2025年人教版八年级数学寒假预习 第01讲 二次根式（3个知识点+5大考点举一反三+过关测试）

第01讲二次根式模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解二次根式的概念；2．理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围；3．掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简。知识点1：二次根式二次根式的概念一般地，我们把形如的式子的式子叫做二次根式，称为称为二次根号．二次根式满足条件：必须含有二次根号被开方数必须是非负数如二次根式满足条件：必须含有二次根号被开方数必须是非负数知识点2：二次根式有无意义的条件条件字母表示二次根式有意义被开方数为非负数二次根式无意义被开方数为负数知识点3：二次根式的性质1.的性质符号语言文字语言一个非负数的算数平方根是非负数提示有最小值，为02.的性质符号语言应用正用：逆用：若a≥0，则提示逆用可以再实数范围内分解因式：如3.的性质符号语言a（a＞0）0（a=0)-a(a＜0）文字语言任意一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值应用正用：逆用：考点一：二次根式的概念例1.下列式子中，是二次根式的是（）A．6 B．52 C．5 D．【变式1-1】下列式子一定是二次根式的是（

）A．a B．−a C．33 【变式1-2】下列式子中，是二次根式的是（

）A．π B．35 C．32 【变式1-3】当a=6时，二次根式a−2的值为．考点二：求二次根式中的参数例2.已知n是一个正整数，28n是整数，则n的最小值为（

）A．4 B．6 C．7 D．14【变式2-1】已知n是正整数，140n是整数，则n的最小值是．【变式2-2】已知n是正整数，50n是整数，则n的最小值为．【变式2-3】若8−m是整数，则正整数m的最小值是．考点三：二次根式有意义的条件例3.当a是怎样的实数时，2a+3在实数范围内有意义（

）A．a≤−32 B．a≠−32 C．【变式3-1】若二次根式a−2在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a>2 B．a≤2 C．a≠2 D．a≥2【变式3-2】若代数式16+x有意义．则x的取值范围是（

A．x≥−6 B．x>−6 C．x≤−6 D．x≤6【变式3-3】若y=2x−1+1−2x+1，则考点四：利用二次根式的性质化简例4.实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简:a2−b2【变式4-1】将x−111−x根号外的因式移到根号内，结果为（A．1−x B．−1−x C．x−1 D．【变式4-2】若x−32=x−3，则x的取值范围是（A．x>−3 B．x≥3 C．x≤3且x≠0 D．【变式4-3】已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则a2−c−aA．−2a B．−2a−b C．−b D．−2b−a

考点五：复合二次根式的化简例5.阅读下列材料回答问题：形如m+2n的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b=m，ab=n，则a2+b2=m，ab=n，那么便有m±2n=((1)填空：6+25=______，(2)化简：①5+26②8−43(3)计算：4−7【变式5-1】先阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式a2±2ab+b3+22解决问题：(1)在横线和括号内上填上适当的数：4+23(2)根据上述思路，试将9−45【变式5-2】阅读材料．把根式x±2y进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2=x且mn=y如：3+2解答问题：(1)填空：5+26=______，(2)3−2【变式5-3】先阅读材料，然后回答问题．(1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简5−265−26==22=2−=2−在上述化简过程中，第步出现了错误，化简的正确结果为；(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：①6−2②8+4一、单选题1．下列各式是二次根式的是（

）A．−2 B．x C．3 D．32．下列各式中，化简正确的是（

）A．4=±2 B．C．(−6)23．把a−1a的根号外的因式aA．−−a B．−a C．−a 4．下列结论中，正确的是（

）A．9的算术平方根是3 B．4C．3−278二、填空题5．若x−1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．6．已知1<x<2，则x−22+7．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：a2+b8．如果一个正方形的面积为12，则这个正方形的边长为．9．满足3<x<7的整数x是10．已知32n+16是整数，则n的最小整数值是．三、解答题11．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，M=|b−2|+a+2(1)化简M；(2)当|a−32|+12．（1）填空：5−12=；（2）例题：化简5+2解：因为5+2所以5+26仿照上例的方法，化简下列各式：①4−23②4+23第01讲二次根式模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解二次根式的概念；2．理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围；3．掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简。知识点1：二次根式二次根式的概念一般地，我们把形如的式子的式子叫做二次根式，称为称为二次根号．二次根式满足条件：必须含有二次根号被开方数必须是非负数如二次根式满足条件：必须含有二次根号被开方数必须是非负数知识点2：二次根式有无意义的条件条件字母表示二次根式有意义被开方数为非负数二次根式无意义被开方数为负数知识点3：二次根式的性质1.的性质符号语言文字语言一个非负数的算数平方根是非负数提示有最小值，为02.的性质符号语言应用正用：逆用：若a≥0，则提示逆用可以再实数范围内分解因式：如3.的性质符号语言a（a＞0）0（a=0)-a(a＜0）文字语言任意一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值应用正用：逆用：考点一：二次根式的概念例1.下列式子中，是二次根式的是（）A．6 B．52 C．5 D．【答案】A【分析】本题考查了二次根式的定义．根据形如aa≥0【详解】解：A、6是二次根式，A符合题意；B、52C、5不是二次根式，C不符合题意；D、25故选：A．【变式1-1】下列式子一定是二次根式的是（

