2024-2025学年人教版九年级(上)数学寒假作业（九）

第1页（共1页）2024-2025学年人教版九年级(上)数学寒假作业（九）一．选择题（共5小题）1．（2024秋•岳麓区校级月考）如图，已知抛物线y=-49x2+4与x轴交于A，BA．(0，78) B．（0，2） C．(02．（2024秋•凉州区月考）如图，点P是⊙O外任意一点，PM、N分别是⊙O的切线，M、N是切点．设OP与⊙O交于点K．则点K是△PMN的（）A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心3．（2024•海淀区）如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°；④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为23上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④4．（2024秋•新市区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CP，CM分别是AB上的高线和中线．如果⊙A是以点A为圆心，4为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（）A．点P，M均在⊙A内 B．点P，M均在⊙A外 C．点P在⊙A内，点M在⊙A外 D．以上选项都不正确5．（2024•凉山州模拟）下列说法正确的是（）A．方程x2+2x+3＝0的两根之和为﹣2 B．抛物线y＝﹣x2﹣2x﹣1可由y＝﹣x2向右平移1个单位得到 C．任意三点确定一个圆 D．三角形的内心到三角形各边的距离相等二．填空题（共5小题）6．（2024秋•凤台县月考）如图，O是△ABC的内心．（1）若∠A＝80°，则∠BOC的度数为；（2）若AB＝5，BC＝7，AC=42，则⊙O的半径为7．（2024秋•南岗区校级月考）如图，AB切⊙O于点A，BO交⊙O于点C，点D在⊙O上，∠ABO＝40°，则∠ADC的度数是．8．（2024秋•孝昌县期中）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为劣弧BC上一点，∠ADC＝60°，若CD＝2BD＝4，则四边形ABDC的面积为．9．（2024秋•邗江区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，D是AC上一点，E是BC上一点，DE＝3，若以DE为直径的圆交AB于M、N点，则MN的最大值为．10．（2024•凉山州）如图，⊙M的圆心为M（4，0），半径为2，P是直线y＝x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•婺城区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）．（1）在图中作出△ABC的外接圆圆心P（利用格点图确定圆心P的位置）；（2）△ABC的外接圆半径r为；位于圆上在第一象限的横纵坐标均为整数的点有个；（3）若在x轴的正半轴上有一点D（异与点C），且∠ADB＝∠ACB，则点D的坐标为．12．（2024秋•吉林期中）如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上，PC与半圆相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E，DC＝DE．（1）求证：OD⊥AB．（2）若半圆O的半径为8，且OA＝2OE，求DF的长．13．（2024秋•惠州月考）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°．（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；（2）若∠CDB＝60°，AB＝4，求BD的长．14．（2024秋•武威月考）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝α，点D，E分别在AB，BC上，线段DE绕点D顺时针旋转得到DF，其中旋转角∠EDF＝180°﹣2α，此时点F恰好落在AC上，过点D，E，F的圆交BC于点G，连接GF．（1）若α＝35°，求∠BGF的度数；（2）求证：BE＝GF．15．（2024秋•宝应县月考）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1）（1）该圆弧所在圆的圆心P的坐标为；（2）根据（1）中的条件填空：①⊙P的半径为；（结果保留根号）②点M（7，﹣1）在⊙P；（填“上”、“内”或“外”）③连接AP、CP，则∠APC的度数为．

2024-2025学年人教版九年级(上)数学寒假作业（九）参考答案与试题解析题号12345答案ACCCD一．选择题（共5小题）1．（2024秋•岳麓区校级月考）如图，已知抛物线y=-49x2+4与x轴交于A，BA．(0，78) B．（0，2） C．(0【考点】三角形的外接圆与外心；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【专题】二次函数图象及其性质；圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】A【分析】设△ABC的外心P的坐标为（0，h），根据二次函数图象与坐标轴的交点的坐标特征分别求出OA、OC，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：∵抛物线y=-49x2+4∴△ABC的外心在y轴上，设△ABC的外心P的坐标为（0，h），连接AP，对于二次函数y=-49x2+4，当x＝0时，y当y＝0时，x＝±3，则OC＝4，OA＝3，在Rt△AOP中，AP2＝OA2+OP2，即（4﹣h））2＝32+h2，解得：h=7∴△ABC的外心P的坐标为（0，78故选：A．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟记三角形的外心的概念、二次函数的性质是解题的关键．2．（2024秋•凉州区月考）如图，点P是⊙O外任意一点，PM、N分别是⊙O的切线，M、N是切点．设OP与⊙O交于点K．