【高考解码】2021届高三数学二轮复习(新课标)-攻略三-应用题、最值与范围问题

攻略三应用题、最值与范围问题一、应用题应用题是历年高考的常考题型，其特点在于用文字表述，具有肯定的问题背景，考查形式机敏多变，是考查同学们的应用意识，以及用所学基础学问分析和解决问题的力量、规律推理力量、运算力量、数据处理力量等各个方面力量的有效载体．1．与函数、导数、不等式有关的应用问题对于实际生活中的一些优化问题，如成本最低、利润最大、用料最省等问题，经常需要将实际问题抽象为数学问题，然后化为函数的最值来解决，而求解函数最值最有效的方法是导数法．因此，导数被广泛地应用于实际活动中的一些优化问题的求解过程，成为求解这些优化问题的首选．【例1】某企业拟建筑如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，依据设计要求容器的容积为eq\f(80,3)π立方米，且l≥2r.假设该容器的建筑费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建筑费用为3千元，半球形部分每平方米建筑费用为c(c>3)千元．设该容器的建筑费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建筑费用最小时的r.【解】(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋eq\f(4,3)πr3，又V＝eq\f(80π,3)，故l＝eq\f(V－\f(4,3)πr3,πr2)＝eq\f(80,3r2)－eq\f(4,3)r＝eq\f(4,3)(eq\f(20,r2)－r)．由于l≥2r，因此0<r≤2.所以建筑费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×eq\f(4,3)(eq\f(20,r2)－r)×3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋eq\f(160π,r)，0<r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－eq\f(160π,r2)＝eq\f(8πc－2,r2)(r3－eq\f(20,c－2))，0<r≤2.由于c>3，所以c－2>0.当r3－eq\f(20,c－2)＝0时，r＝eq\r(3,\f(20,c－2)).令eq\r(3,\f(20,c－2))＝m，则m>0，所以y′＝eq\f(8πc－2,r2)(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0<m<2，即c>eq\f(9,2)时，当r＝m时，y′＝0；当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2)时，y′>0，所以r＝m是函数y的微小值点，也是最小值点．②当m≥2，即3<c≤eq\f(9,2)时，当r∈(0,2)时，y′<0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3<c≤eq\f(9,2)时，建筑费用最小时r＝2；当c>eq\f(9,2)时，建筑费用最小时r＝eq\r(3,\f(20,c－2)).2．与数列有关的应用题现实生活中涉及到银行利率、分期付款、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率等实际问题，经常考虑用数列学问加以解决．能够把实际问题转化成数列问题，并且能够明确是等差数列还是等比数列，确定首项，公差(比)，项数各是什么，能分清是某一项还是某些项的性质是解决问题的关键．【例2】(2022·福建厦门质检)在一次聘请会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录用．甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加8%.(1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？(2)为了吸引小李的加盟，乙公司打算在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴7200元那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？(参考数据：1.084≈1.4,1.085≈1.5,1.0810≈2.2，1.0811≈2.3)【解】(1)依题意设小李在乙公司工作第n年的年薪为bn万元．则{bn}是等比数列，b5＝4.8×(1＋8%)4＝6.72.答：小李在乙公司连续工作5年，他在第5年的年薪为6.72万元．(2)小李在乙公司连续工作10年，总收入为(b1＋b2＋…＋b10)＋7.2＝72＋7.2＝79.2(万元)．设小李在甲公司工作第n年的年薪为an万元，则{an}是以4.2为首项，公差为0.6的等差数列．若小李在甲公司连续工作n年，工资总收入为Sn＝4.2n＋0.3(n－1)n＝0.3n2＋3.9n，依题意得Sn≥79.2，即n2＋13n≥264，(n－11)(n＋24)≥0，n≤－24(舍去)或n≥11.答：小李在甲公司至少要连续工作11年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入．(文)3.与统计、概率有关的应用题概率与统计以其独特的争辩对象和争辩方法在高中数学中占有特殊地位，是高考中的重要内容，不论是思维方法还是解题技巧，与其他部分都有很大的不同，它们是进一步学习数理统计等高等数学的基础．纵观多年考情可发觉，概率与统计的解答题在历年的高考中常考常新．命题体现学问交汇，留意力量立意，强调思维空间，是考查的亮点和生长点．从考查学问点看，主要考查随机大事的概率、古典概型、几何概型、抽样方法、用样本估量总体、回归分析(以上为重点考查内容)，各省市每年必出一道解答题，属中档题．