）A．a B．−a C．33 【答案】D【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如a（a≥0）是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数即可得解．【详解】解：A、当a<0时，a不是二次根式，该选项不符合题意；B、当a<0时，−aC、33D、∵a2≥0，∴故选：D．【变式1-2】下列式子中，是二次根式的是（

）A．π B．35 C．32 【答案】D【分析】本题考查了二次根式的定义，熟记“形如aa≥0【详解】解：A、π不是二次根式，不符合题意；B、35C、32D、3是二次根式，符合题意；故选：D【变式1-3】当a=6时，二次根式a−2的值为．【答案】2【分析】本题考查了二次根式的求值．将a=6代入代数式求值即可．【详解】解：当a=6时，a−2=故答案为：2．考点二：求二次根式中的参数例2.已知n是一个正整数，28n是整数，则n的最小值为（

）A．4 B．6 C．7 D．14【答案】C【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值．【详解】解：28n=∵28n是整数，n是一个正整数，∴n的最小值是7．故选：C．【变式2-1】已知n是正整数，140n是整数，则n的最小值是．【答案】35【分析】本题主要考查了二次根式的化简．根据题意140n可变形为235n【详解】解：∵140n=235n，140n是整数，∴n的最小值为35．故答案为：35【变式2-2】已知n是正整数，50n是整数，则n的最小值为．【答案】2【分析】本题考查了二次根式的定义和性质．能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值．【详解】解：50n=∵50n是整数，∴n的最小值是2．故答案为：2．【变式2-3】若8−m是整数，则正整数m的最小值是．【答案】4【分析】根据二次根式有意义的条件和m为正整数，得出0≤8−m<8，即可得出m的值．【详解】解：∵8−m有意义，∴8−m≥0，解得：m≤8，∵m是正整数，∴0<m≤8，∴0≤8−m<8，∵8−m是整数，∴8−m=0,1,4，解得：m=8,7,4，∴正整数m的最小值是4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数．考点三：二次根式有意义的条件例3.当a是怎样的实数时，2a+3在实数范围内有意义（

）A．a≤−32 B．a≠−32 C．【答案】C【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数非负．根据被开方数非负得到2a+3≥0，再解不等式即可．【详解】解：由题意得2a+3≥0，解得：a≥−3故选：C．【变式3-1】若二次根式a−2在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a>2 B．a≤2 C．a≠2 D．a≥2【答案】D【分析】本题主要考查了解不等式以及二次根式有意义的条件等知识点，根据二次根式有意义的条件，解不等式即可得解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决此题的关键．【详解】解：∵二次根式a−2在实数范围内有意义，∴a−2≥0，∴a≥2，故选：D．【变式3-2】若代数式16+x有意义．则x的取值范围是（

