等。

【教学思绪】

1.对于已经有命题的证明，教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程，从中获取

严格证明"勺思绪；对于新增命题，教学过程中要重视学生11勺探索、证明过程，关注该命题与其他已

经有命题之间的关系；对于整章的命题，注意关注将这曲命题纳入一种命题系统，关注命题之间U勺

关系，从而形成对有关图形整体日勺认以。

2.对于证明日勺措施，除了重视启发和回忆，还应注意关注证明措施的多样性，力图通过学生的

自主探索，获得多样的证明措施，并在比较中选择合适日勺措施。

3.证明过程中注意揭示蕴含其中的数学思想措施，如转化、归纳、类比等。

4.作为初中阶段几何讦明叼最终阶段，教学中应视定学牛掌樨综合法和分析法讦明命题叫基本

规定，掌握规范的证明表述过程，到达课程原则对证明表述到规定。

【单元课时安排】

课题课时

1.1等腰三角形4课时

1.2直角三角形2课时

1.3线段的垂直平分线2课时

1.4角平分线2课时

回忆与思索2课时

1.1等腰三角形

【教学目的】

1.知识与技能

理解作为证明基相的几条公理日勺内容，应用这些公理证明等腰三角形口勺性质定理。

2.过程与措施

经历“探索一发现一猜测一证明”的过程，让学生深入体会证明是探索活动的自然延续和

必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力。

3.情感态度与价值观

启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎U勺互相依赖和互相补充的辩

证关系。

【教学重点】

经历“探索一一发现一一猜测一一证明”的过程。

【教学难点】

用综合法证明有关三角形和等腰三角形的某些结论.

【教学措施】

讲授法

【课时安排】

4课时

第一课时

【教学目的】

1.知识与技能

可以借助数学符号语言运用综合法证明等腰三角形的性质定理和鉴定定理。

2.过程与措施

经历“探索一发现一猜测一证明”的过程，让学生深入体会证明是探索活动的自然延续和

必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力。

3.情感态度与价值观

后发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的互相依赖和互相补充的辩证

关系。

【教学重点】

探索证明等腰三角形性质定理日勺思绪与措施，掌握证明的基本规定和措施。

【教学难点】

明确推理证明日勺基本规定如明确条件和结论，能否用数学语言对口勺体现等。

【教学过程】

教学过程教学随笔

第一环节：回忆旧知导出公理

提请学生回忆并整顿已经学过日勺8条基本领实中的5条：

1.两直线被第三条直线所截,假如同位角相等,那么这两条直线平行；

2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；

3.两边夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)；

5.三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；

在此基础上回忆全等三角形B勺另一鉴别条件：L(推论)两角及其中一

角日勺对边对应相等日勺两个一:角形全等(AAS),并规定学生运用前面所提到的

公理进行证明：2.回忆全等三角形的性质。

己知：如图，ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF.

求证：△ABCgZXDEF.