则点K是△PMN的（）A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心【考点】切线的性质；三角形的内切圆与内心．【专题】与圆有关的位置关系；应用意识．【答案】C【分析】连接OM、ON、MK、NK，证明点K是△PMN的角平分线交点，即可求解．【解答】解：连接OM、ON、MK、NK，由题意可得：∠OMP＝90°．∴∠OMK+∠PMK＝90°．∵OM＝OK，∴∠OKM＝∠OMK＝90°﹣∠PMK．∴∠MOK＝180°﹣∠OKM﹣∠OMK＝2∠PMK．∴∠PMK∵∠NMK∴∠PMK＝∠NMK．∵OP是∠MPN的平分线，∴K是△PMN的内心．故选：C．【点评】本题考查了切线的性质，三角形内心的定义，正确记忆相关知识点是解题关键．3．（2024•海淀区）如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°；④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为23上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】C【分析】根据圆的“半径三角形”的概念判断①②；根据圆周角定理、等腰三角形的概念判断③；根据垂径定理求出AH，根据勾股定理求出OH，求出△ABC的最大面积，判断④．【解答】解：如图，AB＝OA，即AB的长度等于半径，以AB为边的圆的内接三角形有无数个，∴一个圆的“半径三角形”有无数个，故①结论正确；∵OA＝OB＝AB，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，当点C在优弧AB上时，∠C＝30°，当点C在劣弧AB上时，∠C＝150°，当点C在圆上移动时，∠CAB可能是90°，∴一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，故②结论正确；由以上可知，∠C可以是30°或150°，当AC＝AB，∠C＝30°时，∠CAB＝180°﹣30°3﹣30°＝120°，∴当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°，故③结论正确；过点O作OH⊥AB于H，则AH＝HB=12AB＝∴OH=O当点C为优弧AB的中点时，△ABC的面积最大，最大面积为：12×2×（2+3）＝2+故选：C．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．4．（2024秋•新市区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CP，CM分别是AB上的高线和中线．如果⊙A是以点A为圆心，4为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（）A．点P，M均在⊙A内 B．点P，M均在⊙A外 C．点P在⊙A内，点M在⊙A外 D．以上选项都不正确【考点】点与圆的位置关系．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】C【分析】先利用勾股定理求得AB的长，再根据面积公式求出CP的长，根据勾股定理求出AP的长，根据中线的定义求出AM的长，然后由点P、M到A点的距离判断点P、M与圆A的位置关系即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=AC∵CP、CM分别是AB上的高和中线，∴12AB•CP=12AC•BC，AM=1∴CP＝4.8，∴AP=AC∵AP＝3.6＜4，AM＝5＞4，∴点P在圆A内、点M在圆A外，故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断即可．5．（2024•凉山州模拟）下列说法正确的是（）A．方程x2+2x+3＝0的两根之和为﹣2 B．抛物线y＝﹣x2﹣2x﹣1可由y＝﹣x2向右平移1个单位得到 C．任意三点确定一个圆 D．三角形的内心到三角形各边的距离相等【考点】三角形的内切圆与内心；根与系数的关系；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点；角平分线的性质；确定圆的条件．【专题】二次函数的应用；圆的有关概念及性质；推理能力；应用意识．【答案】D【分析】由根与系数的关系，二次函数的平移，确定圆的条件，三角形内心的性质依次判断可求解．【解答】解：A、方程x2+2x+3＝0中Δ＝22﹣4×3＝﹣8＜0，方程无解，原说法错误，不符合题意；B、抛物线y＝﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2可由y＝﹣x2向左平移1个单位得到，原说法错误，不符合题意；C、不在同一直线上的任意三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意；D、三角形的内心到三角形各边的距离相等，说法正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查根与系数的关系，二次函数的平移，确定圆的条件，三角形内心的性质等知识点，根据相关知识点逐个判断即可．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•凤台县月考）如图，O是△ABC的内心．（1）若∠A＝80°，则∠BOC的度数为130°；（2）若AB＝5，BC＝7，AC=42，则⊙O的半径为3【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】三角形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【答案】（1）130°；（2）3-【分析】（1）由∠BAC＝80°，求得∠ABC+∠ACB＝100°，因为O是△ABC的内心，所以∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，则∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（12∠ABC+（2）作AH⊥BC于点H，则AB2﹣BH2＝AC2﹣CH2＝AH2，所以52﹣BH2＝（42）2﹣（7﹣BH）2，求得BH＝3，则AH=AB2-BH2=4，设△ABC的内切圆⊙O的半径为r，⊙O与AB、BC、AC分别相切于点E、F、D，连接OE、OF、OD、OA，则S△ABC=12×5r+12×【解答】解：（1）∵∠BAC＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，∴12∠ABC+12∠ACB∵O是△ABC的内心，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC＝∠OBA=12∠ABC，∠OCB＝∠OCA=1∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°﹣50故答案为：130°．