2022年全国中考数学真题分类汇编专题11：三角形（附答案解析）

2022年全国中考数学真题分类汇编专题11：三角形

一.选择题（共21小题）

1.（2022•大连）如图，在△A8C中，ZACfi=90°.分别以点A和点C为圆心，大于

的长为半径作弧，两弧相交于N两点，作直线MM直线MN与AB相交于点。，连

接CD,若AB=3,则8的长是（）

C.1.5

2.（2022•青海）如图，在RlZXAEC中，N4CB=90°,。是AB的中点，延长CB至点E,

使BE=BC,连接OE,尸为OE中点，连接BF.若AC=16,BC=12,则BF的长为（）

3.（2022•张家界）如图，点。是等边三角形A8C内一点，OA=2,08=1,OC=V3,则

△AO8与△8OC的面积之和为（）

BC

D.V3

4.（2022•常州）如图,在AABC中，。、E分别是AB、4C的中点.若DE=2,则BC的

长是（）

A

A.3B.4C.5D.6

5.（2022•遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两

个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OA8C.若A8=8C=1,Z

408=30°,则点8到OC的距离为（）

D.2

6.（2022•大庆）下列说法不正确的是（）

A.有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形

B.有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形

C.有两个角互余的三角形是直角三角形

D.底和腰相等的等腰三角形是等边三角形

7.（2022•长沙）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：

①分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点;

②作直线P。交A8于点。；

③以点。为圆心，人。长为半径画弧交PQ于点M,连接AM、BM.

若A8=2/,则AM的长为（）

C.V3D.V2

8.（2022•海南）如图，直线小〃小△48C是等边三角形，顶点B在直线〃上，直线机交

AB于点£交AC于点F,若/1=140°,则/2的度数是（）

A.80°B.100°C.120°D.140°

9.（2022•梧州）如图，在△ABC中，AB=AC,AO是△4BC的角平分线，过点O分别作

DE.LAB,DF.LAC,垂足分别是点E,F,则下列结论错误的是（）

C.AD=BCD.BD=CD

10.（2022•广东）下列图形中有稳定性的是（）

A.三角形B.平行四边形C.长方形D.正方形

11.（2022•玉林）请你量一量如图△ABC中边上的高的长度,卜列最接近的是（）

A

A.0.5cmB.0.7cmC.1.5cmD.2cm

12.（2022•贺州）如图,在RtZkABC中,ZC=90°,NB=56°,则/A的度数为（）

A

C^—

A.34°B.44°C.124°D.134°

13.（2022・广东）如图,在八人3。中.iRC=4,点力.E分别为AC的中点,则。月=

（）

/A

BC

11

A.—B.-C.1D.2

42

14.（2022•永州）下列多边形具有稳定性的是（）

二r1

X

。口二

15.（2022•桂林）如图，在△ABC中，N8=22.5°,ZC=45°,若AC=2,则△ABC的

面积是（）

A

16.（2022•永州）如图，在RtZXABC中，NABC=90°,ZC=60°,点。为边AC的中点,

BD=2,则8c的长为（）

17.（2022•荆州）如图，直线AB=AC,/A4C=40°,则/1+N2的度数是（）

18.（2022•十堰）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的

参照线，就能使砌的砖在一条直线上.这样做应用的数学知识是（）

B.两点确定一条直线

C.垂线段最短

D.三角形两边之和大于第三边

19.（2022•宜昌）如图，在△48C中，分别以点8和点。为圆心，大于｝长为半径画弧,

两弧相交于点M,N.作直线交AC于点。，交5c于点E,连接8。.若AB=7,

AC=\2,BC=6,则△ABO的周长为（）

20.（2022•岳阳）如图，已知1//AB,CD上I于点D,若NC=40°,则N1的度数是（）

C

21.（2022•台湾）如图，△ABC的重心为G,8C的中点为。，今以G为圆心，G。长为半

径画一圆，且作A点到圆G的两切线段AE、AF,其中石、户均为切点.根据图中标示的

二.填空题（共12小题）

22.（2022•青海）如图，在RtZUBC中，ZABC=90°,EO是AC的垂直平分线，交AC

于点D,交BC于点、E,ZBAE=\0°,则NC的度数是.

23.（2022•牡丹江）如图，CA=CD,NACD=NBCE,请添加一个条件,使△48C

^△DEC.