证明：・.・/A=ND,NB=NE(已知)，

又NA+NB+NC=180°,ND+NE+NF=18()°(三角形内角和等于180°),

AZC=180°-(ZA+ZB),

ZF=180°-(ND+NE),

AZC=ZF(等量代换)。

又BC=EF(已知)，

/.△ARC^ADItF(ASA)。

第二环节：折纸活动探索新知

在提问：“等腰三角形有哪些性质？此前是怎样探索这些性质的，你能

再次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质口勺证明

吗?”口勺基础上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。详细操作中，

可以让学生先独自折纸观测、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人

为小组进行交流，互相弥补局限性。

第三环节：明晰结论和证明过程

在学生小组合作的J基础上，教师通过度析、提问，和学生一起完毕以上

两个个性质定理的证明，注意最佳让两至三个学生板演证明，其他学生挑选

其一证明.其后，教师通过课件汇总各小组的成果以及详细证明措施，给学

生明晰证明过程。

（1）等腰三角形日勺两个底角相等；

（2）等腰三角形顶角H勺平分线、底边中线、底边上高三条线重叠

第四环节：随堂练习巩固新知

学生自主完毕P4第2题：如图（图略），在AABD中,C是BD上的J一点,

且AC_LBD,AC=BC二CD,

（1）求证：4ABD是等腰三角形；

（2）求NBAD的度数。

第五环节：课堂小结

让学生畅谈收获，包括详细结论以及其中的I思想措施等，

第六环节：布置作业

书本第4页习题1.1第2、3题

【板书设计】

1.1等腰三角形（一）

证明：・・・/A=ND,NB=NE（已知）,

又NA+NB+NC=180°,ZD+ZE+ZF=180°（三角形内角和等于180°）,

/.ZC=180°-（ZA+ZB）,

ZF=180°一（ND+NE）,

AZC=ZF（等量代换）。

又BC=EF（己知）,

AAABC^ADEF(ASA)o

【教学反思】

第二课时

【教学目的】

1.知识与技能

深入熟悉证明日勺基区环节和书写格式，体会证明的必要性。

2.过程与措施

让学生深入体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步口勺演绎

逻辑推理的能力。

3.情感态度与价值观

体验数学活动中的探索与发明，感受数学的严谨性，

【教学重点】

用面积法验证勾股定理。

【教学难点】

用综合法证明有关三角上和等腰三角形R勺某些结论。

【教学过程】

教学过程教学随笔

第一环节：提出问题，引入新课

在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：

在等腰三角形中作出某些线段（如角平分线、中线、高等），你能发现其中一

第二环节：自主探究

在等腰三角形中自主作出某些线段（如角平分线、中线、高等），观测其

中有哪些相等H勺线段，并尝试给出证明。

你也许得到哪些相等的线段？

你怎样验证你的猜测？

你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程；

还可以有哪些证明措施？

通过学生口勺自主探究和同伴日勺交流，学生一般都能在直观猜测、测量验

证的基础上探究出：

等腰三角形两个底角的平:分线相等；

等腰三角形腰上的高相等；

等腰三角形腰上的中线相等.

并对这些命题予以多样B勺证明。

如对于“等腰三角形两底角的平分线相等“，学生得到了下面的I证明措

施：

已知：如图,在△ABC中，AB知C,BD、CE是AABC的角平分线.

求证：BD=CE.

证法1：VAB=AC,

，NABONACB（等边对等角）.

VZ1=1ZABC,Z2=|ZABC,

AZ1=Z2.

在ABDC和ACEB中，

ZACB=ZABC,BC=CB,Z1=Z2.

.,.△BDC^ACEB（ASA）.

・••BD-CE（全等三角形的J对应边相等）

证法2；证明；VAB=AC,

.,.ZABC=ZACB.

又・・・/3二/4.

在△ABC和△ACE中，

Z3=Z4,AB=AC,NA=NA.

r.AABD^AACE（ASA）.

.♦.BD=CE（全等三角形淤J对应边相等）.

第三环节：经典例题变式练习

提请学生思索，除了角平分线、中线、高等特殊H勺线段外，还可以有哪

些线段相等？并在学生思索的基础上，研究书本“议一议”：

在书本图1—4的等腰三角形ABC中，

⑴假如NABD。ZABC,NACE】NACB呢？由此，你能得到一种什么结

JT

论？

（2）假如AD=|AC,AE《AB,那么BD二CE吗？假如AD-|AC,AE=|AB呢？

由此你得到什么结论？

第四环节：拓展延伸，探索等边三角形性质

提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思索等边三角形的特殊

性质；等边三角形三个内角都相等并旦每个内角都等于60°.

已知：在AABC中，AB=BC=AC.

求证：NA=NB=NC=60°.

证明：在AABC中，:AB=AC,・・・NB=NC（等边对等角）.

同理：NC=NA,AZA=ZB=ZC（等量代换）.

又・・・NA+NB+NC=18（r（三角形内角和定理），・・・NA=NB=NC

=60n.

