2023初一数学-第一章-有理数教学案

第一章有理数

授课老师：授课时间：2023年月日星期

姓名年级学校总课时____第一次课

教学

有理数章节复习

课题

教学1.正数和负数，有理数的概念与分类，数轴、相反数与肯定值。

目标2.有理数的运算，科学记数法。

难点

有理数的分类，数轴、相反数与肯定值；有理数的运算，科学记数法。

重点

课前

作业完成状况：优口良口中口差口

检查

学问点总结

考点一、正数和负数

1、定义

正数：以前学过的除0以外的数（或在其前面加上正号"+”）.

负数：以前学过的除0以外的数前面加上负号“一”.

▲留意：0,但.

0可以表示没有，还可以表示一个确定的量，如今日气温是0℃,是指一个确定的温度；

海拔0加表示海平面的平均高度.

2.通常在日常生活中用正数和负数表示的量。

留意：用正，负数表示实际问题中具有相反意义的量，而相反意义的量包含两个要素：一是它

们的意义相反，如向东与向西，收人与支出；二是它们都是数量，而且是同类的量.

3.用正负数表示加工允许误差。

基础练习

1.下列说法正确的是（）

A.零是正数不是负数B.零既不是正数也不是负数

C.零既是正数也是负数D.不是正数的数肯定是负数，不是负数的数肯定是正数

2.向东行进-30米表示的意义是（）

A.向东行进30米B.向东行进-30米

C.向西行进30米D.向西行进-30米

3.假如水位上升5m时水位变更记作+5m,那么水位下降3m时水位变更记作m,水位不升

不降时水位变更记作—m0

4.我市某天最高气温是21℃,最低气温是零下3℃,那么当天的最大温差是℃.

5.某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃,由此可知在C至℃范围内保

存才合适。

考点2、有理数

1、定义：

正整数、零和负整数统称整数，正分数、负分数统称分数，整数和分数统称为有理数.

2.分类

有理数有理数

的%正有理数

整数<----------

<-----«零

分数!负有理数一―

3.数集:把一些数放在一起就组成了一个数的集合。全部的有理数组成的数集叫做有理数集.

▲集合里肯定不要遗忘写。

基础练习

1、下列不是正有理数的是（）

7

A、-3.14B、0C>-D、3

3

2、下列说法正确的是（)

A、正数、0、负数统称为有理数B、分数和整数统称为有理数

C、正有理数、负有理.数统称为有理数D.、以上都不对

3、“-a”肯定是（J

A、正数B、负数C、正数或负数D、正数或零或负数

4、推断

1）.自然数是整数.（）

2）.有理数只有正数和负数.（）

3）.正整数包括零和自然数.（）

4）.任何分数都是有理数.（）

5、把下列各数分别填入相应的大括号内：

1314

-7,3.5-3.1415,0,—,0.03-3—,10,——

1722

自然数集合{…};

整数集合{…};

正分数集合{…};

，非正数集合{…};

留意：数集一般用圆圈或大括号表示，因为集合中的数是无限的，而本题中只填了所给的几个

数，所以应当加上省略号.

考点3、数轴、相反数、肯定值

1、数轴

。）数轴的定义：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

（2）数轴的三要素：、、。

2、相反数

（1）只有不同的两个数叫做互为相反数。

（2）一般地，a的相反数是,0的相反数是o

（3）相反数的性质：互为相反数的两数o

一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点左右,

表示-a和a,那么称这两个点关于原点对称，如下图：

--■----■--•-•----•-A

-a-202a

留意：若两个数只有符号不同，那么这两个数叫做互为相反数；若两个数的乘积等于1,则这

两个数叫互为倒数.任何有理数都有相反数，回零的相反数是零，而零没有倒数.

3、肯定值

（1）定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的叫做数a的肯定值.记作|a|.

这里的数a可以是正数、负数和0.

（2）正数的肯定值是,负数的肯定值是，0的肯定值是。

我们用a表示随意一个有理数，则可以表示为：

①当a是正数时，|a|=；

②当a是负数时，|a|=；

③当a=O时，|a|=.

【思索】（1）任何一个有理数都有肯定值吗？一个数的肯定值有几个？

（2）有没有一个数的肯定值等于-2?任何一个数的肯定值肯定是怎样的数？

（3）肯定值等于2的数有几个？它们是什么？

【总结】①任何有理数都有唯一的肯定值，随意一个数的肯定值总是正数或0,不行能是负

数，即对随意有理数a,总有|a|20.

