【全程复习方略】2020年数学文(广西用)课时作业：第九章-第五节空间的距离

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十七)一、选择题1.ABCD是边长为2的正方形,以BD为棱把它折成直二面角A-BD-C,E是CD的中点,则异面直线AE,BC的距离为()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)12.在△ABC中,AB=15,∠BCA=120°,若△ABC所在平面α外一点P到A,B,C的距离都是14,则P到α的距离是()(A)13 (B)11 (C)9 (D)73.在一个棱长为5QUOTEcm的正四周体内有一点P,它到三个面的距离分别是1cm,2cm,3cm,则它到第四个面的距离为()(A)1cm (B)2cm (C)3cm (D)4cm4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,假如AB=BC=a,A1A=2a,那么点A到直线A1C的距离等于(A)QUOTEa (B)QUOTEa(C)QUOTEa (D)QUOTEa5.已知空间四边形ABCD中,BC=CD=QUOTE,AB=BD=AD=2,AC=QUOTE,延长BC到E使CE=BC,F是BD中点,则异面直线AF与DE的距离和所成的角分别为()(A)1,60°(B)QUOTE,60°(C)1,45° (D)QUOTE,45°6.若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,则A1C1(A)QUOTE (B)1(C)QUOTE (D)QUOTE7.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,M为A1B1(A)QUOTEa(B)QUOTEa(C)QUOTEa(D)QUOTEa8.设P是60°的二面角α-l-β内的一点,PA⊥α于A,PB⊥β于B,PA=4,PB=2,则AB的长为()(A)2QUOTE (B)2QUOTE (C)2QUOTE (D)4QUOTE9.直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,设平面A1BC1与平面ABC的交线为l,则A1C1与(A)QUOTE (B)QUOTE (C)2.6 (D)2.410.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,侧棱与底面边长均为2a,且∠A1AD=∠A1AB=60°,则侧棱AA1和截面B1D1(A)a (B)QUOTEa (C)QUOTEa (D)QUOTEa二、填空题11.边长为a的正三角形ABC在平面α内,P∉α,且PA与AB,AC均成45°角,则PA与BC间的距离是.12.边长为1的等边三角形ABC,沿BC边上高线AD折起,使得折后二面角B-AD-C为60°,则点A到BC的距离为,点D到平面ABC的距离为.13.(力气挑战题)如图,空间四点A,B,C,D中,每两点所连线段的长都等于a,动点P在线段AB上,动点Q在线段CD上,则P与Q的最短距离为.14.如图,ABCD与ABEF均是边长为a的正方形,假如二面角E-AB-C的度数为30°,那么EF与平面ABCD的距离为.三、解答题15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=2,AA1=2QUOTE,∠ACB=90°,M是AA1的中点,N是BC1的中点.(1)求证:MN∥平面A1B1C1.(2)求点C1到平面BMC的距离.(3)求二面角B-C1M-A1答案解析1.【解析】选D.如图,取BD中点F,连结CF,AF,EF,由正方形ABCD知AF⊥BD,则AF⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD,∴CD⊥AF.又EF∥BC,则CD⊥EF.