24.（2022•通辽）在RlAABC中，ZC=90°,有一个锐角为60°,AB=6,若点尸在直

线AA卜（不与点48重合），且/产。?=30°，则4P的长为.

25.（2022•深圳）已知△ABC是直角三角形，NB=90°,A8=3,BC=5,AE=2V5,连

接CE,以CE为底作直角三角形CQE,且CO=OE.尸是AE边上的一点，连接8。和

BF,且/尸8£>=45°,则4尸长为.

26.（2022•贵阳）如图，在四边形4BCO中，对角线4C,8。相交于点£AC=BC=6cm,

NACB=N4OB=90°.若BE=2A。，则△ABE的面积是cm2,/AEB=

度.

27.（2022•广安）若（a-3）2+Vb^5=0,则以a、力为边长的等腰三角形的周长为.

28.（2022•北京）如图，在△ABC中，4。平分NBAC,DELAB.若4C=2,DE=1,则S

MCD=

A

29.（2022•常州）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点.若△AEC的面积是1,则

的面积是

30.（2022•常州）如图，将一个边长为20c机的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动

成四边形45CQ,对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂.若NBAD=

60°,则橡皮筋AC断裂（填“会”或“不会”，参考数据：V3«1.732）.

31.(2022•常州)如图，在RtZXABC中，ZC=90°,4C=9,BC=12.在RlZXOEF中,

N〃=9（T,D卜=5,七?=4.用一条始终绷直的弹性染色线连接C/,从起始

位置（点。与点8重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边OE始终在线段

A8上，则RtZXABC的外部被染色的区域面积是.

B(D)F

32.（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽

为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”.图②

由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD.正方

形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S\、S2、S3.若正方形EFGH的边长为4,则S1+S2+S3

33.（2022•哈尔滨）在△A3C中，AO为边上的高，ZABC=30°,ZCAD=20°,则

N8AC是度.

三.解答题（共9小题）

34.（2022•青海）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底

角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图

形.

（1）问题发现：

如图1,若△A8C和△4OE是顶角相等的等腰三角形，BC,。七分别是底边.求证：BD

=CE；

（2）解决问题：

如图2,若△AC8和.均为等腰直角三角形，NAC8=N〃C£=9U°,点A,D,E

在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接8E,请判断NAE8的度数及线段

CM,AE,8E之间的数量关系并说明理由.

35.（2022•牡丹江）如图，△ABC和△£>£/,点E,尸在直线8C上，AB=DF,NA=NO,

NB=NF.如图①，易证：BC+BE=BF.请解答下列问题：

（1）如图②，如图③，请猜想BC,BE,B尸之间的数量关系，并直接写出猜想结论；

（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；

（3）若48=6,CE=2,ZF=60°,SMBC=12V3,则BC=,BF=

36.（2022•广州）如图，点。，E在△ABC的边BC上，ZB=ZC,BD=CE,求证：△48。

^/\ACE.

37.（2022•柳州）如图，点A,O,C,尸在同一条直线上，AB=DE,BC=EF.有下列三

个条件：®AC=DF,②NABC=NOE凡③NACB=NDFE.

（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABCgZXOEE

你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC

且△£>£〃的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“A4S”）；

（2）利用（1）的结论△48。且/\。£尸.求证：AB//DE.

38.（2022•盘锦）在AABC中，4C=BC,点D在线段AB上，连接CO并延长至点E,使

DE=CD,过点E作EFLAB,交直线AB于点F.

（1）如图1,若N4C8=120。，请用等式表示AC与E尸的数量关系：

（2）如图2.若NACB=90°,完成以下问题：

①当点。，点F位于点4的异测时，请用等式表示AC,AD,。”之间的数量关系，并说

明理由；

②当点。，点尸位于点A的同侧时，若。尸=1,AD=3,请直接写出4C的长.

39.（2022•郴州）如图1,在△4BC中，AC=BC,ZACB=90°,AB=4cm.点D从A点

出发，沿线段AB向终点8运动.过点。作A8的垂线，与△ABC的直角边AC（或5C）

相交千点E.设线段AQ的长为"（cm）.线段。月的长为〃（cm）.

