【名师一号】2020-2021学年人教A版高中数学选修1-1：第二章-圆锥曲线与方程-单元同步测试

其次章测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为()A．x2＝－28y B．y2＝28xC．y2＝－28x D．x2＝28y解析由条件可知eq\f(p,2)＝7，∴p＝14，抛物线开口向右，故方程为y2＝28x.答案B2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于eq\f(1,2)，则C的方程是()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1解析依题意知c＝1，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴a＝2，b2＝a2－c2＝3.故椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.答案D3．双曲线x2－eq\f(y2,m)＝1的离心率大于eq\r(2)的充分必要条件是()A．m>eq\f(1,2) B．m≥1C．m>1 D．m>2解析由e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＝eq\f(1＋m,1)＝1＋m>2，m>1.答案C4．椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点坐标是()A．(5,0)或(－5,0) B．(eq\f(5,2)，eq\f(3\r(3),2))或(eq\f(5,2)，－eq\f(3\r(3),2))C．(0,3)或(0，－3) D．(eq\f(5\r(3),2)，eq\f(3,2))或(－eq\f(5\r(3),2)，eq\f(3,2))解析|PF1|＋|PF2|＝2a∴|PF1|·|PF2|≤(eq\f(|PF1|＋|PF2|,2))2＝25.当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5时，取得最大值，此时P点是短轴端点，故选C.答案C5．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝eq\r(3)x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为()A.eq\f(x2,36)－eq\f(y2,108)＝1 B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1C.eq\f(x2,108)－eq\f(y2,36)＝1 D.eq\f(x2,27)－eq\f(y2,9)＝1解析本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于简洁题．依题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\r(3)，,c＝6，,c2＝a2＋b2，))⇒a2＝9，b2＝27，所以双曲线的方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1.答案B6．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()A．(－2,1) B．(1,2)C．(2,1) D．(－1,2)解析如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，当且仅当A，P，N三点共线时取等号，∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，则可排解A、C、D项，故选B.答案B7．已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为()A．4或－4 B．－2C．4 D．2或－2解析由题可知，eq\f(p,2)－(－2)＝4，∴p＝4.∴抛物线的方程为x2＝－8y.将(m，－2)代入可得m2＝16，∴m＝±4.故选A.答案A8．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1解析依题意可设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(b2,a)))，又|AB|＝eq\f(b2,a)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b2,a)))＝eq\f(2b2,a)＝3，∴2b2＝3a.又a2－b2＝c2＝1，∴a＝2，b＝eq\r(3).故C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.答案C9．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过点()A．(4,0) B．(2,0)C．(0,2) D．(0，－2)解析直线x＋2＝0是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2,0)．答案B10．椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c，若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(3,4)解析由椭圆的定义可知d1＋d2＝2a又由d1,2c，d2∴4c＝d1＋d2＝2a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).答案A11．已知F是抛物线y＝eq\f(1,4)x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()A．x2＝y－eq\f(1,2) B．x2＝2y－eq\f(1,16)C．x2＝2y－1 D．x2＝2y－2解析由y＝eq\f(1,4)x2⇒x2＝4y，焦点F(0,1)，设PF中点Q(x，y)、P(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝0＋x0，,2y＝1＋y0，,4y0＝x\o\al(2,0)，))∴x2＝2y－1.答案C12．已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上一点，若eq\f(|PF2|2,|PF1|)的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是()A．(1,3) B．(1,2)C．(1,3] D．(1,2]解析eq\f(|PF2|2,|PF1|)＝eq\f(|PF1|＋2a2,|PF1|)＝|PF1|＋eq\f(4a2,|PF1|)＋4a≥8a，当|PF1|＝eq\f(4a2,|PF1|)，即|PF1|＝2a时取等号．又|PF1|≥c－a，∴2a≥c－a∴c≤3a，即e≤∴双曲线的离心率的取值范围是(1,3]答案C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．若双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，则b等于________．解析由题意知eq\f(b,2)＝eq\f(1,2)，解得b＝1.答案114．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为eq\f(\r(3),2)，则椭圆的标准方程为________．解析若焦点在x轴上，则a＝4，由e＝eq\f(\r(3),2)，可得c＝2eq\r(3)，∴b2＝a2－c2＝16－12＝4，椭圆方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1；若焦点在y轴上，则b＝4，由e＝eq\f(\r(3),2)，可得eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴c2＝eq\f(3,4)a2.又a2－c2＝b2，∴eq\f(1,4)a2＝16，a2＝64.∴椭圆方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,64)＝1.