学生一般都能得到这些定理的证明，能规范地写出对于“等边三角形三

个内角都相等并且每个内角都等于6（）。”的证明过程：

第五环节：随堂练习及时巩固

在探索得到了等边三角形的性质U勺基础上，让学生独立完毕如下练习。

L如图，已知AABC和MDE都是等边三角形.及

求证:AE=C【）

活动意图：在巩固等边三角形H勺性质的同步，深入掌握粽合证明法的基

本规定和环节，规范证明的书写格式。

第六环节：探讨收获课时小结

本节课我们通过观测探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段，并

由特殊结论归纳出一般结论，

第七环节：布置作业

书本第7页习题1.2第2、3题

【板书设计】

1.2等腰三角形（二）

已知：在△ABC中，AB=BC=AC.

求证：ZA=ZB=ZC=60°.

证明；在AABC中，TRB=AC,,NB=NC（等边对等角）.

同理：ZC=ZA,AZA=ZB=ZC（等量代换）.

又・・・NA+NB+NC=18（）°（三角形内角和定理），・・・NA=NB=NC=60°.

【教学反思】

第三课时

【教学目的】

1.知识与技能

探索等腰三角形鉴定定理。

2.过程与措施

理解等腰三角形H勺鉴定定理,并会运用其进行简朴的证明。

3.情感态度与价值观

培养学生的逆向思维能力。

【教学重点】

理解等腰三角形日勺鉴定定理。

【教学难点】

理解反证法口勺基本证明思绪，并能简朴应用。

【教学过程】

教学过程教学随笔

第一环节：复习引入

通过问题串回忆等腰三:角形日勺性质定理以及证明的）思绪，规定学生独立

思索后再进交流。

问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分

别是什么？

问题2.我们是怎样证明上述定理的？

问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成上么？假如一种三角

形有两个角相等，那么这两个角所对1向边也相等？

第二环节：逆向思索，定理证明

教师：上面，我们变化问题条件，得出了诸多类似的

结论，这是研究问题的一种常用措施，除此之外，我们还A

可以“反过来”思索问题，这也是获得数学结论的一条途A

径.例如“等边对等角”，反过来成立吗？也就是：有两个/\

角相等依J三角形是等腰三角形吗？/\

［生］如图，在△ABC中，NB=/C,要想证明AB=AC,/\

只要构造两个全等於J三角形，使AB与AC成为对应边就可BC

以了.

［师］你是怎样想到的？

［生］由前面定理的证明获得启发，例如作BC的中线，或作A的平分线,

或作BC上日勺高，都可以把4ABC提成两个全等的三角形.

［师］很好.同学们可在练习本上尝试一下与否如此，然后分组讨论.

［生］我们组发现，假如作BC的中线，虽然把aABC提成了两个三角形，

但无法用公理和已证明的定理证明它们全等.由于我们得到的条件是两个三

角形对应两边及其一边H勺对题分别相等，是不可以判断两个三角形全等

H勺.后两种措施是可行的.

［师］那么就请同学们任选一种措施按规定将推理证明过程书写出

来.（教师可让两个同学在黑板上演示，并对推理证明过程讲评）

（证明略）

［师］我们用“反过来”思索问题，获得并证明了一种非常重要日勺定理一

一等腰三角形H勺鉴定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.这一定理

可以简朴论述为：等角对等边.我们不仅发现了几何图形的I对称美，也发现

了数学语言的对称美.

第三环节：巩固练习

将书中的随堂练习提前到此，是为了及时巩固鉴定定理。引导学生进行

分析。

己知：如图,NCAE是△ABCH9外角，AD〃BC且N1=N2.

求证：AB=AC.

