【全程复习方略】2022届高考数学(文科人教A版)大一轮单元评估检测(四)第四章-

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元评估检测(四)第四章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在复平面内复数(1-i)4的对应点位于()A.第一象限 B.实轴C.虚轴 D.第四象限【解析】选B.由(1-i)4=(-2i)2=-4,故位于实轴上.2.(2021·泉州模拟)在△ABC中,有如下三个命题:①AB→+BC→+CA→=0;②若D为BC边中点,则AD→=12(AB→+AC→);③若(A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【解析】选D.对于①,AB→+BC→+CA→=AC→+CA→=0,所以①正确;②明显正确;对于③,(AB→+AC→)·(AB→-AC→)=3.(2021·重庆模拟)已知向量|a|=2,|b|=3,且a·b=3,则a与b的夹角为()A.π6 B.π4 C.π3【解析】选A.设a与b的夹角为θ,则cosθ=QUOTEa·b|a||b|=32×3=32又由于0≤θ≤π,所以θ=π64.(2021·日照模拟)在△ABC中,∠A=90°,AB=1,AC=2.设点P,Q满足AP→=λAB→,AQ→=(1-λ)AC→,λ∈A.13 B.23 C.4【解析】选B.如图,以A点为原点,以AB,AC所在直线分别为x轴,y轴建系.则B(1,0),C(0,2),A(0,0),由AP→=λAB由AQ→=(1-λ)AC故BQ→=(-1,2-2λ),CP故BQ→·CP→=-λ-2(2-2解得λ=235.(2021·贵阳模拟)已知△ABC中,AB→=a,AC→=b,a·b<0,S△ABC=154,|a|=3,|bA.30° B.120°C.150° D.30°或150°【解析】选C.S△ABC=12|AB→=12|a||b|sinA=12×3×5sinA=所以sinA=12又a·b<0,所以A为钝角,所以A=150°.6.定义运算abcd=ad-bc,则符合条件QUOTEz1+2i在()A.第四象限 B.第三象限C.其次象限 D.第一象限【解题提示】运用所给新运算把复数化为代数形式再推断其对应点所在象限.【解析】选D.由QUOTEz1+2i1-2i1-i=0得z(1-i)-(1-2i)(1+2i)=0,所以z(1-i)=5,设z=x+yi(x,y∈R),所以z(1-i)=(x+yi)(1-i)=5,(x+y)+(y-x)i=5,x+y=5,y-x=0,由于x=y=527.(2021·杭州模拟)设a,b是两个非零向量()A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥bB.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λbD.若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|【解析】选C.利用排解法可得选项C是正确的.由于|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,且a与b反向,故A,B不正确;选项D,若存在实数λ,使得a=λb,a,b可为同向的共线向量,此时明显|a+b|=|a|-|b|不成立.8.如图,正六边形ABCDEF中,有下列四个结论:①AC→+AF②AD→=2AB③AC→·AD→=④(AD→·AF→)EF→=其中正确结论的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.AC→+AF→=AC→+故①对;取AD的中点O,则AD→=2AO→=2AB设|AB→|=1,则AC→·AD→=3而AD→·AF→=2×1×cos设|AB→|=1,则|(AD→·AF→)EF→=(2×1×cos60AD→(AF→·EF→)=AD→(1×1×cos120综上,正确结论为①②④,故选C.9.给出下列命题:p:函数f(x)=sin4x-cos4x的最小正周期是π;q:∃x∈R,使得log2(x+1)<0;r:已知向量a=(λ,1),b=(-1,λ2),c=(-1,1),则(a+b)∥c的充要条件是λ=-1.其中全部真命题是()A.q B.p C.p,r D.p,q【解析】选D.f(x)=sin4x-cos4x=(sin2x-cos2x)·(sin2x+cos2x)=sin2x-cos2x=-cos2x,故最小正周期为π,故命题p正确;当0<x+1<1,即-1<x<0时,log2(x+1)<0,故命题q正确;a+b=(λ-1,λ2+1),故(a+b)∥c的充要条件为λ-1=-(λ2+1),解得λ=-1或λ=0,故命题r不正确.10.设非零向量a,b的夹角为θ,记f(a,b)=acosθ-bsinθ,若e1,e2均为单位向量,且e1·e2=32,则向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为A.π3 B.π2 C.2π3 【解题提示】依据e1·e2=32求e1与e2的夹角,进而确定e2与-e1的夹角,依据新定义求向量f(e1,e2)与f(e2,-e1【解析】选B.设e1,e2的夹角为α,则e2与-e1的夹角为π-α,由题意,得|e1|=|e2|=1,所以e1·e2=|e1||e2|cosα=cosα=32故α=π6,π-α=56所以f(e1,e2)=e1cosπ6-e2sinπ6=32e1-1f(e2,-e1)=e2cos56π-=12e1-32ef(e1,e2)·f(e2,-e1)=34-e1·e2+=32-3所以f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为π2【方法技巧】平面对量的数量积的运算技巧(1)平面对量数量积的运算类似于多项式的乘法运算,特殊要留意乘法公式的应用.(2)熟记公式a2=|a|2=a·a,在遇到向量模的问题时,可将所给等式(不等式)两边平方,将向量问题转化为实数问题来解决.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2021·济南模拟)已知向量a=(1,2),b=(x,-4),若a∥b,则a·b=.【解析】由于a∥b,所以-4-2x=0,即x=-2,所以a·b=1×(-2)+2×(-4)=-10.