2022高三一轮复习学案(理数)(人教)第七章-立体几何与空间向量-第4课时-直线、平面的平行和垂直

第4课时直线、平面的平行和垂直考纲索引1.直线与平面平行、垂直.2.平面与平面平行、垂直.课标要求1.以立体几何的定义、公理和定理为动身点,生疏和理解空间中线面平行、垂直的有关性质和判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行、垂直关系的简洁命题.学问梳理1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形a

b

a

条件

结论

a∩α=

2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件

结论α∥βα∥βa∥ba∥α3.直线与平面垂直定义:假如直线l与平面α的直线都垂直,则直线l与此平面α垂直.

(1)判定直线和平面垂直的方法:①定义法.②利用判定定理:假如一条直线与平面内的两条直线垂直,则这条直线与这个平面垂直.

③推论:假如在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也这个平面.

(2)直线和平面垂直的性质:①直线垂直于平面,则垂直于平面内直线.

②垂直于同一个平面的两条直线.

③垂直于同始终线的两平面.

4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法:①定义法.②利用判定定理:假如一个平面过另一个平面的,则这两个平面相互垂直.

(2)平面与平面垂直的性质:假如两平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于它们的直线垂直于另一个平面.

基础自测1.(教材改编)下列条件中,能判定直线l⊥平面α的是().A.l与平面α内的两条直线垂直B.l与平面α内很多条直线垂直C.l与平面α内的某一条直线垂直D.l与平面α内任意一条直线垂直2.设a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则a⊥b的一个充分条件是().A.a⊥c,b⊥cB.α⊥β,b⊂βC.α⊥a,b∥α D.a⊥α,b⊥α3.(教材改编)给出下列四个命题:①垂直于同一平面的两条直线相互平行;②垂直于同一平面的两个平面相互平行;③若一个平面内有很多条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;④若一条直线垂直于一个平面内的任始终线,那么这条直线垂直于这个平面.其中真命题的个数是().A.1B.2C.3D.4.(课本精选题)已知不重合的直线a,b和平面α.①若a∥α,b⊂α,则a∥b;②若a∥α,b∥α,则a∥b;③若a∥b,b⊂α,则a∥α;④若a∥b,a∥α,则b∥α或b⊂α.上面命题中正确的是.(填序号)

5.(课本改编)过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,连接PA,PB,PC.(1)若PA=PB=PC,∠C=90°,则点O是边AB的点.

(2)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的心.

(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的心.

指点迷津1.判定定理或性质定理使用时,条件要完备.如:证明b∥α时,不要忽视b⊄α;用线面平行的性质定理时,不要忽视α∩β=b等.2.六个平行转化关系:3.六种转化关系:考点透析考向一直线与平面平行的判定与性质

例1(2022·安徽)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.(1)求证:GH∥EF;(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.【审题视点】利用BC∥平面GEFH,可证得GH∥BC,即可证出GH∥BC.再由PO∥平面GEFH,可证得GK是梯形GEFH的高,由此可求得四边形GEFH的面积.变式训练1.如图,在四周体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.求证:(1)DE∥平面BCP;(2)四边形DEFG为矩形.(第1题)考向二平面与平面平行的判定与性质

例2(2021·山东高考名校联考信息优化卷)如图,沿等腰直角三角形ABC的中位线DE,将平面ADE折起,使得平面ADE⊥平面BCDE得到四棱锥A-BCDE.(1)求证:平面ABC⊥平面ACD;(2)过CD的中点M的平面α与平面ABC平行,试求平行α与四棱锥A-BCDE各个面的交线所围成的多边形的面积与△ABC的面积之比.【审题视点】平面翻折后可得AD⊥平面BCDE.依据α∥平面ABC得出交线位置,可求面积之比.变式训练2.如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是B1C1的中点(1)E,B,F,D1四点共面;(2)平面A1GH∥平面BED1F(第2题)考向三直线与平面垂直的判定与性质