（2）作AH⊥BC于点H，则∠AHB＝∠AHC＝90°，∴AB2﹣BH2＝AC2﹣CH2＝AH2，∵AB＝5，BC＝7，AC＝42，∴52﹣BH2＝（42）2﹣（7﹣BH）2，解得BH＝3，∴AH=AB设△ABC的内切圆⊙O的半径为r，⊙O与AB、BC、AC分别相切于点E、F、D，连接OE、OF、OD、OA，∵OE⊥AB，OF⊥BC，OD⊥AC，且OE＝OF＝OD＝r，∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC=12AB•OE+12BC•OF+12AC•∴12×5r+12×7r+12×解得r=3-故答案为：3-【点评】此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形内角和定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．7．（2024秋•南岗区校级月考）如图，AB切⊙O于点A，BO交⊙O于点C，点D在⊙O上，∠ABO＝40°，则∠ADC的度数是25°．【考点】切线的性质；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．【答案】25°．【分析】连接OA．根据切线的性质可知∠OAB＝90°，从而可求出∠AOB＝50°．再根据圆周角定理即可求出∠ADC的度数．【解答】解：如图，连接OA．∵AB切⊙O于点A，∴∠OAB＝90°．∵∠ABO＝40°，∴∠AOB＝90°﹣40°＝50°，∴∠ADC故答案为：25°．【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理．连接常用的辅助线是解题关键．8．（2024秋•孝昌县期中）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为劣弧BC上一点，∠ADC＝60°，若CD＝2BD＝4，则四边形ABDC的面积为93．【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．【答案】93【分析】过点B作BE⊥CD的延长线于点E，先证明△ABC为等边三角形，再证明∠DBE＝30°，根据CD＝2BD＝4，可得BD＝2，所以DE=12BD=1，BE=3DE=3【解答】解：如图，过点B作BE⊥CD的延长线于点E，∵∠ABC＝∠ADC＝60°，又AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝∠ADC＝60°，∴∠BDC＝120°，∴∠BDE＝60°，∴∠DBE＝30°，∵CD＝2BD＝4，∴BD＝2，∴DE=∴BE=∴△BDC的面积=1在Rt△BEC中，BE=3，CE＝CD+DE＝4+1＝根据勾股定理得：BC2＝BE2+CE2＝3+25＝28，∴等边三角形ABC的面积=3∴四边形ABDC的面积＝△BDC的面积+等边三角形ABC的面积=23∴四边形ABDC的面积为93故答案为：93【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练运用圆周角定理，垂径定理．9．（2024秋•邗江区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，D是AC上一点，E是BC上一点，DE＝3，若以DE为直径的圆交AB于M、N点，则MN的最大值为125【考点】直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】125【分析】如图，作OH⊥AB于H，CK⊥AB于K，由题意MN=2MH=2OM2-【解答】解：如图，连接OM，OC，过点O作OH⊥AB于H，CK⊥AB于K，∵OH⊥MN，∴MH＝HN，∴MN=2∵∠DCE＝90°，OD＝OE=12DE∴OC=∴点O的运动轨迹是以C为圆心，32在Rt△ACB中，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，∵12∴CK=当C、O、H共线，且与CK重合时，OH的值最小，∴OH的最小值为125∴MN的最大值为2(故答案为：125【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、垂径定理、勾股定理以及轨迹等知识，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系．10．（2024•凉山州）如图，⊙M的圆心为M（4，0），半径为2，P是直线y＝x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为27．【考点】切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短；勾股定理．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】27．【分析】连接MP、MQ，根据切线的性质得到MQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ=PM2-4【解答】解：如图，连接MP、MQ，∵PQ是⊙M的切线，∴MQ⊥PQ，∴PQ=P当PM最小时，PQ最小，当MP⊥AB时，MP最小，直线y＝x+4与x轴的交点A的坐标为（﹣4，0），与y轴的交点B的坐标为（0，4），∴OA＝OB＝4，∴∠BAO＝45°，AM＝8，当MP⊥AB时，MP＝AM•sin∠BAO＝8×22=∴PQ的最小值为：(42)2故答案为：27．