证明：・・・AD〃BC,/

・•・（两直线平行，同位角相等）,A/1一0

N2=NC（两直线平行，内错角相等）./\

又・・・N1=N2,・・・NB=NC./\

・・・AB=AC（等角对等边）./\

第四环节：适时提问导出反证法BC

我们类比归纳获得一种数学结论，“反过来”思索问题也获得了一种数

学结论.假如否认命题口勺条件，与否也可获得一种数学结论吗？我们一起来

“想一想”：

小明说，在一种三角形中，假如两个角不相等，那么这两个角所对的边

也不相等.你认为这个结论成立吗?假如成立，你能证明它吗？

有学生提出：“我认为这个结论是成立欧I.由于我画了几种三角形，观

测并测量发现，假如两个角不相等，它们所对日勺边也不相等.但要像证明“等

角对等边”那样却很难证明，由于它的条件和结论都与否认的.”确实如此.像

这种从正面人手很难证明的结论，我们有无别的J证明思绪和措施呢？

我们来看一位同学的想法：

如图，在AABC中，已知NBrNC,此时AB4

与Ac要么相等，要么不相等./\

假设AB=AC,那么根据“等边对等角“定理可/\

得NC=NB,但已知条件是NB#NC."NC=NB"/\

与已知条件“NBWNC”相矛盾，因此ABWAC/________________\

你能理解他的推理过程吗？

再例如，我们要证明AABC中不也许有两个直角，也可以采用这位同学

的证法，假设有两个角是直角，不妨设NA=90°,NB=90°,可得NA+N

B=180°,但△ABNA+NB+NC=180°,“NA+NB=180°”与“NA+NB+N

C=180°”相矛盾•，因此aABC中不也许有两个直角.

引导学生思索：上一道面口勺证法有什么共同的特点呢？引出反证法。

都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证

明过时定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立.这也是证明命题的一种

措施，我们把它叫做反证法.

接着用“反过来”思索问题的措施获得并证明了等腰三角形口勺鉴定定理

”等角对等边“，最终结合实例理解了反证法日勺含义.

第五环节：拓展延伸

活动过程与效果：在一节课结束之际，为培养学生思维的综合性、灵

活性特安排了2个练习。一种是通过平行线、角平分线鉴定三角形的形状，

再通过线段的转换求图形的周长。另一种是一种开放性口勺间圾，考察学生多

角度多维度思索问题日勺能力。学生在独立思索的J基础上再ZI、组克流。

1.如图，BD平分NCBA,CD平分NACB,且MN〃BCC=18,

求△AMN的周长.BC

2.既有等腰三角形纸片，假如能从种角U勺顶点出发

开成两块等腰三角形纸片，问此时的等腰三角形H勺顶角卧J度数?

第六环节：课堂小结

（1）本节课学习了哪些内容？

（2）等腰三角形的鉴定措施有哪几种？

（3）结合本节课时学习，谈谈等腰三角形性质和鉴定的区别和联络.

（4）举例谈谈用反证法说理H勺基本思绪

第七环节：布置作业

【板书设计】

1.1等腰三角形（三）

已知:如图,NCAE是aABC的外角,AD〃BC且N1=N2.

求证：AB=AC.

证明：・・・AD〃BC,

・・・N1=NB（两直线平行，同位角相等）,

N2=NC（两直线平行，内错角相等）.

又・・・/l=N2,AZB=ZC.

・・・AB=AC（等角对等边）.

【教学反思】

第四课时

【教学目的】

1.知识与技能

理解等边三角形的鉴别条件及其证明，理解具有30°角的直角三角形性质及其证明，并能运

用这两个定理处理某些简朴的问题。

2.过程与措施

经历运用几何符号和图形描述命题H勺条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。

3.情感态度与价值观

在数学活动中获得成功日勺体验，锻炼克服困难日勺意志，建立自信心。

【教学重点】

等边三角形鉴定定理H勺发现与证明。

【教学难点】

理解反证法的基本证明思绪，并能简朴应用。

【教学过程】

教学过程教学随笔

第一环节：提问问题，引入新课

教师回忆前面等腰三角形口勺性质和鉴定定理的基础上，直接提出问题：

等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又怎样鉴别一种

三角形是等腰三角形呢？从而引入新课。

开门见山，引入新课，同步回忆，也为后续探索提供了铺垫。

（教师应给学生自主探索、思索的时间）

第二环节：自主探索

学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结

论，教师适时规定学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的鉴别条件,

并引导学生总结出下表：

性质鉴定的条件

等腰三角形等边对等角等角对等边

（含等边三“三线合一”即等腰有一角是60。

角形）三角形顶角平分线，

底边上的中线、高互

相重叠

等边三角形三个角三个角都相等日勺

都相等，且每个角都三角形是等边三

是60。角形

经历定理的探究过程，即明确有关定理，同步提高学生的自主探究能力.