例3(2021·东北三校联考)如图,在四周体ABCD中,O,E分别是BD,BC的中点,AB=AD=,CA=CB=CD=BD=2.(1)求证:BD⊥AC;(2)求三棱锥E-ADC的体积.【审题视点】BD⊥AO,BD⊥CO➝BD⊥平面AOC➝BD⊥AC,AO⊥CO,AO⊥BD➝AO⊥平面BDC➝VE-ADC.变式训练3.(2022·重庆)在如图所示四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上一点,且BM=.(1)求证:BC⊥平面POM;(2)若MP⊥AP,求四棱锥P-ABMO的体积.(第3题)考向四平面与平面垂直的判定与性质

例4(2021·烟台四校达标检测)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,点P为DD1的中点(1)求证:平面PAC⊥平面BDD1;(2)求证:PB1⊥平面PAC.【审题视点】(1)利用AC⊥面BDD1;(2)利用计算关系PB1⊥PC,PB1⊥PA.【方法总结】面面垂直的关键是线面垂直.两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要留意“平面内的直线”.变式训练4.(2021·海滨区期末练习)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,AC∩BD=O.(1)若AC⊥PD,求证:AC⊥平面PBD;(2)若平面PAC⊥平面ABCD,求证:PB=PD.(第4题)考向五平行与垂直的综合应用

例5(2021·济南两所名校模拟)如图(1),在梯形BCDE中,BC∥DE,BA⊥DE,且EA=DA=AB=2CB=2,如图(2),沿AB将四边形AB-CD折起,使得平面AB-CD与平面ABE垂直,M为CE的中点.(1)(2)(1)求证:AM⊥BE;(2)求三棱锥C-BED的体积.【审题视点】取BE中点N,MN∥BC∥DA⇒MN⊥平面ABE⇒BE⊥平面AMN⇒AM⊥BE.【方法总结】平行与垂直之间的转化常用结论:①a⊥α,b∥α⇒a⊥b;②a∥b,a∥α⇒b⊥a;③a∥β,a∥α⇒a⊥β;④a⊥α,b∥α⇒a∥b.变式训练5.如图,在四周体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,点E,F分别是AB、BD的中点.求证:(1)直线EF∥平面ACD;(2)平面EFC⊥平面BCD.(第5题)经典考题典例(2022·北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE(3)求三棱锥E-ABC的体积.【解题指南】(1)证明BB1⊥AB,从而证得平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明四边形FGEC1为平行四边形,进而可证得C1F∥平面(3)先计算AB,再求得三棱锥E-ABC的体积.【解】(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AB.又AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)如图,取AB的中点G,连接EG,FG.由于E,F,G分别是A1C1,BC,AB的中点所以FG∥AC,且.由于AC∥A1C1,且AC=A1C所以FG∥EC1,且FG=EC1,所以四边形FGEC1为平行四边形.真题体验1.(2022·湖北)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证(1)直线BC1∥平面EFPQ;(2)直线AC1⊥平面PQMN.(第1题)2.(2022·江苏)如图所示,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线PA∥平面DEF;(2)平面BDE⊥平面ABC.(第2题)

参考答案与解析学问梳理3.任一(1)相交垂直于(2)全部平行平行4.垂线交线基础自测1.D2.C3.B4.④5.(1)中(2)外(3)垂考点透析【例1】(1)由于BC∥平面GEFH,BC⊂平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC.同理可证EF∥BC,因此GH∥EF.(2)连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.由于PA=PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD.又BD∩AC=O,且AC,BD都在平面ABCD内,所以PO⊥平面ABCD.又平面GEFH⊥平面ABCD,且PO⊄平面GEFH,所以PO∥平面GEFH.由于平面PBD∩平面GEFH=GK,所以PO∥GK.所以GK⊥平面ABCD.又EF⊂平面ABCD,所以GK⊥EF.变式训练经典考题真题体验1.(1)如图,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体知AD1∥BC1.由于F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.从而BC1∥FP