答案eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,64)＝1，或eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝115．设F1和F2是双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为________．解析由题设知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(||PF1|－|PF2||＝4，,①,|PF1|2＋|PF2|2＝20，,②)))②－①2得|PF1|·|PF2|＝2.∴△F1PF2的面积S＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝1.答案116．过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．解析如图，设双曲线一个焦点为F，则△AOF中，|OA|＝a，|OF|＝c，∠FOA＝60°.∴c＝2a，∴e＝eq\f(c,a)＝2.答案2三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.解设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．∵P1，P2在抛物线上，∴yeq\o\al(2,1)＝6x1，yeq\o\al(2,2)＝6x2.两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．∵y1＋y2＝2，∴k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(6,y1＋y2)＝3.∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝6x，,y＝3x－11，))得y2－2y－22＝0，∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22.∴|P1P2|＝eq\r(1＋\f(1,9))eq\r(22－4×－22)＝eq\f(2\r(230),3).18．(12分)双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的标准方程．解由共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，可设椭圆的方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,a2－25)＝1(a>5)，双曲线方程为eq\f(y2,b2)－eq\f(x2,25－b2)＝1.∵点P(3,4)在椭圆上，∴eq\f(16,a2)＋eq\f(9,a2－25)＝1.解得a2＝40或a2＝10(舍去)．∴椭圆的标准方程为eq\f(y2,40)＋eq\f(x2,15)＝1.又过点P(3,4)的双曲线的渐近线方程为y＝eq\f(b,\r(25－b2))x，即4＝eq\f(b,\r(25－b2))×3，∴b2＝16.∴双曲线的标准方程为eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.19．(12分)已知椭圆方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，在椭圆上是否存在点P(x，y)到定点A(a,0)(其中0＜a＜3)的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及P点的坐标；若不存在，说明理由．解设存在点P(x，y)满足题设条件，则|AP|2＝(x－a)2＋y2.又∵eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，∴y2＝4(1－eq\f(x2,9))．∴|AP|2＝(x－a)2＋4(1－eq\f(x2,9))＝eq\f(5,9)(x－eq\f(9,5)a)2＋4－eq\f(4,5)a2.∵|x|≤3，当|eq\f(9,5)a|≤3，又0<a<3即0＜a≤eq\f(5,3)时，|AP|2的最小值为4－eq\f(4,5)a2.依题意，得4－eq\f(4,5)a2＝1，∴a＝±eq\f(\r(15),2)∉eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3)))，当eq\f(9,5)a＞3，即eq\f(5,3)＜a＜3.此时x＝3，|AP|2取最小值(3－a)2.依题意，得(3－a)2＝1，∴a＝2.此时P点的坐标是(3,0)．故当a＝2时，存在这样的点P满足条件，P点坐标为(3,0)．20．(12分)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，直线l为圆O：x2＋y2＝b2的一条切线，记椭圆C的离心率为e.(1)若直线l的倾斜角为eq\f(π,3)，且恰好经过椭圆C的右顶点，求e的大小；(2)在(1)的条件下，设椭圆C的上顶点为A，左焦点为F，过点A与AF垂直的直线交x轴的正半轴于B点，且过A，B，F三点的圆恰好与直线l：x＋eq\r(3)y＋3＝0相切，求椭圆C的方程．解(1)如图，设直线l与圆O相切于E点，椭圆C的右顶点为D，则由题意易知，△OED为直角三角形，且|OE|＝b，|OD|＝a，∠ODE＝eq\f(π,3)，∴|ED|＝eq\r(|OD|2－|OE|2)＝c(c为椭圆C的半焦距)．∴椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).(2)由(1)知，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴可设a＝2m(m>0)，则c＝m，b＝eq\r(3)m，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,4m2)＋eq\f(y2,3m2)＝1.∴A(0，eq\r(3)m)，∴|AF|＝2m.直线AF的斜率kAF＝eq\r(3)，∴∠AFB＝60°.在Rt△AFB中，|FB|＝eq\f(|AF|,cos∠AFB)＝4m，∴B(3m,0)，设斜边FB的中点为Q，则Q(m,∵△AFB为直角三角形，∴过A，B，F三点的圆的圆心为斜边FB的中点Q，且半径为2m∵圆Q与直线l：x＋eq\r(3)y＋3＝0相切，∴eq\f(|m＋3|,\r(1＋3))＝2m.∵m是大于0的常数，∴m＝1.故所求的椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.21．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq\r(\f(2,3))，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．解(1)由e＝eq\r(\f(2,3))＝eq\f(c,a)，得a2＝eq\f(3,2)c2.又a2－b2＝c2，∴a2＝3b2.故椭圆的方程为x2＋3y2＝3b2.又椭圆上的点P(x，y)到点Q(0,2)的距离d＝eq\r(x－02＋y－22)＝eq\r(3b2－3y2＋y－22)＝eq\r(3b2＋6－2y＋12)∴当y＝－1时，有eq\r(3b2＋6)＝3，解得b＝1.∴椭圆的方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)S△AOB＝eq\f(1,2)|OA|·|OB|sin∠AOB＝eq\f(1,2)sin∠AOB，当∠AOB＝90°，S△AOB取最大值eq\f(1,2)，此时点O到直线l距离d＝eq\f(1,\r(m2＋n2))＝eq\f(\r(2),2)，∴m2＋n2＝2.又∵eq\f(m2,3)＋n2＝1，解得：m2＝eq\f(3,2)，n2＝eq\f(1,2).∴点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),2)，\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\(\rc\