【点评】本题考查的是切线的性质、一次函数的图象和性质、垂线段最短，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•婺城区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）．（1）在图中作出△ABC的外接圆圆心P（利用格点图确定圆心P的位置）；（2）△ABC的外接圆半径r为29；位于圆上在第一象限的横纵坐标均为整数的点有4个；（3）若在x轴的正半轴上有一点D（异与点C），且∠ADB＝∠ACB，则点D的坐标为（7，0）．【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质；垂径定理；圆周角定理；点与圆的位置关系．【专题】平面直角坐标系；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【答案】（1）确定圆心P的位置见解答，P（5，5）；（2）29，4；（3）（7，0）．【分析】（1）取格点F及AB的中点E，连结BF、CF，作EP∥x轴，连结并延长OF交EP于点P，由A（0，7），B（0，3），得E（0，5），且EP垂直平分AB，而OF垂直平分BC，所以点P为△ABC的外接圆的圆心，且点P为格点，PE＝OE＝5，则P（5，5）；（2）作△ABC的外接圆⊙P，交x轴于点D，取格点H，连结PH、PA，求得r＝PA=AE2+PE2=29，D（7，0），由⊙P的四分之一圆上有2个横纵坐标均为整数的点，可知⊙P上横纵坐标均为整数的点共有8个，而A、B（3）连结AD、BD，则∠ADB＝∠ACB，由（2）得D（7，0），于是得到问题的答案．【解答】解：（1）取格点F及AB的中点E，连结BF、CF，作EP∥x轴，连结并延长OF交EP于点P，∵A（0，7），B（0，3），∴E（0，5），EP垂直平分AB，∵四边形OBFC是正方形，∴OF垂直平分BC，且OF为正方形的对角线，∴点P为△ABC的外接圆的圆心，且点P为格点，PE＝OE＝5，∴△ABC的外接圆的圆心P的坐标为（5，5）．（2）作△ABC的外接圆⊙P，交x轴于点D，取格点H，连结PH、PA，∵∠AEP＝90°，AE＝2，PE＝5，∴PA=A∴△ABC的外接圆半径r=29∵PH⊥CD，∴DH＝CH＝2，∵H（5，0），∴D（7，0），∵∠EPH＝90°，点B、点C为横纵坐标均为整数的点，∴⊙P的四分之一圆上有2个横纵坐标均为整数的点，∴⊙P上横纵坐标均为整数的点共有8个，∵A、B、C、D这4个点不属于第一象限的点，∴位于圆上在第一象限的横纵坐标均为整数的点有4个，故答案为：29，4．（3）连结AD、BD，则∠ADB＝∠ACB，由（2）得D（7，0），故答案为：（7，0）．【点评】此题重点考查坐标与图形性质、三角形的外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，正确地画出图形并且作出相应的辅助线是解题的关键．12．（2024秋•吉林期中）如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上，PC与半圆相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E，DC＝DE．（1）求证：OD⊥AB．（2）若半圆O的半径为8，且OA＝2OE，求DF的长．【考点】切线的性质；圆周角定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明见解答；（2）DF的长是2．【分析】（1）连接OC，则OC＝OA，所以∠OAC＝∠OCA，而DC＝DE，则∠OEA＝∠DEC＝∠DCE，由切线的性质得PC⊥OC，则∠BOD＝∠OEA+∠OAC＝∠DCE+∠OCA＝90°，所以OD⊥AB；（2）因为OA＝OF＝OC＝8，所以OA＝2OE＝8，则OE＝4，FE＝OF﹣OE＝4，所以DC＝DE＝DF+4，由勾股定理得82+（DF+4）2＝（DF+8）2，求得DF＝2．【解答】（1）证明：连接OC，则OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∵DC＝DE，∴∠DEC＝∠DCE，∴∠OEA＝∠DEC＝∠DCE，∵PC与⊙相切于点C，与OF的延长线相交于点D，∴PC⊥OC，∴∠BOD＝∠OEA+∠OAC＝∠DCE+∠OCA＝∠OCD＝90°，∴OD⊥AB．（2）解：∵⊙O的半径为8，∴OA＝OF＝OC＝8，∵OA＝2OE＝8，∴OE＝4，∴FE＝OF﹣OE＝8﹣4＝4，∴DC＝DE＝DF+4，∵OC2+DC2＝OD2，且OD＝DF+8，∴82+（DF+4）2＝（DF+8）2，解得DF＝2，∴DF的长是2．【点评】此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．13．（2024秋•惠州月考）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°．（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；（2）若∠CDB＝60°，AB＝4，求BD的长．【考点】直线与圆的位置关系；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．【答案】（1）相切，见解析；（2）23【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，等边对等角得到∠ODB＝∠ABD，角平分线得到∠ABD＝∠CBD，进而得到∠ODB＝∠CBD，推出OD∥BC，得到∠ODC＝180°﹣∠C＝90°，即可得出结论；（2）直径所对的圆周角为直角，得到∠ADB＝90°，易得∠ABD＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．【解答】解：（1）CD与⊙O相切，理由：连接OD，则OD＝OB，∴∠ABD＝∠ODB，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝180°﹣∠C＝180°﹣90°＝90°，∴OD⊥CD，∵OD是半径，∴CD与⊙O相切．