2025高考数学一轮复习-第3章-第2节 导数与函数的单调性（一）【课件】

第三章一元函数的导数及其应用第2节导数与函数的单调性(一)1.借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时分层精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE1.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)＞0f(x)在(a，b)上__________f′(x)＜0f(x)在(a，b)上__________f′(x)＝0f(x)在(a，b)上是__________单调递增单调递减常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的________；第2步，求出导函数f′(x)的______；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.定义域零点1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立.2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＜0有解.常用结论与微点提醒1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.(

)(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根为有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.(

)(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)＞0，则f(x)在定义域上一定单调递增.(

)(4)函数f(x)＝x－sinx在R上是增函数.(

)×√解析(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.×√2.(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(

)CD解析由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(－∞，c)上单调递增，因为a＜b＜c，所以f(c)＞f(b)＞f(a).当x∈(c，e)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(c，e)上单调递减，因为c＜d＜e，所以f(c)＞f(d)＞f(e).A.f(b)＞f(c)＞f(d) B.f(b)＞f(a)＞f(e)C.f(c)＞f(b)＞f(a) D.f(c)＞f(d)＞f(e)

3.(选修二P97T2改编)函数f(x)＝x3＋2x2－4x的单调递增区间是

____________________________.4.(选修二P89练习T2改编)若函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是________.[－3，0]解析f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，所以4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0.考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一利用导函数的图象研究函数的单调性例1(1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是(

)D解析由f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上为单调递减函数，故x∈(－∞，0)时,f′(x)＜0，故排除A，C；当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以f′(x)的值是先正，再负，最后是正，因此排除B，故选D.(2)f′(x)是f(x)的导函数，若函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能是(

)C解析由y＝f′(x)的图象可得：在(－∞，b)上f′(x)≥0，在(b，＋∞)上f′(x)＜0，根据原函数图象与导函数图象的关系可得：y＝f(x)在(－∞，b)上单调递增，在(b，＋∞)上单调递减，可排除A，D，且在x＝0处，f′(x)＝0，即在x＝0处，y＝f(x)的切线的斜率为0，可排除B，故选C.感悟提升由原函数图象识别导函数图象的依据：若f(x)单调递增，则f′(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则f′(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f′(x)＝0；由导函数图象识别原函数图象的依据：根据f′(x)＞0，则f(x)单调递增，f′(x)＜0，则f(x)单调递减.训练1(1)设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(

)C解析由f(x)的图象知：当x∈(－∞，1)时，f(x)单调递减，f′(x)＜0，当x∈(1，4)时，f(x)单调递增，f′(x)＞0，当x∈(4，＋∞)时，f(x)单调递减，f′(x)＜0，由选项各图知：选项C符合题意，故选C.(2)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的(

)D解析由题意可知，当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，导函数f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈(0，2)时，导函数f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，由选项可知图象D符合.考点二不含参函数的单调性例2(1)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(

)A.f(x)＝sin2x B.f(x)＝xex C.f(x)＝x3－x D.f(x)＝－x＋lnxB对于B，f′(x)＝(x＋1)ex＞0，符合题意；(1，＋∞)φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，∴当x∈(0，1)时，φ(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)＜0，∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.感悟提升确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.训练2已知定义在区间[0，π]上的函数f(x)＝x＋2cosx，判断函数f(x)的单调性.解f′(x)＝1－2sinx，x∈[0，π]，考点三含参函数的单调性此时函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；当a＝2时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；感悟提升若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.训练3(2021·全国乙卷节选)讨论函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1的单调性.解由题意知f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－2x＋a，对于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a).令f′(x)>0，则x<x1或x>x2；令f′(x)<0，则x1<x<x2.所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减.课时分层精练3KESHIFENCENGJINGLIAN1.函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上是(

)A.增函数 B.减函数

C.先增后减 D.不确定A解析∵f(x)＝2x－sinx，∴f′(x)＝2－cosx>0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数.2.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(

)D解析f′(x)>0的解集对应y＝f(x)的单调递增区间，f′(x)<0的解集对应y＝f(x)的单调递减区间，验证只有D符合.DDC当0＜x＜e时f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，当x＞e时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，排除D.6.函数f(x)＝2x3－ax＋6的一个单调递增区间为[1，＋∞)，则减区间是(

)A.(－∞，0) B.(－1，1) C.(0，1) D.(－∞，1)，(0，1)B解析函数f(x)＝2x3－ax＋6，则f′(x)＝6x2－a，当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)在其定义域内单调递增.∴x∈(－1，1)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减.7.已知定义在(0，3]上的函数f(x)的图象如图，则不等式f′(x)＜0的解集为(

)B解析观察图象可得函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，2)上单调递减，在区间(2，3]上单调递增，所以不等式f′(x)＜0的解集为(1，2)，故选B.8.已知函数f(x)满足下列条件：①f(x)的导函数f′(x)为偶函数；②f(x)在区间(－∞，

－2)，(2，＋∞)上单调递增，则f(x)的一个解析式为f(x)＝________________. (答案不唯一)解析因为f(x)在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，所以当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f′(x)＞0.又f(x)的导函数f′(x)为偶函数，所以令f′(x)＝x2－4，满足题意，9.函数f(x)＝(x－1)ex－x2的单调递增区间为_______________________，单调递减区间为____________.(－∞，0)，(ln2，＋∞)(0，ln2)解析f′(x)＝xex－2x＝x(ex－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝ln2，当x∈(－∞，0)∪(ln2，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(0，ln2)时，f′(x)＜0.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(ln2，＋∞)，单调递减区间为(0，ln2).-2解析f′(x)＝x2＋2mx＋n，由f(x)的单调递减区间是(－3，1)，得f′(x)＜0的解集为(－3，1)，则－3，1是f′(x)＝0的解，∴－2m＝－3＋1＝－2，n＝1×(－3)＝－3，可得m＝1，n＝－3，故m＋n＝－2.所以k＝1.(2)求函数f(x)的单调区间.所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减.由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>0，所以f′(x)>0；当x>1时，h(x)<0，所以f′(x)<0.综上，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).解由题意，f(x)的定义域为(0，＋∞)