②两个互为相反数的肯定值相等，即Ia|二|-a|.

③因为。的肯定值是0,而0的相反数是它本身0,因此可知肯定值等于它本身的数是正

数或者零，肯定值等于它的相反数的数是负数或零.

（3）肯定值的性质:

①有理数的肯定值是一个非负数，即最小的肯定值是零；

②两个互为相反数的肯定值相等，即Ia|=|-a|.

③任何有理数都不大于它的肯定值，即|a||a|2-a.

④若|a|=|b|,则a=b,或a=-b或a=b=O.

(4)两个数比较大小的方法：

依据有理数在数轴上对应的点的位置干脆比较，数轴上的数从左到右是渐渐

①异号两数比较大小：正数0,0负数，正数负数;

②同号两数比较大小：两个负数，肯定值大的。

【基础练习】

L下面的各图是不是数轴？为什么？

2.化简下列各数.

2

-(-30),-(+3),-(-38.2),+(-5),+(+£).

7

3.指出下列各对数，哪些是相等的数？哪些是互为相反数？

+(-3)与一3,-(+3)与3,-(-7—)与-7’.

22

4.假如a=-a,那么表示a的点在数轴上的什么位置？

5.已知x与y互为相反数，且y=-(+2),求代数式的值.

6.(1)|+2|=____,|-

5

(2)|-12|=_______,|-20.8|=_______,|-32y

7.与人互为相反数的是()

A.—(a—b)B.b-\-ciC.—ci—bD.-(a+b)

8.一4的倒数的相反数是()

A--4B.4C.--D.1

44

9.下列说法不正确的是()

A.全部的有理数都有相反数

B.正数与负数互为相反数

C.在一个数的前面添上“一”，就得到它的相反数.

D.在数轴上到原点距离相等的两个点所表示的数是互为相反数

10.下列说法错误的是()

A一个正数的肯定值肯定是正数B一个负数的肯定值肯定是正数

C任何数的肯定值肯定是正数D任何数的肯定值都不是负数

11.设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是肯定值最小的有理数，则a+b+c等于

()

A-1B0C1D2

12.比较下列各对数的大小：

oa1

(1)-(-1)和一(+2)；(2)--和一一；(3)-(-0.3)和|--|.

2173

13.右Ia|-a，则a

14.若|x+3|+|y—4|=0,则x+y=。

16.在数轴上与表示数T的点的距离为3个单位长度的点所表示的数是

拓展提高：

17.假如a,b互为相反数，c,d互为倒数，m的肯定值为2,

求式子a+0+m—cd的值。

a+b+c

18.已知a>0,b<0且|b|>|a|,比较a,-a,b,-b的大小.

19.工厂生产的乒乓球超过标准重量的克数记作正数，低于标准重量的克数记作负数，现对5

个乒乓球称重状况如下表所示，分析下表，依据肯定值的定义推断哪个球的重量最接近标准？

代号ABCDE

超标0.01-0.02-0.010.04—0.03

状况

20.己知，在数轴上，点A到原点的距离为3,点B到原点的距离为5.

(1)求点A表示的数；

(2)求点B表示的数；

(3)利用数轴求A、B两点间的距离为多少？画数轴说明.

答案：(1)3或-3(2)5或-5

21.如图.A、B、C三点在数轴上，A表示的数为TO,B表示的数为14,点C在点A与点B

之间，且AOBC.

(1)求A、B两点间的距离；

(2)求C点对应的数；

(3)甲、乙分别从A、B两点同时相向运动，甲的速度是1个单位长度/s,乙的速度是2个

单位长度/s,求相遇点D对应的数.

答案：(1)24

(2)2

(3)-2

解析：

解答：⑴A、B两点之间的距离为:14-的距)=10+10=24;

(2)设点C对应的点是x,则x-(-10)=14-x解得x=2;

(3)设相遇时间为t秒,则t+2t=24,解得t=8.

【补充：】

一、数形结合思想一一数轴上的动点问题

方法解读：中学数学探讨的对象可分为数和形两大部分，所谓数形结合是指利用数量关系来

探讨图形特征，利用图形特征来探讨数量关系，借助数与形的相互转化来探讨和解决问题.

数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于对这类问题的分析，先明确

以下3个问题：

1.数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的肯定值，也即用右边的数减去左边

的数的差。即数轴上两点间的距离二右边点表示的数一左边点表示的数。

2.点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，

而向左运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以干脆得到运动

后点的坐标。即一个点表示的数为a,向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个

单位后所表示的数为a+bo

3.数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形

成的路径可看作数轴上线段的和差关系。

例题如图.A、B、C三点在数轴上，A表示的数为TO,B表示的数为14,点C在点A与点B

之间，且AC=BC.