（1）为了探究变量。与力之间的关系，对点。在运动过程中不同时刻力。，的长度

进行测量，得出以下几组数据：

变量a(cm)00.511.522.533.54

变量h(cm)00.511.521.510.50

在平面直角坐标系中，以变量。的值为横坐标，变量力的值为纵坐标，描点如图2-1：

以变量力的值为横坐标，变量”的值为纵坐标，描点如图2-2.

图1图2-1图2-2

根据探究的结果，解答下列问题：

①当a=1.5时，h=；当力=1时，a=.

②将图2-1,图2・2中描出的点顺次连接起来.

③下列说法正确的是.（填"A”或“8”）

A.变量力是以。为自变量的函数

B.变量a是以％为自变量的函数

（2）如图3,记线段OE与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面

积（5?）为

①分别求出当和2V启4时，s关于。的函数表达式；

②当时，求a的值.

图3

40.（2022•贵港）已知：点C,O均在直线/的上方，AC与8。都是直线/的垂线段，且

在AC的右侧，BD=2AC,4。与相交于点O.

AO

（1）如图1,若连接CZ）,则△BCD的形状为，77的值为；

（2）若将8。沿直线/平移，并以AD为一边在直线/的上方作等边△4DE.

①如图2,当AE与AC重合时，连接*若4c=去求。E的长；

②如图3,当NACB=60°时，连接EC并延长交直线/于点F,连接OF.求证：OFJL

AB.

甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足

。处.将甲绕点。顺时针旋转一个锐角到图②位置..小莹用作图软件GeogM9按图②作

出示意图，并连接4G,BH,如图③所示，AB交〃。于E,4c交OG于F,通过证明^

OBE四△04尸，可得OE=O尸.

请你证明：AG=BH.

【迁移应用】

延长G4分别交HO,所在直线于点P,D,如图④，猜想并证明DG与的位置关

系.

【拓展延伸】

小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接

HB,AG,如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明4G与84的数量关系.

图①图②

图④

图⑤

42.(2022•青岛)【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、

例如：如图①，在△ABC和△A5C中，AD,477分别是8C和8c边上的高线，且4。

=A'D\则aABC和△AEC是等高三角形.

【性质探究】

如图①，用SAABC,分别表示△48C和△4'B'C的面积，

则S"BC=/C・AD,=轲CDf,

9：AD=A'D'

S^BC：S^'ffC=BC：B'C.

【性质应用】

(1)如图②，。是△ABC的边8c上的一点.若80=3,。。=4,则SMBD：SMDC=

(2)如图③，在△ABC中，D,E分别是BC和A8边上的点.若BE：AB=1：2,CD：

5C=1：3,SMBC=1»贝IJSzJ3EC=_______，SACDE=________；

(3)如图③，在△ABC中，L）E分别是BC和AB边上的点.若BE：AB=1：m,CD：

BC=\：n,SMBC=。，则$△CDE=______-

A

Zhcz

~oVBDc

BD°B，

(图①)（图②）（图③）

2022年全国中考数学真题分类汇编专题11：三角形

参考答案与试题解析

一.选择题（共21小题）

1.（2022•大连）如图，在△ABC中，N4CB=90°.分别以点A和点C为圆心，大于士4C

2

的长为半径作弧，两弧相交于N两点，作直线MM直线MN与A8相交于点连

接8,若AB=3,则CD的长是（）

A

N

A.6B.3C.1.5D.1

【解答】解：由已知可得，

MN是线段4C的垂直平分线，

设AC与MN的交点为£

VZACB=90°,MN垂直平分4C,

AZAED=ZACB=9O0,AE=CE,

：.ED//CB,

：,丛AEDs丛ACB,

.AEAD

AC~AB"

t1AD

**2-AB"

：.AD=

・,•点。为A8的中点，

*：AB=3fNAC8=90°,

：.CD=^AB=\.5,

故选：C.

M

2.（2022•青海）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,。是48的中点，延长C8至点E,

使BE=BC,连接OE尸为OE中点，连接BF.若AC=16,3C=12,则BF的长为（）

【解答】解：在RtZXABC中，

•・・/4CB=90°，AC=\6,BC=12,

；・AB=y/AC2+BC2=20.

;CO为中线，

1

：.CD=^AB=\0.

•・•尸为OE中点，BE=BC,即点B是EC的中点，

・・・8/是的中位线，

则BF=1CD=5.

故选：A.