∵AF∩EF=F,∴CD⊥平面AEF.∵AE⊂平面AEF,∴CD⊥AE,即CE⊥AE.又BC⊥CD,即CE⊥BC,所以CE为AE,BC的公垂线段.易证CE=1.2.【解析】选B.作PO⊥α于点O,连结OA,OB,OC,∵PA=PB=PC,∴OA=OB=OC.∴O是△ABC的外心.∴OA=QUOTE=QUOTE=5QUOTE.∴PO=QUOTE=11为所求.3.【解析】选D.棱长为5QUOTEcm的正四周体的高为h=QUOTE=10,将P点与各顶点连结起来,则将正四周体分成了四个三棱锥,其中底面是全等的三角形,高分别为1,2,3,h1,设S为正四周体一个面的面积,则QUOTES×10=QUOTES(1+2+3+h1)解得h1=4.4.【解析】选C.在Rt△A1AC中,A1A=2a,AC=QUOTEa,A1C=QUOTEa,由面积关系QUOTE=QUOTEA1C·h=QUOTE·A1A·AC,得斜边A1C上的高为h=QUOTE=QUOTEa.5.【解析】选A.连结FC.∵AB=AD,BF=FD,∴AF⊥BD.∵BC=CD,BF=FD,∴CF⊥BD.∵BC=CE,BF=FD,∴FCQUOTEDE.∴DE⊥BD,∴FD是异面直线AF与DE之间的距离,FD=QUOTEBD=QUOTE×2=1.∵FC∥DE,∴∠AFC或其补角是AF与DE所成的角.在△AFC中,AF=QUOTEBD=QUOTE×2=QUOTE,FC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又AC=QUOTE,∴cosAFC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,∴∠AFC=60°,即AF与DE所成的角为60°.6.【解析】选D.由A1AB1BC1C知四边形A1C1CA为平行四边形,则A1C1∥AC,因此A1C1∥平面ABCD,则正四棱柱的侧棱长即为A1C1到底面ABCD的距离.又B1B⊥底面ABCD,则∠B1AB为直线AB1与底面ABCD所成的角,即∠B1AB=60°,在Rt△ABB1中,BB1=AB·tanB1AB=QUOTE.7.【思路点拨】由BC在底面内,由正三棱柱的特性,先找出M在底面的射影D,过D作BC的垂线,由三垂线定理,解直角三角形求解.【解析】选A.如图,过M点作MD⊥AB,垂足为D,作DE⊥BC,垂足为E,连结ME,由三垂线定理知ME⊥BC.在Rt△MDE中,MD=a,可求出DE=QUOTEa,∴ME=QUOTE=QUOTEa.8.【解析】选C.如图,设过P,A,B的平面交直线l于P'点,连结P'A,P'B,∵PA⊥α,PB⊥β,AP'⊂α,BP'⊂β,∴PA⊥AP',PB⊥BP'.在四边形PAP'B中,∠AP'B=60°,则∠APB=180°-60°=120°,所以在△APB中,由余弦定理得AB2=AP2+BP2-2AP·BP·cos∠APB=42+22-2×4×2×(-QUOTE)=28.则AB=2QUOTE.9.【解析】选C.交线l过B且与AC平行,作CD⊥l于D,连结C1D,则C1D为A1C1与l的距离.而CD等于AC上的高,即CD=QUOTE,Rt△C1CD中易求得C1D=QUOTE=2.6.10.【解析】选A.分别连结AC,A1C1交BD,B1D1于O,O1,连结OO1,A1O,A1B,A1D,则B1D1⊥A1O1.∵BD∥B1D1,∴BD⊥A1O1.又∵四棱柱的底面边长与侧棱均为2a,且∠A1AD=∠A1AB=60°,∴A1A=A1B=A1D.∴A1在底面ABD上的射影为△ABD的外心.∵△ABD为等腰直角三角形,∴O为A1在平面ABD上的射影,即A1O⊥平面ABD,∴A1O⊥BD.∴BD⊥平面A1OO1,∴平面B1D1DB⊥平面A1OO1.过A1作A1E⊥OO1,则A1E⊥平面B1D1DB.即A1E为所求的距离,易求得A1E=a.11.【解析】如图所示,∵∠PAB=∠PAC,∴PA在α上的射影是∠BAC的平分线AD.∵△ABC为正三角形,∴BC⊥AD,∴BC⊥PA,∵AD∩AP=A,∴BC⊥平面PAD.