(1)求A、B两点间的距离；一"工0L

(2)求C点对应的数；

(3)甲、乙分别从A、B两点同时相向运动，甲的速度是1个单位长度/s,乙的速度是2个

单位长度/s,求相遇点D对应的数.

练习1己知数轴上两点A、B对应的数分别为一1,3,点P为数轴上一动点，其对应的数为X。

⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；

⑵数轴上是否存在点P,使点P到点A、点B的距离之和为5?若存在，恳求出x的值。若不

存在，请说明理由？

⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从0点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左

运动，点B一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时动身，几分钟后P点到点A、点B

的距离相等？

练习2.己知，数轴上点A在原点左边，到原点的距离为8个单位长度，点B在原点的右边，

从点A走到点B,要经过32个单位长度.

(1)求A、B两点所对应的数；

(2)若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍，求点C对应的

数；

(3)已知，点M从点A向右动身，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向右动身，速

度为每秒2个单位长度，设线段NO的中点为P,线段PO-AM的值是否变更？若不变求其值.

二、分类探讨思想

方法解读：分类探讨思想，就是当问题所给的对象不能进行统一探讨时，就须要把探讨对象按

某个标准进行分类，然后对每一类分别探讨得出结论，最终综合各类结果得到整个问题的答案.

在本章中已知一个数的肯定值，要求进行有关的计算，往往须要分类探讨.

例题：若如6互为相反数，c,d互为倒数，勿的肯定值是3,〃在有理数里既不是正

数也不是负数，求

X»X2016

\—j4-/w3—Ccd)2017+nCab+cd)的值.

考点4、有理数的运算

1、有理数的加法

(1)K法则1同号两数相加，;

肯定值不相等的异号两数相加,，并用

互为相反的两个数相加得；一个数同0相加,.

(2)有理数加法的运算律：

加法的交换律：;加法的结合律：

简便运算的基本思路：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；

把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加.

2、有理数的减法

(1)有理数减法法则：减去一个数等于.即：.

(2)有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算。

3、有理数的乘法

(1)法则：两个有理数相乘，同号得,异号得，并把肯定值；

任何数与0相乘都得.

(2)乘法运算律：交换律：；结合律：；交换律：.

(3)倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab=l。

4、有理数的除法

法则：除以一个数，等于乘上这个数的,不能做除数.

两个数相除，同号得正，异号得负，并把肯定值相除，

0除以任何一个不等于0的数都等于0.

5、有理数的乘方

(1)定义：求几个相同因数a的运算叫做乘方，乘方是几个相同的因数的特别乘法运算，记

为“优”。其中a叫做,表示相同的因数，n叫做,表示相同因数的个数，它所

表示的意义是n个a相乘，乘方的结果叫做.

(2)正数的任何非零次幕都是,0的任何非零次基都是.

负数的偶数次方是,负数的奇数次方是,

6、有理数的混合运算

(1)有理数的混合运算，应按以下运算依次进行：

1.先乘方，再乘除，最终加减；

2.同级运算，从左往右进行；

3.假如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.

（2）进行有理数的混合运算时，应留意：一是要留意运算依次，先算高一级的运算，再算低

一级的运算；二是要留意视察，敏捷运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算实力.

【基础练习】

1.计算.

(1)(-8)+(-6)；(2)(-8)-(-6)；(3)-4.2+5.7-8.4+10

(4)_32_(-2)2(5)—I4一3),(6)(一盘一

(7)(-20)+(+3)・(-5)-(+7).(8)-2.54--X(-1)

84

1341

(9)3X(-2)3-4X(-3)2+8(10)

2、对随意实数a,下列各式肯定不成立的是（）

A、a2=（-a）2B、a3=（-a）3C、|«|=|-6/|D、a2>0

3、假如a+b（匕。0）的商是负数，那么（）

A、a力异号B、。/同为正数C、a力同为负数D、同号

4.50个有理数相乘的积为0,那么（）

A.每一个因数都是0B.每一个因数都不为0

C.最多有一个因数不为0D.至少有一个因数为0

5.已知。的，。三个数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）

cb0a

A..ac>abB.ab<beC..be<abD.c+b>a+b

答案：B

6、已知两个有理数a,b,假如abVO,且a+bVO,那么（）

A、a>0,b>0B、a<0,b>0C>a,b异号D、a,b异号，且负数的肯定值较大

7.四个互不相等的整数的积为9,则它们的和为（）

A.0B.8C.4D.不能确定

答案：A

解析：因为9=3x3=lx9,若9=3x3,那么这四个数分别为3,3,-3,-3与四个不相等的数相冲

突；若9=1x9,那么这四个数分别为1,9,.9与题意相符，且它们的和为0.