（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠CDB＝60°，∠C＝90°，∴∠ABD＝∠CBD＝90°﹣∠CDB＝30°，在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，∴AD=∴BD=【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理，含30度角的直角三角形，掌握其性质定理是解决此题的关键．14．（2024秋•武威月考）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝α，点D，E分别在AB，BC上，线段DE绕点D顺时针旋转得到DF，其中旋转角∠EDF＝180°﹣2α，此时点F恰好落在AC上，过点D，E，F的圆交BC于点G，连接GF．（1）若α＝35°，求∠BGF的度数；（2）求证：BE＝GF．【考点】三角形的外接圆与外心；旋转的性质；圆周角定理．【专题】三角形；运算能力．【答案】（1）70°；（2）见解析．【分析】（1）先代入计算得到∠EDF＝110°，再利用圆内接四边形的性质即可求解；（2）利用圆内接四边形的性质以及等弦对等弧求得DE=DF，证得∠B＝∠FGD，再证明△BDE≌△GDF，据此即可证明BE＝【解答】（1）解：∵α＝35°，∴∠EDF＝（180﹣2×35）°＝110°，∴∠BGF＝180°﹣∠EDF＝70°；（2）证明：连接DG，∵∠EDF＝（180﹣2α）°，∴∠EGF＝180°﹣∠EDF＝2α，∵DE＝DF，∴DE=∴∠EGD∵∠B＝α，∴∠B＝∠FGD，∵∠GED+∠GFD＝180°，又∵∠GED+∠BED＝180°，∴∠GFD＝∠BED，在△BDE和△GDF中，∠GFD∴△BDE≌△GDF（AAS），∴BE＝GF．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确作出辅助线解决问题是解题的关键．15．（2024秋•宝应县月考）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1）（1）该圆弧所在圆的圆心P的坐标为（2，﹣1）；（2）根据（1）中的条件填空：①⊙P的半径为25；（结果保留根号）②点M（7，﹣1）在⊙P外；（填“上”、“内”或“外”）③连接AP、CP，则∠APC的度数为90°．【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】（1）（2，﹣1）（2）①25；②外；③90【分析】（1）可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，根据位置写出圆心坐标即可；（2）①利用勾股定理求出PA的长即可得到答案；②利用勾股定理求出点M到圆心的距离即可判断点和圆的位置关系；③利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明△APC是直角三角形，即∠APC＝90°即可得到答案．【解答】解：（1）作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示：（2）①由题意得，A（0，3），∵P（2，﹣1），∴PA=∴⊙P的半径为25故答案为：25②∵M（7，﹣1），P（2，﹣1），∴PM=5∴M（7，﹣1）在⊙P外，故答案为：外；③如图所示，连接PA、PC，AC，∵A（0，3），C（6，1），∴AC2＝（6﹣0）2+（1﹣3）2＝40，∵PA=∴PA∴△APC是直角三角形，即∠APC＝90°，故答案为：90°．【点评】本题主要考查了确定三角形外接圆圆心的位置，坐标与图形，勾股定理和勾股定理的逆定理，点和圆的位置关系，准确确定圆心是解答此题的关键．

考点卡片1．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=-（x1+x2（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．2．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．3．一次函数图象上点的坐标特征一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．4．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-b2a，4ac-b24a），对称轴直线x=-b2a，二次函数y＝①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-b2a时，y随x的增大而减小；x＞-b2a时，y随x的增大而增大；x②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-b2a时，y随x的增大而增大；x＞-b2a时，y随x的增大而减小；x③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|-b2a|个单位，再向上或向下平移|5．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-b2a①抛物线是关于对称轴x=-b2②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x6．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．7．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．8．垂线段最短（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．9．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE10．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．11．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．12．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．13．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．14．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都