3.（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA=2,OB=\,OC=V5,则

△AOB与△BOC的面积之和为（）

V3V33V3广

—B.—C.-----D.V3

424

【解答】解：将△A08绕点8顺时针旋转60°得△88,连接0。，

A

D

：,OB=BD,NOBD=60°，CD=0A=2,

•••△BOD是等边三角形，

JOO=OB=1,

-：ODr+OC2=\2+（V3）2=4,CD2=22=4,

・・・0。2+0。2=。。2

AZDOC=90°，

•••△A08与△BOC的面积之和为S^BOC+S^BCD=S^BOD+S^COD=^xl2+|xlxV3=

3V3

T，

故选：C.

4.（2022•常州）如图，在△ABC中，D、E分别是48、AC的中点.若DE=2,则8C的

长是（）

A

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：:。、E分别是4B、AC的中点，

JOE是△ABC的中位线，

：.BC=2DE,

"：DE=2,

；・BC=4,

故选：B.

5.(2022•遵义)如图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两

个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形0A8C.若A8=BC=1,Z

AOB=30°,则点8到OC的距离为（）

•・・NAO8=30°,NA=90°,

：.OB=2AB=2,

在RtZXOBC中，由勾股定理得，

OC=yJOB2+BC2=V22+l2=V5,

ZCBO=ZBHC=90Q,

:・NCBH=/BOC,

cosZBOC=cosNCBH,

OBBH

•••_=9

OCBC

2B•H___

飞F

.2/5

••i5n—5,

故选:B.

6.（2022•大庆）下列说法不正确的是（）

A.有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形

B.有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形

C.有两个角互余的三角形是直角三角形

D.底和腰相等的等腰三角形是等边三角形

【解答】解：•・•有两个角是锐角的三角形，第三个角可能是锐角，直角或钝角，

，有两个角是锐角的三角形可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形：故A不正确,

符合题意；

有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形，故8正确，不符合题意；

有两个角互余的三角形是直角三角形，故C正确，不符合题意；

底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，故。正确，不符合题意；

故选：A.

7.（2022♦长沙）如图，在△48C中，按以下步骤作图：

①分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点:

②作直线交48于点。；

③以点。为圆心，A加长为半径画弧交户。干点连接AM、RM.

A.4B.2C.百D.V2

【解答】解：由作图可知，夕。是AB的垂直平分线，

♦・•以点。为圆心，人。长为半径画弧交PQ于点M,

：.DA=DM=DB,

:.ZDAM=NOMA,/DBM=/DMB,

•••NO4M+NOMA+NOBM+NDMB=180°,

：.2ZDMA+2ZDMB=\^0°,

AZDMA+ZDMB=9Q°,即NAM3=90°,

•••△AMB是等腰直角三角形，

•\AM=孝从"竽x2V2=2

故选：B.

8.（2022•海南）如图，直线加〃小ZLABC是等边三:角形，顶点B在直线〃上，直线m交

A8于点E,交AC于点人若Nl=140°,则N2的度数是（）

A.80°B.100°C.120°D.140°

【解答】解：:△ABC是等边三角形，

...NA=60°.

对于△4EF,VZ1=ZA+ZAEF=140°,

AZAEF=140°-60°=80°,

.•・N〃E6=NA£/=XU°，

、：m"TI,

・・・N2+NOE8=180°,

/.Z2=180°-80°=100°,

故选：B.

9.（2022♦梧州）如图，在△ABC中，AB=AC,A。是△A6C的角平分线，过点。分别作

DE1AB,DF1AC,垂足分别是点E,F,则下列结论错误的是（）

A

【解答】解：・・・A8=AC,AO是△A3C的角平分线，

：.ADA.BC,BD=CD,N8=/C,

AZADC=90°,

在ABOE和△C。/7中，

ZB=Z-C

乙BED=乙CFD,

BD=CD

••・△BDE出ACDF（A4S）,

:.DE=DF,

故选：C.

10.（2022•广东）下列图形中有稳定性的是（）

A.三角形B.平行四边形C.长方形D.正方形

【解答】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，

故选：A.

11.（2022•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（）

A

A.0.5cmB.0.7cmC.\.5cmD.2cm

【解答】解：过点A作AD_LBC于。，

用刻度尺测量AD的长度，更接近2cm,

故选：D.