8、若炉=9,则x得值是；若〃3=一8,则。得值是.

9.（1）肯定值小于4的全部整数的和是______；

（N）肯定值大于2且小于5的全部负整数的和是_______o

10.若时=3,切=2,则|々+4=______o

11.对于有理数a、Z?定义一种运算：a*b=2a-b,则（-2）*3+1=.

12.己知时=1也=2,同=3,且a>b>c,求a+b+c的值。

13.若lVaV3,求|1—4+|3-4的值。

【拓展提高】

L计算:

2111

(1)(-4-)+(-3-)+6-4-(-2-)(2)(-l),0x22+(-2)3-r2

3324

31I

(5)-0.52+--I-22-4|-(-I-)3x-；

41।29

(6).(+1)+(—2)+(+3)+(-4)+…+(+99)+(-100)

(7)(-2)3+(-3)x[(-4)2+2]—(-3)2+(-2).

2.五个有理数的积为负数，则这五个数中正因数的个数是（）

A.2个B.1,3或5C.0,2或4D.无法确定

3、若|租_/1|=〃_m忸=4,网=3,则=____o

4.已知R+y<0,x-y<0且孙<0,贝ijx0（填“>〃"<〃〃=〃符号）.

答案：<

5.若同=1,忖=4,且abvO,求a+b的值.

答案:±3

6.已知|x+2|+|y_3|=0，求一3y+4外的值.

23

答案：24

考点5、科学记数法

1.把一个大于10的数表示成axion的形式，其中a团是整数数位只有一位的数（14a<10）,n是

正整数，n等于原整数的位数减去_1,这种记数方法叫科学记数法.

（1）用科学记数法表示数只是变更数的形式，而没有变更数的大小；

（2）负数用科学记数法表示时和正数一样，区分就是前面多一个“一”；

（3）当把一个用科学记数法表示的数还原为原数时，只需将小数点向右移动n位（不足的数

位用。补齐），并把10”去掉。

2.精确数和近似数

概念示例

精确数准确地反映了实际的数我们学校有3个年级，约270

人.其中3是一个精确数，270是

一个近似数学问解读在推断精确

与实际数接近，但有差数时，许多状况下都要依靠实际

近似数

别的数生活阅历

有关近似数的几点说明：

近似数不是错误数，它在现实生活中大量存在.近似数产生的缘由一般有三种:

第一，测量得到的数都是近似数；

其次，“计算”产生的近似数，如除不尽，有圆周率兀参与计算的结果等；

第三，不简单或不必要得到精确数时，可以运用近似数.

3.依据精确度取近似数

叙述

近似数的近似数与精确数的接近程度，可用精确度表示.一个近似数四

精确度舍五人到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

（1）精确度的语言表达：精确到某一位.精确到小数点后其次

位、精确到百分位与精确到0.01这三种说法含义一样.

学问解读

（2）依据精确度确定的近似数的末位数字假如是0,不能随意

去掉，如L8和L80的精确度不同，1.8是精确到0.1,而

1.80是精确到0.01.

（1）确定一个近似数的精确度的方法：一个近似数的最终一个数字所在的数位便是该近

似数精确到的数位；

（2）依据精确度求一个近似数的方法：先分析题目要求的精确度是哪一位，再对这个数

位的下一数位上的数字进行四舍五入.

【基础练习】

1•将0.36X45X105的计算结果用科学记数法来表示，正确的是（B）

A-16.2X105B.1.62X106

C-16.2X106D.16.2X100000

2•1纳米相当于1根头发丝直径的六万分之一，用科学记数法表示头发丝的半径是（D）

A-6X103纳米B.6X10,纳米

。・3义1（）3纳米D.3X104纳米

3.李飞的身高经测量约1.71米，若李飞的实际身高记为x,则他的实际身高范围为（)

A.1.7WxW1.8B.1.705<x<l.715

C.1.705^x<1.715D.1.705^x^1.715

4.资阳市2023年财政收入取得重大突破，地方公共财政收入用四舍五入法取近似值后为27.39

亿元，那么27.39亿()

A.精确到亿位B.精确到百分位

C.精确到千万位D.精确到百万位

5.用科学记数法表示下列各数：

(1)1000000=1X106；

(2)57000000=5.7XI07；

(3)-123000000000=-L23X1011

6.下列用科学记数法表示的数，原数各是什么？

(1)1X106；(2)3.14X103；(3)-1.732X107.

