2025年沪科版八年级数学寒假预习 第09讲 勾股定理的逆定理

第09讲勾股定理的逆定理模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题；能够运用勾股定理的逆定理证明直角三角形。1.勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形。2.如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）；验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形。注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.考点01：判断能否构成直角三角形例题1．下列条件中，能判定为直角三角形的是（

）A． B．C． D．，【变式1-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（

）A．，， B．1，， C．，， D．7，12，13【变式1-2】由下列条件不能判定为直角三角形的是（

）A． B．C． D．【变式1-3】（24-25八年级上·四川成都·期中）在中，、、的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明是直角三角形的是（

）A．，， B．C． D．考点02：在网格中判断直角三角形例题2．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．(1)画出关于x轴对称的图形，并写出顶点的坐标；(2)求出点B到的距离．【变式2-1】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（

）A． B． C． D．【变式2-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成个直角三角形．【变式2-3】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，的顶点都在格点（正方形的顶点）上．求证：．考点03：利用勾股定理逆定理求解例题3．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，已知是边上的中线，若，，，求的面积．【变式3-1】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，，，B是延长线上的点，连接，若，(1)说明为直角，(2)求的长．【变式3-2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，D为边上的一点，，．(1)求证：；(2)求的面积．【变式3-3】如图，在中，点D在边上，已知，点E在上，．(1)求证：；(2)若，求的长．考点04：勾股定理逆定理的实际应用例题4．为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学校园里现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，．根据你所学过的知识，求四边形的面积．【变式4-1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？【变式4-2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）在学校组织的研学活动中，需要学生自己搭建帐篷．下图是搭建帐篷的示意图．在中，支架从帐篷顶点支撑在水平的支架上，且于点，经测量得：，，．按照要求，帐篷支架与所夹的角需为直角．请通过计算说明学生搭建的帐篷是否符合条件．【变式4-3】（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，．(1)求小路的长；(2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？一、单选题1．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（

）A．1，2， B．6，8，10 C．5，12，13 D．3，5，72．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列线段能组成直角三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，3．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）由下列条件不能判定为直角三角形的是（

）A．B．C．，，（k为正整数）D．，，二、填空题4．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，的三条边，，，，则．5．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知A，B，C是海上的三座小岛，岛B在岛A的北偏东方向上，距离为12海里，岛C在岛A的北偏东方向上，距离为13海里，岛B和岛C之间的距离为5海里，则岛B在岛C的北偏西方向上.6．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．（1）若班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为，，，则这块试验基地的面积为（2）八（2）班的劳动试验基地的三边长分别为，，（如图），则的面积为．三、解答题7．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：(1)判断的形状，并说明理由；(2)求边上的高．8．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．(1)使三角形的三边长分别为，，（在图甲中画一个即可）；(2)使三角形为直角三角形，且面积为，要求至少有两条边不与网格线重合（在图乙中画一个即可）．9．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，是四边形的对角线，．(1)求的度数．(2)求四边形的面积．10．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，四边形中，，过点作于点，点恰好是的中点，连接，，，．(1)直接写出的长为______；(2)求的度数．

第09讲勾股定理的逆定理模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题；能够运用勾股定理的逆定理证明直角三角形。1.勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形。2.如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）；验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形。注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.考点01：判断能否构成直角三角形例题1．下列条件中，能判定为直角三角形的是（

）A． B．C． D．，【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．根据直角三角形的判定可判断选项A和B，C选项中根据三角形的内角和定理以及三个角的比例关系可求出为，根据勾股定理的逆定理可判断选项D，即可得出答案．【解析】解：A、由无法得到为直角三角形，故本选项不符合题意；B、，，，无法得到为直角三角形，故本选项不符合题意；C、，，最大角，是直角三角形，故本选项符合题意；D、，，，，，不是直角三角形，故本选项不符合题意．故选：C．【变式1-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（