A

BZj\

BDC

12.（2022•贺州）如图，在RtA42c中,ZC=90°,NB=56°,则乙4的度数为（）

A

C^—

A.34°B.44°C.124°D.134°

【解答】解：在RtZXABC中，ZC=90°,

则/B+NA=90",

;NB=56°,

AZA=90°-56°=34°,

故选：A.

13.（2022•广东）如图，在△ABC中，BC=4,点DE分别为AB,AC的中点，则OE=

（）

/AA

BC

11

A.—B.-C.1D.2

42

【解答】解：;点D，E分别为AB,AC的中点，BC=4,

JDE是△ABC的中位线，

ADE=|fiC=1x4=2,

故选：O.

14.（2022•永州）下列多边形具有稳定性的是（）

A.B.

。口，

【解答】解：三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，

故选：D.

15.（2022•桂林）如图，在△ABC中，NB=22.5°,ZC=45°,若AC=2,则△4BC的

面积是（）

【解答】解：如图，过点A作AO_LAC于A,交于。，过点A作AE_L3C于£

・•・AADC是等腰直角二角形，

：,AD=AC=2,NAOC=45°，CD=V2AC=2V2,

VZADC=ZB+ZBAD,NB=22.5°,

：.ZDAB=22.5°,

:・NB=NDAB,

：,AD=BD=2f

f：AD=AC,AE1CD,

：・DE=CE,

：.AE=1c£)=瓜

•・•△ABC的面积=2・8。・八七=频遮乂（2+2V2）=2+V2.

4乙

故选：。.

16.（2022•永州）如图，在RtAABC中，NABC=90°,ZC=60°,点D为边AC的中点,

80=2,则BC的长为（）

【解答】解：在RtZXABC中，NA8C=90°,点。为边AC的中点，BD=2,

：.AC=2BD=4,

VZC=60°,

・・・NA=30°,

・・・BC=%C=2,

故选：C.

17.（2022•荆州）如图，直线八〃12,AB=AC,NMC=40°,则N1+N2的度数是（）

【解答】解：过点C作。。〃力，如图,

：.h//l2//CD,

：,Z\=ZBCD,Z2=ZACD,

:.Zl+Z2=ZBCD+ZACD=^ACB,

*：AB=AC,

・•・ZACB=ZABC,

,/ZBAC=40°，

：.ZACB=1（180°-ZBAC）=70°,

/.Zl+Z2=70°.

故选：B.

18.（2022•十堰）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的

参照线，就能使砌的砖在一条直线上.这样做应用的数学知识是（）

A.两点之间，线段最短

B.两点确定一条直线

C.垂线段最短

D.三角形两边之和大于第三边

【解答】解：这样做应用的数学知识是两点确定一条直线，

故选：B.

19.（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点8和点C为圆心，大于长为半径画弧，

两弧相交于点M,N.作直线交AC于点O,交BC于点E,连接3D.若AB=7,

AC=12,BC=6,则△A8。的周长为（）

A.25B.22C.19D.18

【解答】解：由题意可得，

例N垂直平分BC,

:,DB=DC,

•・•/\ABD的周长是AB+BD+AD,

：.AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC,

'：AB=7,AC=12,

.\AB+AC=19,

...△A5O的周长是19,

故选：C.

20.（2022•岳阳）如图，已知I//AB,CO_U于点D,若NC=40°,则N1的度数是（）

C

【解答】解：在RtZXCDE中，ZCDE=90°,ZDCE=40°,

则NCEO=900-40°=50°,

•・•/〃AB,

.\Zl=ZCED=50°,

21.（2022•台湾）如图，/XABC的重心为G,BC的中点为Z）,今以G为圆心，G。长为半

径画一圆，且作4点到圆G的两切线段AE、A凡其中E、尸均为切点.根据图中标示的

角与角度，求N1与N2的度数和为多少？（）

A

【解答】解：连接A。、EG、FG,如图:

・・・OG=%G,

•・•以G为圆心，GO长为半径画一圆，

：.EG=DG=FG=^AG,

•••AE、4尸是。G的切线，

ZAEG=ZAFG=90°,

：.ZEAG=ZFAG=30°,

・・・NE4F=60°,

VZ^=40°,NC'=45°,

・・・NBAC=95°,

・•・Nl+/2=NBAC・NEA尸=95°-60°=35°,

故选：B.

