第7章 振动学基础

第七章振动学基础◆本章学习目标1．掌握最简单的间谐振动的运动规律及能量分布特点；2．了解阻尼振动、受迫振动、共振现象；3．掌握振动的合成。◆本章教学内容间谐振动；初始条件及谐振子能量；阻尼振动和受迫振动及共振、间谐振动的合成。◆本章教学重点1．间谐振动的振动方程及其特征；2．谐振子的能量特点；3．间谐振动的合成。◆本章教学难点1．间谐振动的矢量图示法；2．阻尼振动、受迫振动、共振现象的运动特征；3．振动合成。

§7.1简谐振动机械振动：物体在一平衡位置附近作周期性的往返。机械振动的动力学特征是：物体所受的回复力和物体所具有的惯性力交替作用。一、弹簧振子简谐振动如图7-1所示，一个物体和一个轻弹簧连接，置于光滑杆面上，弹簧另一段固定，把物体拉离平衡后释放，由于受到弹簧弹性力的作用，物体就会做周期性的振动。由物体和弹簧构成的这个振动系统，称为弹簧振子。在垂直方向上，物体所受重力和杆所施的正压力保持平衡。在水平方向上，杆光滑，摩擦力可以忽略，物体仅受弹簧弹性力的作用，大小正比于弹簧离开平衡位置的距离，方向总指向平衡点。图7-1弹簧振子做间谐振动示意图在线性回复力作用下，质点在平衡位置附近做周期性的振动，称为简谐振动。弹簧振子是简谐振动的理想模型。图7-1弹簧振子做间谐振动示意图二、振动方程1．振幅、周期和频率振幅：在振动过程中，物体偏离平衡位置达到的最大距离。振动周期：从任何一点开始直到物体下一次又回到这一状态（位置、速度、加速度相同）所用的时间。用T表示。频率：单位时间振动的次数。有单位：赫兹（）或2．振动方程由牛顿第二定律推出简谐振动的振动方程。在振动过程中物体所受的弹性力为为劲度系数，只与弹簧本身的材料有关，其标量式为：设物体质量为，由牛顿第二定律，可得令，代入上式（7-1）即物体的加速度与它离开平衡位置的位移成正比，方向与位移相反，这是简谐振动的运动学方程，通常也把具有上式这种特征的振动称为简谐振动。，上式改写为（7-2）（7-1）和（7-2）两式是等同的，把（7-2）称为简谐振动的微分方程式，也可作为简谐振动的定义式。求解微分方程（7-2）得， （7-3）和为待定常数。这就是简谐振动的运动规律，称为简谐振动的表达式，简称振动方程。3．简谐振动的速度和加速度把物体的振动方程对时间求导，得其速度随时间的变化规律（7-4）对速度求导，得物体加速度（7-5）三、简谐振动的矢量图示法如图7-2，长度为A的矢量A，绕O点以角速度逆时针匀速转动。在时刻，矢量A位于点，和x轴的夹角等于初相位，在时刻t到达点，旋转矢量A和x轴夹角为。把旋转矢量A向x轴投影，则点在x轴上投影点P就在x轴上做简谐运动。因为OP=，图7-2间谐振动的矢量图示图7-2间谐振动的矢量图示这正是简谐振动方程式。质点做简谐振动的周期为又有可见、、三个量中，只有一个是独立的。对于质量为，劲度系数为的弹簧振子来说，由可得其振动周期为可见弹簧振子的振动周期只与系统本身的性质有关，与它的初始状态及振幅无关。

§7.2初始条件谐振子的能量一、初始条件对于给定的谐振子，其振动角频率有确定的值，因而其振动周期，振动频率就有确定的值。但其振幅，初相位必须有初始条件来决定。所谓初始条件，就是指初始时刻谐振子相对平衡位置的位移和初始速度。下面讨论初始条件与振幅,初相位的关系在时，由（7-4）和（7-5）式得（7-6）（7-7）消去，振幅恒为正，则有（7-8）将上式代入（7-6）或（7-8）式有(7-9)二、简谐振动的能量做简谐振动的系统不仅有动能，而且有势能。时刻弹簧振子的位移为，速度为，故时刻的动能为（7-10）取质点在平衡点势能为0，则弹性势能为将代入上式得（7-11）故时刻系统的机械能（亦即振动能）为（7-12）即简谐振动系统的机械能与振幅的平方成正比。在振动过程中，动能、势能不断相互转化，其和恒定不变，服从机械能守恒定律。总之，任一简谐振动都有三个不可缺少的物理量。由振动系统的力学性质决定，由振动能量决定，由初始位置决定。当已知时，和可由初始条件决定。