）A．，， B．1，， C．，， D．7，12，13【答案】B【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解析】解：A、，故不是直角三角形，故本选项不符合题意；B、，故是直角三角形，故本选项符合题意；C、，故是直角三角形，故本选项不符合题意；D、，故不是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B．【变式1-2】由下列条件不能判定为直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，三角形的内角和定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理逐一分析判断即可．【解析】解：A、∵，，∴，是直角三角形，不符合题意；B、∵，，∴，是直角三角形，不符合题意；C、∵，∴故不能判定是直角三角形，符合题意；D、∵，∴，即，故是直角三角形，不符合题意；故选：C．【变式1-3】（24-25八年级上·四川成都·期中）在中，、、的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明是直角三角形的是（

）A．，， B．C． D．【答案】D【分析】本题考查直角三角形的判定，通过三角形中一个角是直角，或者勾股定理的逆定理判断．【解析】解：A、，，能说明是直角三角形，不合题意；B、，，，能说明是直角三角形，不合题意；C、，设，，，，，能说明是直角三角形，不合题意；D、，最大的角，不能说明是直角三角形，符合题意；故选D．考点02：在网格中判断直角三角形例题2．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．(1)画出关于x轴对称的图形，并写出顶点的坐标；(2)求出点B到的距离．【答案】(1)见解析，(2)2【分析】本题考查了作图：轴对称变换，勾股定理逆定理，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．（1）根据轴对称的性质即可画出关于x轴对称的图形，进而写出顶点的坐标；（2）根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，设点B到的距离为h，根据，即可求解．【解析】（1）解：如图，即为所求；顶点的坐标为；（2）解：根据题意得：，，∴为直角三角形，设点B到的距离为h，，，解得：，即点B到的距离为2．【变式2-1】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，先根据网格特点和勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理判断即可．【解析】解：由题意，，，，∴，∴是直角三角形，且，故选：D．【变式2-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成个直角三角形．【答案】【分析】本题考查了在网格中判断直角三角形，根据方格的特点准确的数出直角三角形的个数是解题的关键．根据如图所示的方格图，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，然后数一数直角三角形的个数即可得出答案．【解析】解：在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，构成的直角三角形有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，故答案为：．【变式2-3】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，的顶点都在格点（正方形的顶点）上．求证：．【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．根据勾股定理，求出，，的值，再根据勾股定理的逆定理，即可求出．【解析】解：∵在边长为的小正方形组成的网格中，∴，，，∴，∴是直角三角形，∴．考点03：利用勾股定理逆定理求解例题3．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，已知是边上的中线，若，，，求的面积．【答案】12【分析】本题考查了关于三角形面积计算的题，由是边上的中线可得到，结合已知，利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，过点A作，垂足为E，在中求出的长，即得高，即可求出面积．【解析】解：是边上的中线是直角三角形且过A作，垂足为E，如图：，【变式3-1】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，，，B是延长线上的点，连接，若，(1)说明为直角，(2)求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查勾股定理定理及逆定理，根据逆定理得到是直角三角形，利用勾股定理求出是解题关键．（1）根据勾股定理逆定理确定即可得出结果；（2）利用勾股定理得出，结合图形即可求解．【解析】（1）解：∵，，，∴，，∴，∴；（2）∵，∴，∵，，∴，∴．【变式3-2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，D为边上的一点，，．(1)求证：；(2)求的面积．【答案】(1)见解析(2)84【分析】（1）根据，，，得，证明；（2）根据勾股定理，得，求得，计算的面积即可．本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．【解析】（1）解：∵，，，∴，∴，∴；（2）解：根据勾股定理，得，∴，∴的面积为：．【变式3-3】如图，在中，点D在边上，已知，点E在上，．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答；（2）利用（1）的结论可得：证明，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可解答．本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．【解析】（1）证明：，，，，，，是直角三角形，，；（2）解：，∴，∵，，，∴．考点04：勾股定理逆定理的实际应用例题4．为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学校园里现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，．根据你所学过的知识，求四边形的面积．【答案】【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，先连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形，然后根据面积公式求出答案即可．【解析】如图所示，连接，根据勾股定理，得．∵，∴，∴（）．【变式4-1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？【答案】需要投入元【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形．仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接，在直角三角形中可求得的长，由、、的长度关系可得为一直角三角形，为斜边；由此看，四边形由和构成，则容易求解．【解析】解：连接，如图所示：在中，，在中，，而，即，∴为直角三角形，，，∴需要的投入为（元）．【变式4-2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）在学校组织的研学活动中，需要学生自己搭建帐篷．下图是搭建帐篷的示意图．在中，支架从帐篷顶点支撑在水平的支架上，且于点，经测量得：，，．按照要求，帐篷支架与所夹的角需为直角．请通过计算说明学生搭建的帐篷是否符合条件．【答案】学生搭建的帐篷符合条件，见解析【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；先根据勾股定理求得，，进而根据勾股定理的逆定理，即可求解．【解析】解：∵，∴．在中，，∴，∴．∴．在中，，∴，∴．∵，，∴；∴．∴学生搭建的帐篷符合条件．【变式4-3】（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，．(1)求小路的长；(2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？【答案】(1)(2)当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近．【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先运用勾股定理列式计算，即可作答．（2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出，最后结合运动速度，即可作答．【解析】（1）解：∵，，，∴在中，，∴小路的长为；（2）解：如图所示：过B作，