第三环节：实际操作提出问题

活动内容：教师直接提出问题：我们还学习过直角三角形，今天我们研

究一种特殊H勺直角三角形：含30。角的直角三角形。拿出三角板，做一做：

用含30。角的两个三角尺，你能拼成一种怎样的I三角形?能拼出一种等边

三角形吗？

在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存

在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由.

让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论：在直角三角形中，假如一种

锐角等于3（）。，那么它所对H勺直角边等于斜边的二分之一.

定理：在直角三角形中，假如一种锐角等于30°,那么它所对H勺直角边

等于斜边的二分之一.

已知：如图，在RtZXABC中，ZC=90°,ZBAC=30°.

求证：BC=5AB.

分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至D,使CD=BC,

连接AD.

证明：在AABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°ZB=60°.

延长BC至D,使CD=BC,连接AD（如

图所示）.

•IZACB=90°Z.ZACB=90°

VAC=AC,.,.△ABC^AADC（SAS）.

・•・AB二AD（全等三角形的对应边相等）.

•••△ABD是等边三角形（有一种角是60°

的等腰三角形是等边三角形）.

・\BC=5BD=^AB.

第四环节：变式训练巩固新知

直接提请学生思索刚刚命题口勺逆

命题：在直角三角形中，假如一条直

角边等于斜边日勺二分之一，那么这条直角边所对的锐角等于3()。吗?假如是,

请你证明它.

在师生分析的基础上，给出证明：

己知：如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,BC=1AB.

求证：ZBAC=30°

证明：延长BC至D,使CD=BC,连接AD.

VZACB=90°,AZACD=90°.

又・..AC;AC.AA

AAACB^AACD(SAS).A/I

AAB=AD.//

VCD=BC,ABC=|BD./A

又：BC乏AB,AAB=BD.

BB

AAB=AD=BD,

即4ABD是等边三角形.

/.ZB=60°.在RlZXABC中，ZBAC=30°.

展现例题，在师生分析的基础I；,运用所学日勺新定理解答例题。

等腰三角形H勺底角为15。，腰长为2a,求腰上的高CDH勺长.

分析♦：观测图形可以

发目前RtAADC中，—

AC=2a而ZDAC是△

ABC日勺一种外角，而N\

DAC=xi5°=30°,根据在

直角三角形中，30。角所对BC

的直角边是斜边的二分之

一，可求出CD.

解：VZABC=ZACB=15°

・•・ZDAC=ZABC+ZACB=15°+15°=30°

，CD=1AC=1、2a=a(在直角三角形中，假如一种锐角等于30。，那么

它所对的直角边等于斜边的二分之一).

第五环节：畅谈收获课时小结

让学生对课堂学习进行小结，注意总结详细日勺知以、结论，以及处理问

题的措施和蕴含其中口勺思想，如分类讨论思想、逆向思维等。

第六环节：布置作业

【板书设计】

*licBDC

(1)⑵

1.1等腰三角形(四)

己知：如图，在RtZ\ABC中，NO90。，BC=|AB.

求证：ZBAC=30°

证明：延长BC至D,使CD=BC,连接AD./

VZACB=90°,/.ZACD=90°./

又・・・AC=AC./

BCD

•••△ACBg△ACD(SAS).

AAB=AD.

VCD=BC,・・・BC=1BD.

XVBC=|AB,.・・AB=BD.

AAB=AD=BD,

即AABD是等边三角形.

AZB=60°.在RtZXABC中，ZBAC=30°.

【教学反思】

1.2直角三角形

【教学目的】

1.知识与技能

（1）掌握直角三角形R勺性质定理（勾股定理）及鉴定定理的证明措施，并能应用定理处

理与直角三角形有关的I问题。

（2）结合详细例子理解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，懂得原命题成立，其逆命

题不一定成立。

2.过程与措施

（1）深入经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发

展抽象思维.

