2025高考数学一轮复习-第6章-第6节 数列中的奇偶项、子数列问题【课件】

第六章数列第6节数列中的奇偶项、子数列问题1.明确数列奇偶项问题的类型，掌握其解决方法.2.会用化归的思想方法求解子数列问题.目

录CONTENTS考点聚焦突破01课时分层精练02考点聚焦突破1KAODIANJUJIAOTUPO考点一奇偶项问题角度1含有(－1)n的类型例1

已知bn＝(－1)nn2，求数列{bn}的前n项和Tn.解∵bn＝(－1)nn2，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝－12＋22－32＋42－…＋(－1)n·n2，当n为偶数时，当n为奇数时，Tn=(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－7)＋(4n＋2)]＋2n－3＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－7)＋(2n－3)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋2)]所以Tn>Sn；当n为偶数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－5)＋(4n＋6)]＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－5)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋6)]所以Tn>Sn.综上可知，当n>5时，Tn>Sn.感悟提升1.含有(－1)n的数列求和问题一般采用分组(并项)法求和；2.对于通项公式奇、偶项不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以先求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k，求S2k－1.训练1(2024·青岛模拟)已知递增等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝13，a＝3a4，等差数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a2－1.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；解设等比数列{an}的公比为q，所以an＝a1·qn－1＝3n－1，所以b1＝a1＝1，b2＝a2－1＝2，所以等差数列{bn}的公差为1，故bn＝1＋(n－1)×1＝n.所以c2n－1＋c2n＝－(2n－1)·32n－1＋2n·32n－1＝32n－1＝a2n，所以T20＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋c19＋c20＝(c1＋c2)＋(c3＋c4)＋…＋(c19＋c20)考点二子数列问题角度1公共项例3

已知an=3n-1,bn=3n+n,n∈N*.若数列{an}与{bn}中有公共项，即存在k，m∈N*，使得ak＝bm成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作{cn}，求c1＋c2＋…＋cn.解由题意可得3k－1＝3m＋m(k，m∈N*)，因为3k，3m是3的倍数，所以m＋1也为3的倍数，令m＋1＝3n，则m＝3n－1(n∈N*)，则3k－1＝33n－1＋3n－1＝3(33n－2＋n)－1，此时满足条件，即当m＝2，5，8，…，3n－1时为公共项，所以c1＋c2＋…＋cn＝b2＋b5＋…＋b3n－1＝32＋35＋…＋33n－1＋(2＋5＋…＋3n－1)解保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1(k＝1，2，…)之间插入k个1，则新数列{bn}的前100项为3，1，21，1，1，22，1，1，1，23，1，1，1，1，24，…，212，1，1，1，1，1，1，1，1，1，则T100＝[3＋(21＋22＋…＋212)]＋[(1＋2＋3＋…＋12)＋9]＝90＋213－2＝88＋213＝8192＋88＝8280.感悟提升1.两个等差(比)数列的公共项是等差(比)数列，且公差(比)是两等差(比)数列公差(比)的最小公倍数，一个等差与一个等比数列的公共项，则要通过其项数之间的关系来确定.2.数列的插项、提项问题可通过研究前n次的变化探究出一般性规律，从而确定新数列的首项、项数、公差(或公比)、末项等信息.训练2

(2024·济南模拟)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝4，b1＝2，a2＝2b2－1，a3＝b3＋2.(1)求{an}和{bn}的通项公式；解设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，∴q＝2，d＝3，∴an＝3n＋1，bn＝2n.(2)数列{an}和{bn}中的所有项分别构成集合A，B，将A∪B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前60项和S60.解当{cn}的前60项中含有{bn}的前6项时，此时至多有41＋6＝47项，不符合题意.当{cn}的前60项中含有{bn}的前7项时，令3n＋1<28＝256，∴n<85，且22，24，26是{an}和{bn}的公共项，则{cn}的前60项中含有{bn}的前7项且含有{an}的前56项，再减去公共的三项.课时分层精练KESHIFENCENGJINGLIAN当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1，当n＝1时，上式也成立，所以an＝3n－1，当n＝1时，上式也成立，所以bn＝2n.(2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列称为{cn}，求c1＋c2＋…＋c20的值.解设3n－1＝2m＝(3－1)m＝3M＋(－1)m，m∈N*，M为3的正整数倍，故当m为奇数时，n＝M，故公共项为m＝1，3，5，7，…，∴21，23，25，27，…，构成首项为2，公比为4的等比数列，cn＝2·4n－1，2.设cn＝(－1)n＋1(2n－1)，求数列{cn}的前n项和Sn.解当n为偶数时，Sn＝(21－1)－(22－1)＋(23－1)－(24－1)＋…＋(2n－1－1)－(2n－1)解因为{an}是等比数列，公比q≠－1，则a4＝a1q3，a5＝a1q4，a7＝a1q6，a8＝a1q7，当n为偶数时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝－(1＋3＋…＋n－1)＋(32＋34＋…＋3n)4.(2024·西安调研)已知各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，a－2Sn＝n＋1(n∈N*)，其中Sn是数列{an}的前n项和. (1)求数列{an}的通项公式；解当n＝1时，a2＝2，因为数列{an}各项均为正数，所以an＋1－an＝1，又∵a2－a1＝1，∴数列{an}为等差数列，故an＝a1＋n－1＝n.(2)在ak和ak＋1(k∈N*)中插入k个相同的数(－1)k＋1·k，构成一个新数列{bn}：

a1，1，a2，－2，－2，a3，3，3，3，a4，…，求{bn}的前100项和T100.∴{bn}