作DE⊥PA交PA于E,∵DE⊂平面PAD,∴BC⊥DE,则DE为BC,PA的公垂线段,∴cos∠PAB=cos∠PADcos∠DAB=QUOTEcos∠PAD.从而在Rt△ADE中可求得DE=QUOTE.答案:QUOTE12.【解析】折后如图,∠BDC=60°,设E为BC的中点,连结AE,DE,则在Rt△ADE中,AE即为点A到BC的距离,AD=QUOTE,DE=QUOTE,所以由勾股定理得AE=QUOTE=QUOTE.设D到平面ABC的距离为h,由VA-BDC=VD-ABC得QUOTE×(QUOTE)3×sin60°×QUOTE=QUOTE×(QUOTE)2×QUOTE×h,求得h=QUOTE,即点D到平面ABC的距离为QUOTE.答案:QUOTEQUOTE13.【思路点拨】由题意知几何体为正四周体,依据正四周体的特殊性,把P与Q的最短距离转化为相对棱中点的距离.【解析】以A,B,C,D为顶点的四边形为空间四边形,且为正四周体,知当P,Q分别为AB,CD的中点时,P,Q两点间的距离最短,∴AQ=BQ=QUOTEa,∴PQ⊥AB.在Rt△APQ中,PQ=QUOTE=QUOTE=QUOTEa.答案:QUOTEa14.【解析】明显∠FAD是二面角E-AB-C的平面角,∠FAD=30°,过F作FG⊥平面ABCD于G,则G必在AD上,由EF∥平面ABCD,∴FG为EF与平面ABCD的距离,即FG=QUOTE.答案:QUOTE15.【解析】(1)如图所示,取B1C1的中点D,连结ND,A1D,∴DN∥BB1∥AA1.又∵DN=QUOTEBB1=QUOTEAA1=A1M,∴四边形A1MND为平行四边形.∴MN∥A1D.又∵MN⊄平面A1B1C1,A1D⊂平面A1B1C1,∴MN∥平面A1B1C1.(2)因三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,∴C1C⊥BC.又∵∠ACB=90°,C1C∩AC于C,∴BC⊥平面ACC1A1.在平面ACC1A1中,过C1作C1H⊥CM,又∵BC⊥C1H,CM∩BC于C,故C1H为点C1到平面BMC的距离.在等腰三角形CMC1中,C1C=2QUOTE,CM=C1M=QUOTE,∴C1H=QUOTE=QUOTE.即点C1到平面BMC的距离为QUOTE.(3)在平面ACC1A1上作CE⊥C1M交C1M于点E,交A1C1于点F,连接BE,则CE为BE在平面ACC1A1上的射影,∴BE⊥C1M,∴∠BEF为二面角B-C1M-A1的平面角.在等腰三角形CMC1中,CE=C1H=QUOTE,∴tan∠BEC=QUOTE=QUOTE,∴cos∠BEC=QUOTE.∵二面角B-C1M-A1的平面角与∠BEC互补,∴二面角B-C1M-A1的余弦值为-QUOTE.【变式备选】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,∠B1A1C1=90°,D,E分别为CC1和A1B1的中点,且A1A=AC=2AB=2.(1)求证:C1E∥平面A1BD.(2)求点C1到平面A1BD的距离.【解析】(1)取A1B中点F,连结EF,FD.∴EFQUOTEB1B.又B1B∥C1C,C1D=QUOTEC1C,∴EFC1D,∴C1EFD为平行四边形,∴C1E∥DF.又DF⊂平面A1DB,∴C1E∥平面A1DB.(2)A1B=A1D=QUOTE,BD=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE×QUOTE×2×1×1=QUOTE,QUOTE=QUOTE,即QUOTE·QUOTEd=QUOTE,∴d=QUOTE.∴点C1到平面A1BD的距离为QUOTE.【方法技巧】点到平面的距离的求解方法求点到平面的距离是立体几何在高考中常考查的内容,而直线与平面的距离、两个平行平面的距离通常要转化为点面距离求解,所以把握点面距离的求法是格外必要的,通常的方法有:(1)直接法:由点到平面的距离的