7.下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？

(1)0.025；(2)0.4040；(3)1.8；(4)1.80；

(5)10.3万；⑹1.60X10"；(7)10亿

解：(1)千分位.(2)万分位.(3)非常位.(4)百分位.(5)千位.(6)百位.(7)亿位.

.精确度的一般表示形式是精确到哪一位.

留意：当近似数后有单位时，确定精确度时简单出现错误

eg.近似数0.0043万精确到一个_位.

8.比较用科学记数法表示的数的大小

把9.99X1()9,1.01x101°,9.9X109,LIX10/用“<”连接起来.

9.9X109<9.99X109<l.01X1010<l.1X1010.

方法点拨

比较用科学记数法表示的两个数防与GX10”2192<10,小，〃2均为

正整数)的大小时，关键是看小与〃2的大小：

当n\>m(或〃i<〃2)时，可知tzixl0,,1>«2X10/,2(或6iixl0wI<d2X10w2)；

9.一辆卡车最多能装4t沙子，现有沙子77t,至少须要多少辆这样的卡车才能一次运完这些

沙子？

10.光在真空中的传播速度约为3X105km/s（即每秒3X105km）,天文学上常用光年作距离

的单位，光年就是光在1年（按365天计算）内在真空中走过的路程，1光年约等于多少千米？

（用科学记数法表示）

解：1年二365X24X3600（s）,

365X24X3600X3X105=9.4608X1012（km）.

答：1光年约等于9.4608X1012km.

E综合检测』

L汽车从A地动身向南行驶了48千米后到达B地，又从B地向北行驶20千米到达C地，则

A地与C地的距离是（）

A.68千米B.28千米C.48千米D.20千米

2.假如x+）=0,那么x,y两个数肯定是（）

A*=）=0B.一正一负C.x与），互为相反数D.x与y互为倒数

答案：C

分析：互为相反数的两个数和为0,反之和为0的两个数互为相反数.

3.假如一个数的相反数是负数，那么这个数肯定是（）

A.正数B.负数C,零D.正数、负数、零都有可能

答案：A

4.下列说法错误的是（）

A.假如相那么一根〈一〃

B.假如-。是正数，那么。是负数

C.假如％是大于1的数，那么-不是小于一1的数

D.一个数的相反数不是正数就是负数

答案：D

5.下列说法正确的是（）

A.两个数的和为零，则它们互为相反数B,负数的倒数肯定比原数大

C.冗的相反数是一3.14D.原数肯定比它的相反数小

答案：A

6.下列说法错误的个数是（）

<1）肯定值是它本身的数有两个，是0和1

（2）任何有理数的肯定值都不是负数

（3）一个有理数的肯定值必为正数

（4）肯定值等于相反数的数肯定是非负数

A3B2C1D0

7.一个数在数轴上所对应的点向左移8个单位后，得到它的相反数的点，则这个数是

（）

A4B—4C8D—8

8.据统计，2023年义乌中国小商品城市场全年成交额约为348.4亿元，连续第17次蝉联全国

批发市场榜首.近似数348.4亿元的有效数字的个数是（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

中国提倡的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，依据规划，“一带一路”地

区覆盖总人口约为4400000000人，将4400000000用科学记数法表示为（）

A.44x108B.4.4x109C.4.4x108D.4.4x10'0

10.已知a,b是两个有理数，那么a-b与a比较，必定是（）

A.a-b>a;B.a-b<a;C.a-b>-a;D.大小关系取决于b.

11、下列说法中，错误的有（）

①-2,是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为有理数；

⑤0是最小的有理数；⑥-1是最小的负整数。

A、1个B、2个C、3个D.、4个

12.若一4=2,则一［-（—）］=.

13.已知Ix+1|与Iy—2|互为相反数，则Ix|+Iy|二。

14.甲、乙两人同时从A地动身，假如向南走48m,记作+48m,则乙向北走32nb记

为-这时甲乙两人相距m.

15.有理数a,b在数轴上的表示如下图，用或号填空.

a

-

O♦

②