答案:-1012.设a∈R,且(a+i)2i为正实数,则a的值为.【解析】(a+i)2i=(a2-1+2ai)i=-2a+(a2由(a+i)2i为正实数得-2a>0,a2答案:-113.(2021·厦门模拟)已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若a⊥b,则9x+3y的最小值为.【解析】若a⊥b,则a·b=0,所以2x+y=2,由基本不等式得9x+3y≥6,当且仅当9x=3y,即x=12答案:614.(2021·南平模拟)已知平面对量α,β,且|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|=.【解析】由α⊥(α-2β)得α·(α-2β)=α2-2α·β=0,所以α·β=12,所以(2α+β)2=4α2+β2+4α·β=4×12+22+4×12=10,所以|2α+β|=答案:10【方法技巧】平面对量的数量积的运算技巧(1)平面对量数量积的运算类似于多项式的乘法运算,特殊要留意乘法公式的应用.(2)熟记公式a2=|a|2=a·a,在遇到向量模的问题时,可将所给等式(不等式)两边平方,将向量问题转化为实数问题来解决.15.在△ABC中设角A,B,C的对边分别为a,b,c,若m=(cosC,2a-c),n=(b,-cosB),且m·n=0,则B=.【解析】由m·n=0得bcosC-(2a-c)cosB=0,即b·a2+b2-c整理得ac=a2+c2-b2,又cosB=a2+c2-又由于0<B<π,所以B=π3答案:π

三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)已知AB→=(6,1),BC(1)若BC→∥(2)在(1)的前提下,若AC→⊥BD【解析】(1)AD→=AB→+由于BC→∥(2)AC→=(x+6,y+1),由于AC→⊥BD→,所以所以(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.又由于x+2y=0,所以(-2y+6)(-2y-2)+(y+1)(y-3)=0.即y2-2y-3=0,解得y=3或y=-1.即BC→=(-6,3)或BC→=(2,-1),所以|BC→|=317.(12分)已知复平面内平行四边形ABCD(A,B,C,D按逆时针排列),A点对应的复数为2+i,向量BA→对应的复数为1+2i,向量(1)求点C,D对应的复数.(2)求平行四边形ABCD的面积.【解题提示】由点的坐标得到向量的坐标,运用向量、复数间的对应关系解题.【解析】(1)设点O为原点,由于向量BA→对应的复数为1+2i,向量所以向量AC→对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i,又OC→=所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i,又BD→=BAOB→=OA所以OD→=OB所以点D对应的复数为5.(2)由(1)知BA→=(1,2),由于BA→·BC→=|所以cosB=BA→·BC→所以sinB=75又|BA→|=5,|BC所以面积S=|BA→||BC→|sinB=5×所以平行四边形ABCD的面积为7.18.(12分)(2021·兰州模拟)设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积a⊗b=(a1b1,a2b2),已知向量m=2,12,n=π3,0,点P(x,y)在y=sinx的图象上运动.Q是函数y=f(x)图象上的点,且满足OQ→【解题提示】设出Q点坐标,与P点坐标建立联系后可求得y=f(x)的解析式从而可求值域.【解析】设Q(x,y),P(x1,y1),则由已知可得(x,y)=2,12⊗(x1,y=2x1=2x故x=2x又由于P点在y=sinx上,故2y=sin12故f(x)=12sin1由于x∈R,故-12≤f(x)≤119.(12分)已知向量a=(sinωx,cosωx),b=(cosωx,3cosωx)(ω>0),函数f(x)=a·b-32的最小正周期为π(1)求函数f(x)的单调递增区间.(2)假如△ABC的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,且满足b2+c2=a2+3bc,求f(A)的值.【解析】(1)f(x)=a·b-3=sinωxcosωx+3cos2ωx-3=12sin2ωx+32cos2ωx=sin由于f(x)的最小正周期为π,且ω>0,所以2π2ω=π,即ω=1,故f(x)=sin由-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ得f(x)的增区间为-512π+kπ,(2)由b2+c2=a2+3bc,所以b2+c2-a2=3bc,又由cosA=b2+c2-所以在△ABC中,A=π6所以f(A)=sin2×π6+π20.(13分)(2021·福州模拟)已知点A(2,0),B(0,2),C(cosα,sinα),且0<α<π.(1)若|OA→+OC→|=7,求(2)若AC→⊥BC→,求t【解析】(1)由于|OA→+OC所以(2+cosα)2+sin2α=7,所以cosα=12又由于α∈(0,π),所以α=∠AOC=π3又由于∠AOB=π2所以OB→与OC(2)AC→=(cosα-2,sinα),BC→=(cos由于AC→⊥BC→,所以所以cosα+sinα=12,所以(cosα+sinα)2=14,所以2sinαcosα=-3又由于α∈(0,π),所以α∈π2由于(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=74,cosα-sinα所以cosα-sinα=-72.由①②得cosα=1-74,sinα所以tanα=-4+21.(14分)(2021·东营模拟)已知m=(3sinx,2cosx),n=(2cosx,-cosx),函数f(x)=m·n-1.(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴的方程.(2)设△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,f(A)=0,求b+c的取值范围.【解析】(1)f(x)=3sin2x-2cos2x-1=3sin2x-cos2x-2=2s