二,填空题（共12小题）

22.（2022•青海）如图，在RlZ\46C中，ZABC=90°,EO是AC的垂直平分线，交AC

于点。，交BC于点E,ZBAE=10°,则NC的度数是40°.

【解答】解：・・・£。是AC的垂直平分线，

：.AE=EC,

・・・NE4c=NC,

VZABC=90°,/BAE=10°,

・・・NEAC+NC=180°-ZBAE-ZAfiC=80°,

/.ZE4C=ZC=40°,

故答案为：40°.

23.（2022•牡丹江）如图，CA=CD,/4CO=N8CE,请添加一个条件CB=CE（答案

不唯一），使△ABCg/\£>EC.

【解答】解：•••/4CD=N8CE,

・•・ZACD+ZACE=/BCE+/ACE,

:.ZDCE=NACB,

,:CA=CD,CB=CE,

：.（SAS）,

故答案为：CB=CE（答案不唯一）.

24.（2022•通辽）在RlZ\AB。中，ZC=90°,有一个锐角为60°,48=6,若点尸在直

9

线AB上（不与点A,B重合），且NPC8=30°,则AP的长为一,9或3.

-2--------------

【解答】解：当NA=30°时,

VZC=90°,NA=30°,

1i

・・・/CBA=60。，BC=^AB=^x6=3,

由勾股定理得，AC=3V3,

①点尸在线段AB上，

VZPCB=30°,ZCBA=60°

・・・NCPB=90°,

AZCB4=90°,

在RlAAC尸中，NA=30。,

.•・PC=1AC=Ix3V3=|V3.

・••在RkMPC中，由勾股定理得”=?.

②点P在线段AB的延长线上，

VZPC«=30°，

/.ZACP=90°+30°=120°,

VZA=30°,

r.ZCM=30°.

VZPCB=30°,

:,NPCB=NCPA,

:.BP=BC=3,

：.AP=AB+BP=6+3=9.

当NABC=30°时,

・・・NA=60°,AC=%8=：x6=3,

由勾股定理得，BC=3®

①点尸在线段AB上，

VZPCB=30°,

AZACP=60°,

•••△4CP是等边三角形

：.AP=AC=3.

②点P在线段AB的延长线上，

VZPCB=30°,NA8C=30°,

：.CP//AP

这与CP与AP交于点P矛盾，舍去.

9

综上所得，AP的长为5，9或3.

9

故答案为：9或3.

2

25.（2022•深圳）已知△A8C是直角三角形，N8=90°,A8=3,BC=5,AE=2V5,连

接CE,以CE为底作直角三角形CDE,且CO=DE.尸是AE边上的一点，连接3。和

375

BF,且/尸80=45°,则4F长为——

【解答】解：将线段8。绕点D顺时针旋转90°,得到线段连接8H,延长77E交

BC于G,

・•・4BDH是等腰直角三角形，

：・NHBD=45°,

VZFBD=45°,

工点B、F、，共线.

又•••△EDC是等腰直角三角形，

:.HD=BD,/EDH=NCDB,ED=CD,

：.(SAS),

：,EH=CB=5fNDHE=NCBD,

；・NBGH=NBDH=90°,

:・HE〃AB,

:.丛ABFs/\EHF,

tABAFAF

**EH~EF~AE-AFf

•・・AE=2V5,

**5-2件4F，

・•・4A尸。=3丁店

故答案为：|Vs.

4

26.(2022•贵阳)如图，在四边形48co中，对角线AC,8D相交于点E,AC=BC=6cm,

ZACB=ZADB=90°.若BE=2AD,则AABE的面积是(36-18V2)cm2,ZAEB

=112.5度.

C

D

【解答】解：过E作于"，如图:

®AD=xcmtCE=ycm,PPJBE=2xcm,AE=(6-y)cm,

VZADB=ZACB=90°,/AED=4CEB,

:•△AEOSARF.C.