§7.3阻尼振动受迫振动共振一、阻尼振动简谐振动是理想化的振动形式，作简谐振动的系统在振动过程中所受的和外力为零，系统只受弹性内力的作用，它是一种等幅振动。事实上，阻力不可避免，系统抵抗阻力做功，其总能量不断减小，振幅总是在逐渐减小，直到最终为零，这种振动，称为阻尼振动。实验结果表明，阻力和成正比而方向相反。 称为阻力系数，与物体的大小和周围媒质的性质有关。设振动质点质量为，在弹性力和阻力的作用下运动，加速度为，根据牛顿第二定律得令（7-13）和都是恒量，称为阻尼因数，表示无阻尼时的固有频率，则（7-14）上式就是阻尼振动的运动微分方程。在阻尼比较小（，如空气中振动的单摆）的情况下，用数学方法可以求出（7-14）的解，即图7-3阻尼振动中位移对时间曲线（7-15）图7-3阻尼振动中位移对时间曲线上式中A和是待定常数，由初始条件决定；为阻尼振动的圆频率。以为纵坐标，以为横坐标，图7-3画出了（7-14）式阻尼振动中物体位移随时间的变化规律，很明显，振幅随时间的流逝在不断减小而趋向于零。从（7-15）式得因此阻尼振动的振幅以指数规律随时间衰减，如果仍把位相变化所经历的时间叫做周期，则从（7-15）式可知阻尼振动的周期为由于存在，阻尼振动的周期要比无阻尼振动的周期大，可以说，由于有阻尼振动减慢了。二、受迫振动共振振动系统在周期性外力作用下发生的振动称为受迫振动。这种周期性外力称为强迫力。假设系统在x方向振动，考虑一种在x方向最简单的周期性强迫力，为力幅，表示强迫力的最大值，强迫力的圆频率，现在，系统受到弹性内力，阻力，强迫力的作用，由牛顿第二定律，质量为的质点强迫振动的微分方成为：令，利用（7-13）式，则上式可简化成（7-16）此式的解为（7-17）此解表示，受迫振动可以分成两个部分：第一部分表示振动系统中的阻尼振动，因为阻尼振动以指数规律迅速衰减为零，所以，这一部分只在振动初期能够表现出来；第二部分是稳定的，只要强迫力继续作用，系统就继续做这个振动，其振幅和频率就由它来决定，因而第二部分最重要。有一上分析知，受迫振动由一个从最初比较复杂的非稳定到后来的稳定震动过程，当然，一旦强迫力取消，系统又回到阻尼振动的形式直到振动停止。稳定的受迫振动是一个和简谐振动同形的等幅振动，其振动频率为强迫力的频率，振幅A由下式决定 （7-18）图7-4受迫振动振幅和外力频率的关系可见，它与系统本身、阻尼力、强迫力三方面的因素有关，（7-17）式中的表示受迫振动的稳定部分的初相位。图7-4受迫振动振幅和外力频率的关系如图7-4，，受迫振动系统达到稳定振动时的振幅A，其它因素不变，将随强迫力的频率p变化，并且会有一个极大值，这时，系统发生了共振。一般情况下，使系统发生共振的强迫力频率和系统的固有频率很接近。

§7.4同方向简谐振动的合成拍一、同方向同频率的简谐振动的合成设一质点同时参与两个振动方向都在轴的简谐振动，这两个简谐振动的频率相同，振幅和初相位分别是及，则它们各自引起质点在轴上的位移为则质点的合位移为上式可以写成式中的和值分别为由此可见，两个同方向、同频率简谐振动合成后还是一个简谐振动，频率保持不变，振幅和初相位由原来分振动的振幅和初相位决定。图7-5两同方向、同频率间谐振动合成的旋转矢量示意图用旋转矢量图示法也可直观的表示简谐振动的合成，如图所示，矢量以同一速度逆时针旋转，它们在轴上的投影和分别表示两个分振动，通过矢量合成后的合矢量也以角速度逆时针旋转，该矢量在坐标轴上的投影图7-5两同方向、同频率间谐振动合成的旋转矢量示意图和可通过图中几何关系求解。特例：（1）两分振动同相位，即即合振动的振幅等于两分振动振幅之和。合振动达到最大。（2）两分振动反相位，即合振幅等两个分振幅之差，其值达到最小。营企业上述结果说明，两个分振动的初相位差对合振动起着重要作用。二、同方向不同频率的间谐振动的合成拍两个同方向间谐振动在合成时，由于频率的微小差别而造成的合振动振幅时而加强，时而减弱的现象称为拍。合振动在单位时间内加强或减弱的次数称为拍频。假设两个分振动的频率分别为

§7.5相互垂直的间谐振动的合成一、相互垂直的简谐振动的合成设两个同频率间谐振动分别在X和Y轴上振动，振动的位移方程分别为消去，得到质点运动的轨迹方程二、相互垂直的简谐振动的几种特殊情况1．两间谐振动同相位，即，轨迹方程变为此时，质点的轨迹是一条过原点的直线，斜率等于两个分振动振幅之比如图7-6（a）。在任一时刻t，质点离开平衡位移的位移所以，合振动也是间谐振动，角频率和原来的相同，振幅为。2．两间谐振动反相位，即，质点在另一条直线上做振幅也为的间谐振动。如图7-6（b）所示。3．，这时轨迹方程为如图7-6（c）所示，箭头表示质点运动方向。4．，轨迹如图7-6(d)所示，轨迹与上例相同，但质点运动方向与之相反。图7-6两个相互垂直同频率间谐振动的合成