【例3】(2022·广东深圳调研)某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2021年11月11日的网购金额，所得数据如下图(1)：网购金额(单位：千元)频数频率[0,1]160.08(1,2]240.12(2,3]xp(3,4]yq(4,5]160.08(5,6]140.07合计2001.00图(1)图(2)已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰好为3∶2.(1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图(如图(2))；(2)营销部门为了了解该市网友的购物体验，在这200名网友中，用分层抽样方法从网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中抽取5人进行问卷调查．若需从这5人中随机选取2人连续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？【解】(1)依据题意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16＋24＋x＋y＋16＋14＝200，,\f(16＋24＋x,y＋16＋14)＝\f(3,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝80，,y＝50.))∴p＝0.4，q＝0.25.补全频率分布直方图如图所示．(2)依据题意，“网购金额在(1,2]”的群体中应抽取eq\f(24,24＋16)×5＝3人，记为a，b，c，“网购金额在(4,5]”的群体中应抽取eq\f(16,24＋16)×5＝2人，记为A，B.在此5人中随机选取2人，有以下可能状况：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，共10种状况：设“此2人来自不同群体”为大事M，包含了(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共6种可能，∴P(M)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，即此2人来自不同群体的概率是eq\f(3,5).(理)3.与概率、分布列、期望有关的应用题概率与分布列、期望以其独特的争辩对象和争辩方法在高中数学中占有特殊地位，是高考中的重要内容，不论是思维方法还是解题技巧，与其他部分都有很大的不同，它们是进一步学习数理统计等高等数学的基础．纵观多年考情可发觉，概率与分布列、期望的解答题在历年的高考中常考常新，命题体现学问交汇、留意力量立意，强调思维空间，是考查的亮点和生长点，从考查学问点看，主要考查古典与几何概型，互斥大事与相互独立大事、离散型随机变量的分布列、期望与方差、二项分布与独立重复试验等，各省市每年必出一道解答题，属中档题，考查数据处理力量和应用意识．【例3】(2022·福建高考)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行嘉奖，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的嘉奖额．(Ⅰ)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：(ⅰ)顾客所获的嘉奖额为60元的概率；(ⅱ)顾客所获的嘉奖额的分布列及数学期望；(Ⅱ)商场对嘉奖总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的嘉奖总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的嘉奖额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．【解】(Ⅰ)设顾客所获的嘉奖额为X.(ⅰ)依题意，得P(X＝60)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，即顾客所获的嘉奖额为60元的概率为eq\f(1,2).(ⅱ)依题意，得X的全部可能取值为20,60.P(X＝60)＝eq\f(1,2)，P(X＝20)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，即X的分布列为X2060Peq\f(1,2)eq\f(1,2)所以顾客所获的嘉奖额的期望为E(X)＝20×eq\f(1,2)＋60×eq\f(1,2)＝40(元)．(Ⅱ)依据商场的预算，每个顾客的平均嘉奖额为60元．所以，先查找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的状况，假如选择(10,10,10,50)的方案，由于60元是面值之和的最大值，所以期望不行能为60元；假如选择(50,50,50,10)的方案，由于60元是面值之和的最小值，所以期望也不行能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的状况，同理可排解(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的嘉奖额为X1，则X1的分布列为X12060100Peq\f(1,6)eq\f(2,3)eq\f(1,6)X1的期望为E(X1)＝20×eq\f(1,6)＋60×eq\f(2,3)＋100×eq\f(1,6)＝60，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×eq\f(1,6)＋(60－60)2×eq\f(2,3)＋(100－60)2×eq\f(1,6)＝eq\f(1600,3).对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的嘉奖额为X2，则X2的分布列为X2406080Peq\f(1,6)eq\f(2,3)eq\f(1,6)X2的期望为E(X2)＝40×eq\f(1,6)＋60×eq\f(2,3)＋80×eq\f(1,6)＝60，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×eq\f(1,6)＋(60－60)2×eq\f(2,3)＋(80－60)2×eq\f(1,6)＝eq\f(400,3).