BCBE62x

:.—=—,即n一=---,

ADAEx6-y

・・・/=I8-3_><D，

在RlZXBC石中，Bd+C?=B烂,

A62+y2=⑵)2②,

由①②得y=6立一6（负值已舍去）,

CE=(6>/2—6)cm,AE=(12-6A/2)cm,

/.SMBE=S^ABC-S^BCE=ix6X6—ix6X(6V2-6)=(36-18V2)cm2,

•：AC=BC=6,NAC8=90°,

：.ZCAB=45V,AB=()y[2cm,

•••△AEH是等腰直角三角形,

・・・加"45。，AH=好中=<672-6)

・・・NCEH=1800-ZAEH=\35°,BH=AB-AH=6^2-(672-6)=6cm,

:.BH=6cm=BC,

又BE=BE,ZBCE=90°=NBHE,

ARtABCE^RtAB/YE(HL),

：.NBEH=ZBEC=|ZC£W=67.5°,

：・NAEB=NAEH+NBEH=450+67.5°=112.5°,

故答案为：（36-18V2）,112.5.

27.（2022•广安）若2+反飞一o,则以.，b为边长的等腰三角形的周长为11

或13.

【解答】解：•・•（53）2+VK^5=0,Q-3）220,>0,

*.a-3=0»b-5=0,

/.a=3,b=5,

设三角形的第三边为c,

当。=c=3时，三角形的周长=a+Hc=3+5+3=ll,

当b=c=5时，三角形的周长=3+5+5=13,

故答案为：11或13.

28.（2022•北京）如图，在△4BC中，AO平分NBAC,DEVAB.若AC=2,DE=1,则S

△ACD=].

【解答】解：过。点作力”_LAC于"，如图,

;4。平分NBAC,DE1AB,DH1AC,

：・DE=DH=l,

1

・・S/\ACD=2X2X1=1.

故答案为：1.

29.（2022•常州）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点.若的面积是1,则△A8D

的面积是2

A

【解答】解：・・・E是AD的中点,

・・・CE是△ACO的中线，

***S“CD=2SMEC,

•••△AEC的面积是I,

SMCD=2S^AEC=2,

是△4BC的中线，

/.SMBD=SMCO=2.

故答案为：2.

30.（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动

成四边形A8CD,对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂.若/BAD=

60°,则橡皮筋4c不会断裂（填“会”或“不会”，参考数据：6句.732）.

【解答】解：设AC与8。相交于点。,

•・•四边形ABCD是菱形，

AAC1BD,AC=2AO,OD=^BD,AD=AB=20cmt

VZBAD=60°,

:,XABD是等边三角形，

^.BD=AB=20cmf

：.DO=1BD=10(CW,

在RtZ\AOO中，AO=y/AD2-DO2=V202-102=1073(cm),

：.AC=2AO=20V3«34.64(cm),

*.*34.64C/H<36CW,

，橡皮筋AC不会断裂,

故答案为：不会.

31.（2022•常州）如图，在Rt△48C中，ZC=90°,AC=9,BC=\2.在Rl△。石尸中，

N产=90°,DF=3,E/=4.用一条始终绷直的弹性染色线连接CF,RtADEF从起始

位置（点。与点8重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边。£始终在线段

AB上，则RtZXABC的外部被染色的区域面积是21.

【解答】解：如图，连接C尸交AB于点M,连接CF交A8于点N,过点尸作尸GJLAB

于点H,过点F作尸'"_LAB于点”，连接尸F,则四边形尸GH9是矩形，RtAABC

的外部被染色的区域是梯形MFFM

在RtZXOEF中，。尸=3,EF=4,

：.DE=VDF2+EF2=V32+42=5,

在RlZXABC中,AC=9,3c=12,

AB->JAC2+BC2-V92+I22-15,

1i

—DF・EF=/DE・GF,

22

12

FG=了'

BG=>JBF2-FG2=32

:.GE=BE-BG=AH=GE=

i2

：.F'H=FG=W，

：.FF'=GH=AB-BG-AH=15-5=10,

・：BF〃AC,

eBMBF1

''AM~AC~3

・・・8M=%8=学，

同法可证AN=/8=茎，

・・・RtZ\A8C的外部被染色的区域的面积=*x（10+学）x^=2L

故答案为：21.

32.（2022•内江）勾股定理被记教于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽

为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”.图②

由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD.正方

形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1,S2.S3.若正方形EFGH的边长为4,则S1+S2+S3

=_48

B

图②

【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为小短直角边是乩则：

Si=（a+b）2,$2=42=16,S3=（a-b）2,

且：O2+/?2=EF2=16,

・・・S1+S2+S3=（a+b）2+1