（2）深入掌握推理证明的措施，发展演绎推理的能力。

3.情感态度与价值观

体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的亲密联络，激发学生学数学、用

数学的爱好。

【教学重点】

掌握百角二角形附性质定理（勾股定理）及鉴定定理FJ讦明措施.

【教学难点】

应用定理处理与直角三角形有关的问题。

【教学措施】

讲授法

【课时安排】

2课时

第一课时

【教学目的】

1.知识与技能

掌握直角三角形H勺性质定理（勾股定理）及鉴定定理H勺证明措施。

2.过程与措施

深入经历用几何符号和图形描述命题H勺条件和结论的过程，建立初步口勺符号感，发展抽象思

维。

3.情感态度与价值观

在数学活动中获得成功U勺体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

【教学重点】

掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及鉴定定理的证明措施。

【教学难点】

结合详细例子理解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，懂得原命题成立，其逆命题不一定

成立。

【教学过程】

教学过程教学随笔

第一环节：创设情境，引入新课

通过问题1,让学生在处理问题口勺同步，回忆直角三角形的一般性质。

［问题I］一种直角三角形房梁如图所示，其中BC±AC,NBAO30。，

AB=10cm,CBilAB,B|CJ_AC”垂足分别是Bi、Ci，那么BC口勺长是多

少？BCi呢？

解；在RtZXABC中，ZCAB=30°，AB=l（）cm,

；・BC=；AB=；X10=5cm.

VCBilAB,・・・NB+NBCBi=90。

又•••/A+/B=90。

AZBCBi=NA=30。

在RtZ\ACBi中，BBI=TBC=1X5=

・・・ABl=AB=BBi=10—2.5=7.5(cm).

・••在RtZ\C]ABi中，ZA=300

ABICIAB[=：x7.5=3.75(cm).

处理这个问题，重要运用了上节课已经证明的“30。角的直角三角形时

性质”.由此提问：“一般日勺直角三角形具有什么样的性质呢？”从而引入勾

股定理及其证明。

教材中曾运用数方格和割补图形的措施得到了勾股定理.假如运用公理

及由其推导出H勺定理，可以证明勾股定理吗？

请同学们打开书本P18,阅读“读一读”，理解一下运用教科书给出的公

理和推导出H勺定理，证明勾股定理H勺措施.

第二环节：讲述新课

阅读完毕后，针对“读一读”中使用的两种证明措施，着重讨论第一种,

第二种措施请有爱好的同学课后阅读.

(1).勾股定理及其逆定理曰勺证明.

已知如图，在AABC中，ZC=90°,BC=a,AC=b,AB=c.

求证a2+b2=c2.

证明延长CB至D,使BD=b,作NEBD=NA,并取BE=c,连接

ED、AE(如图)，MAABC^ABED.

・•・NBDE=90。，ED=a(全等三角形卧J对应角相等,

对应边相等).

・・・四边形ACDE是直角梯形.

，S梯形ACDE=3(a+b)(a+b)=1(a+b)2.

/.ZABE=180°-(ZABC+ZEBD)=180°

900=90。,

AB=BE.

.*.SAABE=^C2

VS梯形ACDE=SAABE+S^ABC+S^

E

BED，

.**2(a+b)2=c2+|ab+ab.

即;a2+ab+3c?+ab.D

Aa2+b2=c2

教师用多媒体显示勾股定理内容，用课件演示勾股定理的条件和结论，

并强调.详细如下：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的I平

方.

反过来，假如在一种三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，

我们曾用度量口勺措施得出“这个三角形是直角三角形'坪J结论.你能证明此结

论吗？

师生共同来完毕.

已知：如图：在AABC中，AB2+AC2=

BC2

求证：AABC是直角三角形.

分析：要从边H勺关系，推出NA=90°是

不轻易的J,假如能借助于△ABC与一种直角三角形全等，而得到NA与对应

角（构造H勺三角形的直角）相等，可证.

证明：作作,使NA，=90°,A'B'=AB,AC、AC（如图）,

则AB2+A（，2.（勾股定理）.4

VAB2+AC2=BC2,A'B'=AB,AC

BC2=BV2/

ABC=BVZ_________

BC

AAABC^AA'BV（SSS）

・・・NA=NA，=90°（全等三角形R勺对应角相等）.