由于两种方案的嘉奖额的期望都符合要求，但方案2嘉奖额的方差比方案1的小，所以应当选择方案2.二、最值与范围问题最值与范围问题是高考命题的重点与热点，涉及到高中数学的全部主干学问，尤其是在函数与导数、解析几何等中情有独钟，特殊关爱命制试题，以此考查同学的数学思想与方法及分析问题解决问题的力量．1．与函数、导数有关的最值与范围问题在函数与导数中，不少问题需转化为最值与范围有关的问题，如恒成立问题、不等式问题、方程的根与函数的零点问题等，从而构成了各省市高考数学试题中的主流方向．【例4】(2022·山东德州一模)已知函数f(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2－2x.(1)若函数f(x)在x＝2处取得极值，求实数a的值；(2)若函数f(x)在定义域内单调递增，求a的取值范围；(3)若a＝－eq\f(1,2)时，关于x的方程f(x)＝－eq\f(1,2)x＋b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．【解】(1)f′(x)＝－eq\f(ax2＋2x－1,x)(x>0)∵x＝2时f(x)取得极值．∴f′(x)＝0，解得a＝－eq\f(3,4)，经检验符合题意．(2)依题意f′(x)≥0在x>0时恒成立，即ax2＋2x－1≤0在x>0时恒成立．则a≤eq\f(1－2x,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))2－1在x>0时恒成立，即a≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))2－1))min(x>0)．当x＝1时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))2－1取最小值－1.∴a的取值范围是(－∞，－1]．(3)a＝－eq\f(1,2)，f(x)＝－eq\f(1,2)x＋b⇔eq\f(1,4)x2－eq\f(3,2)x＋lnx－b＝0.设g(x)＝eq\f(1,4)x2－eq\f(3,2)x＋lnx－b(x>0)．则g′(x)＝eq\f(x－2x－1,2x).列表：x(0,1)1(1,2)2(2,4)g′(x)＋0－0＋g(x)极大值微小值∴g(x)min＝g(2)＝ln2－b－2，g(x)max＝g(1)＝－b－eq\f(5,4)，g(4)＝2ln2－b－2.∵方程g(x)＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1≥0，,g2<0，,g4≥0，))得ln2－2<b≤－eq\f(5,4).∴实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(ln2－2，－\f(5,4))).2．与圆锥曲线有关的最值与范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题．这些问题往往通过定义，结合几何学问，建立目标函数，利用函数的性质或不等式学问，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决．解题时要留意函数思想的运用，要留意观看、分析图形的特征，将形和数结合起来．解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．留意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围．【例5】如图，已知椭圆C的离心率为eq\f(\r(3),2)，A，B，F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且S△ABF＝1－eq\f(\r(3),2).(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：y＝kx＋m被圆O：x2＋y2＝4所截得的弦长为2eq\r(3)，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．【解】(1)由已知椭圆C的焦点在x轴上，设其方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则A(a,0)，B(0，b)，F(c,0)(c＝eq\r(a2－b2))．由已知可得e2＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(3,4)，所以a2＝4b2，即a＝2b，①故c＝eq\r(3)b.②S△AFB＝eq\f(1,2)×|AF|×|OB|＝eq\f(1,2)(a－c)b＝1－eq\f(\r(3),2).③把①②代入③，得eq\f(1,2)(2b－eq\r(3)b)b＝1－eq\f(\r(3),2)，解得b＝1，故a＝2，c＝eq\r(3)，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)圆O的圆心为坐标原点，半径为2，由于l被圆O所截得的弦长为2eq\r(3)，所以圆心O到直线l的距离为d＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，即eq\f(|m|,\r(1＋k2))＝1，故有m2＝1＋k2.④由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝kx＋m，))消去y得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋k2))x2＋2kmx＋m2－1＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由根与系数的关系可知x1＋x2＝－eq\f(2km,\f(1,4)＋k2)＝－eq\f(8km,4k2＋1)，x1x2＝eq\f(m2－1,\f(1,4)＋k2)＝eq\f(4m2－4,4k2＋1).所