依题意，当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗淇淇的距离最近．∵，．，∴，即，∴，则，即，∴∵小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，∴，则当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近．一、单选题1．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（

）A．1，2， B．6，8，10 C．5，12，13 D．3，5，7【答案】D【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理逐项判断即可．【解析】解：A．，能组成直角三角形，不符合题意；B．，能组成直角三角形，不符合题意；C．，能组成直角三角形，不符合题意；D．，不能组成直角三角形，符合题意；故选：D．2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列线段能组成直角三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，判断线段能否组成直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．根据勾股定理的逆定理进行判断．【解析】A、，不能构成直角三角形，故本选项错误；B、，不能构成直角三角形，故本选项错误；C、，不能构成直角三角形，故本选项错误；D、，能构成直角三角形，故本选项正确；故选：D3．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）由下列条件不能判定为直角三角形的是（

）A．B．C．，，（k为正整数）D．，，【答案】D【分析】本题考查了直角三角形的判定，根据所给选项依次计算判断即可得；掌握勾股定理，三角形内角和是解题的关键．【解析】解：∵，，∴，∴为直角三角形；∵，∴，∴为直角三角形；∵，，（k为正整数）；∴，∴为直角三角形；∵，，∴∴为直角三角形；综上，选项D说法错误，符合题意；故选：D．二、填空题4．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，的三条边，，，，则．【答案】【分析】利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，后直角三角形的面积公式计算即可，本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．【解析】∵，，，且，∴，∴，∴，故答案为：．5．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知A，B，C是海上的三座小岛，岛B在岛A的北偏东方向上，距离为12海里，岛C在岛A的北偏东方向上，距离为13海里，岛B和岛C之间的距离为5海里，则岛B在岛C的北偏西方向上.【答案】【分析】本题主要考查了方向角、勾股定理的逆定理，平行线的性质，关键是根据勾股定理的逆定理得．先根据勾股定理的逆定理得，再根据方向角的定义和平行线的性质计算即可．【解析】解：如图，过点C作海里，海里，海里，，，，，，，∵，，岛在岛的北偏西方向上．故答案为：．6．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．（1）若班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为，，，则这块试验基地的面积为（2）八（2）班的劳动试验基地的三边长分别为，，（如图），则的面积为．【答案】【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用；（1）利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，进而求解即可；（2）过作交于点．设，则，利用勾股定理分别求得、、即可求解．【解析】（1）解：∵，∴该三角形为直角三角形，其中为斜边，∴这块试验基地的面积为，故答案为：；（2）解：过作交于点．设，则．在和中，由勾股定理得，解得，在中，由勾股定理得,∴．故答案为：．三、解答题7．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的