因此，AABC是直角三角形.

总结得勾股逆定理：假如三角形两边口勺平方和等于第三边的平方，那么

这个三角形是直角三角形.

（2）.互逆命题和互逆定理.

观测上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学

习中尚有类似日勺命题吗？

通过观测，学生会发现：

上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定

理的结论，结论是第二个定理的条件.

这样口勺状况，在前面也曾碰到过.例如“两直线平行，内错角相等“，互

换条件和结论，就得到“内错角相等，两直线平行又如“在直角三角形中，

假如一种锐角等于30。，那么它所对的直角边就等于斜边的二分之一”.互换

此定理的条件和结论就可得“在直角三角形中，假如一条直角边等于斜边的

二分之一，那么这条直角边所对的锐角等于30。”。

第三环节：议一议

观测下面三组命题：学生以分组讨论形式进行，最终在教师的引导下得

出命题与逆命题的区别与联络。

让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联络，要可以清晰地

分别出一种命题的题设和结论，可以将一种命题写出“假如……：那么……”

的形式，以及可以写出一种命题B勺逆命题。

活动中，教师应注意予以适度H勺引导，学生若出现语言上不严谨时，要

先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结。活动时可以先让学生观测下面

三组命题：

假如两个角是对顶角，那么它们相等.

假如两个角相等，那么它们是对顶角.

假如小明患了肺炎，那么他一定发热.

假如小明发热，那么他一定患了肺炎.

三角形中相等的边所对的角相等.

三角形中相等的角所对的边相等.

上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流.

不难发现，每组第二个命题的条件是第一种命题的结论，第二个命题的

结论是第一种命题口勺条件.

在两个命题中，假如一种命题条件和结论分别是另一种命题U勺结论和条

件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一种命题称为另一和命题的逆命题,

相对于逆命题来说，另一种就为原命题.

再来看“议一议”中的三组命题，它们就称为互逆命题，假如称每组的第

一种命题为原命题，另i种则为逆命撅.请同学们判断每组原命题时真假.逆

命题呢？

在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题.

在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题.

在第三组中，原命题和逆命题都是真命题.

由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题.

第四环节：想一想

要写出原命题的逆命题，需先弄清晰原命题的条件和结论，然后把结论

变换成条件，条件变换成结论，就得到了逆命题.

请学生写出命题“假如两个有理数相等，那么它们口勺平方相等”的逆命题

吗?它们都是真命题吗？

从而引导学生思索：原命题是真命题吗?逆命题一定是真命题吗？并通

过详细的实例阐明。

假如有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们

为互逆定理.

其中逆命题成为原命题(即原定理)H勺逆定理.

能举例说出我们已学过的互逆定理？

如我们刚证过的J勾股定理及其逆定理，“两直线平行，内错角相等”与“内

错角相等，两直线平行”.“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等U勺三角

形全等,,、“等边对等角,，和“等角对等边,，等.

第五环节：随堂练习

说出下列命题H勺逆命题，并判断每对命题的真假；

(1)四边形是多边形；

(2)两直线平行，内旁内角互补；

⑶假如ab=O,那么a=0,b=0

［分析］互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，

尤其是对以,假如……那么……”形式给出的命题，写出其逆命题较为轻易，

但对于那些不是以这种形式给出H勺命题，论述其逆命题有一定困难.可先分

析命题的条件和结论，然后写出逆命题.

解：(1)多边形是四边形.原命题是真命题，而逆命题是假命题.

(2)同旁内角互补，两直线平行.原命题与逆命题同为正.

(3)假如a=0,6=0,那么ab=0.原命题是假命题，而逆命题是真命题.

第六环节：课时小结

这节课我们理解了勾股定理及逆定理的证明措施，并结合数学和生活中

口勺例子理解逆命题H勺概念，会识别两个互逆命题，懂得，原命题成立，其逆

命题不一定成立，掌握了证明措施，深入发展了演绎推理能力.

第七环节：课后作业

习题1.5第1、2、3、4题

【板书设计】

1.2直角三角形(一)

已知：如图，在aABC中，ZC=90°,BC=a,AC=b,AB=c.

求证：a2+b2=c2.

证明：延长CB至D,使BD=b,作NEBD=NA,并取BE=c,连接ED、AE（如图），则AABC

^△BED.

Z.ZBDE=90°,ED=a(全等三角形口勺对应角相等，对应边相等).

・•・四边形ACDE是直角梯形.

，S梯形ACDE=£(a+b)(a+b)=1(a+b)2.

/.ZABE=180°-(ZABC+ZEBD)=180°-90°=90°,

AB=BE.4

.\SAABE=5C2\E

..”\

•S梯形ACDE=SAABE+SAABC+SABED*\

1i

-b+-b

2a2a

11

即2

-a++-

2ab2

【教学反思】

第二课时

【教学目的】

1.知识与技能

可以证明直角三角形全等的“HL”的鉴定定理，深入理解证明H勺必要性。

2.过程与措施

深入经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步日勺符号感，发展抽象思

维。

3.情感态度与价值观

深入掌握推理证明的措施，发展演绎推理能力。

【教学重点】

可以证明直角三角形全等的“HL”的鉴定定理。

【教学难点】

深入理解证明的必要性。

【教学过程】

教学过程教学随笔

第一环节：复习提问

1.判断两个三角形全等的措施有哪几种？

2.已知一条边和斜边，求作一种直角三角形。想一想，怎么画？同学们

互相交流。

3、有两边及其中一边H勺对角对应相等的两个三角形全等吗？假如其中

一种角是直角呢？请证明你的结论。

我们曾从折纸H勺过程中得到启示，作了等腰三角形底边上的1中线或顶角

的角平分线，运用公理，证明三角形全等，从而得出“等边对等角“。那么我

们能否通过作等腰三角形底边的高来证明”等边对等角

规定学生完毕，一位学生的过程如下：

已知：在AABC中，AB=AC.

求证：ZB=ZC.

证明：过A作AD_LBC,垂足为C,

.•.ZADB=ZADC=90°

XVAB=AC,AD=AD,

/.△ABD^AACD.

AZB=ZC（全等三角形的对应角相等）

在实际口勺教学过程中，有学生对上述证明措施产生了质疑。质疑点在

于“在证明△ABDsZkACD时，用了“两边及其中一边的对角对相等的两个

三角形全等”.而我们在前面学习全等的时候懂得,两个三角形，假如有两

边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的.可以画图阐明.(如

图所示在ABD和AABC中，AB=AB,ZB=ZB,AC=AD,但4ABD与4

ABC不全等)”.

也有学生认同上述的证明。

教师顺水推舟，问询能否证明：“在两个直角三角形中，直角所对的边

即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.”，从而引入新课。

第二环节：引入新课

(1).“HL”定理.由师生共析完毕

已知：在RtAABC和RtZkA4TC中，NC-NC=90。，AB=A,B\BC=B,C,.

求证：RtAABC^RtAAB^,

证明：在RtAABC中，AC=AB2—

BC?(勾股定理).

又•・•在RtAA1B'C中，A'C

=A'C'=A'B'2一B'C'2(勾股定理).

AB=AB,BC=B'C,AC=A'C.

ARtAABC^RtAAB'C(SSS).

教师用多媒体演示：

定理斜边和条直角边对应相等

R勺两个直角三角形全等.

这一定理可以简朴地用“斜边、直角边''或“HL”表达.

从而肯定了第一位同学通过作底边的I

高证明两个三角形全等，从而得到“等边对

等角”的证法是对的的I.

练习：判断下列命题口勺真假，并阐明理

由：

(1)两个锐角对应相等口勺两个直角三角

形全等；

⑵斜边及一锐角对应相等的两个直角

三角形全等；

(3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；

(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等H勺两个直角三角形全

等.

对于(1)、(2)、(3)一股可顺利通过，这里教师将讲解日勺重心放在了

问题(