A．x≥−6 B．x>−6 C．x≤−6 D．x≤6【答案】B【分析】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式和分式有意义的条件可得6+x>0，再求解即可．【详解】解：由题意得：6+x>0，解得：x>−6，故选：B．【变式3-3】若y=2x−1+1−2x+1，则【答案】1【分析】本题考查了二次根式的概念，理解二次根式被开方数大于或等于零是解决问题的关键．2x−1和1−2x被开方数互为相反数，且必须大于或等于零，所以2x−1=1−2x=0，由此可以求得x，y的值．【详解】解：∵2x−1和1−2x有意义，∴2x−1≥0∴2x−1=1−2x=0，∴x=1∴y=2x−1∴2xy=2×1故答案为：1．考点四：利用二次根式的性质化简例4.实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简:a2−b2【答案】−2a【分析】本题主要考查了数轴，二次根式的性质与化简，利用数轴得出b>0,a−b<0,a<0，进而化简得出答案，正确得出各部分符号是解题关键．【详解】解：如图所示：b>0,a−b<0,a<0，∴a=−a−b+b−a=−2a，故答案为：−2a．【变式4-1】将x−111−x根号外的因式移到根号内，结果为（A．1−x B．−1−x C．x−1 D．【答案】B【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是根据题意得出1−x>0．根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：∵11−x∴1−x>0，∴x−1=−=−=−=−1−x故选：B．【变式4-2】若x−32=x−3，则x的取值范围是（A．x>−3 B．x≥3 C．x≤3且x≠0 D．【答案】B【分析】此题考查了二次根式性质化简，掌握二次根式的性质是关键．根据二次根式的性质得出不等式进行计算即可．【详解】解：∵x−32∴x−3≥0，解得：x≥3，故选：B．【变式4-3】已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则a2−c−aA．−2a B．−2a−b C．−b D．−2b−a【答案】C【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，数轴上的点表示实数，理解并运用二次根式的性质是解题的关键．根据数轴可得到a<0，c−a>0，b−c<0，再根据所给的二次根式的性质即可求解．【详解】解：由数轴可知，a<b<0<c，|c|<|b|，∴c−a>0，b−c<0，∴=|a|−|c−a|+|b−c|=−a−=−a−c+a−b+c=−b；故选：C．

考点五：复合二次根式的化简例5.阅读下列材料回答问题：形如m+2n的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b=m，ab=n，则a2+b2=m，ab=n，那么便有m±2n=((1)填空：6+25=______，(2)化简：①5+26②8−43(3)计算：4−7【答案】(1)1+5；(2)①2+3；(3)7【分析】本题主要考查了化简复合二次根式：（1）先把6+25变形为12+25+52（2）①根据5+26=2+3（3）先把原式变形为=8−274【详解】（1）解：6+2====1+511+2====1+10故答案为：1+5；1+（2）解：①5+2====2②8−4====6（3）解：4−=====7【变式5-1】先阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式a2±2ab+b3+22解决问题：(1)在横线和括号内上填上适当的数：4+23(2)根据上述思路，试将9−45【答案】(1)3；1；3+1；(2)5【分析】本题主要考查了复合二次根式化简：（1）根据4=1+3=32+（2）根据9=5+4=52+【详解】（1）解：4+2=====3故答案为：3；1；3+1；3（2）解：9−4=====5【变式5-2】阅读材料．把根式x±2y进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2=x且mn=y如：3+2解答问题：(1)填空：5+26=______，(2)3−2【答案】(1)2+3(2)−1+【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．（1）仿照例题，根据(2（2）根据材料提供计算步骤，对3−22【详解】（1）解：∵5+26∴5+2∵7−43∴7−4（2）解：3−2====−1+5【变式5-3】先阅读材料，然后回答问题．(1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简5−265−26==22=2−=2−在上述化简过程中，第步出现了错误，化简的正确结果为；(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：①6−2②8+4【答案】(1)④，3(2)①5−1；②【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．（1）根据二次根式的性质a2（2）根据（1）中的材料化简即可．【详解】（1）解：5−26==22=2−=3−在上述化简过程中，第④步出现了错误，3故答案为：④，3−（2）解：①原式====5②原式====6一、单选题1．下列各式是二次根式的是（

）A．−2 B．x C．3 D．3【答案】C【分析】本题考查了二次根式的定义，熟知这个定义是解题的关键．形如aa≥0【详解】解：A、被开方数−2为负数，所以−2不是二次根式，故此选项不符合题意；B、被开方数x有可能为负数，所以x不是二次根式，故此选项不符合题意；C、被开方数3为正数，所以3是二次根式，故此选项不符合题意；D、根指数为3，所以35故选：C．2．下列各式中，化简正确的是（

）A．4=±2 B．C．(−6)2【答案】C【分析】此题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．直接根据二次根式的性质逐项判断即可．【详解】解：A、4=2B、(−3)2C、(−6D、−3，根号里面的数不能为负数，该选项错误，不符合题意．故选：C．3．把a−1a的根号外的因式aA．−−a B．−a C．−a 【答案】A【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得−1a>0【详解】解：根据题意可得−1a>0那么a故选：A．4．下列结论中，正确的是（

）A．9的算术平方根是3 B．4C．3−278【答案】C【分析】本题考查了算术平方根，立方根，二次根式的性质，据此相关运算法则进行逐项分析，即可作答．【详解】解：A、9=3，则3的算术平方根是3B、49C、3−D、−6故选：C二、填空题5．若x−1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．【答案】x≥1【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得．【详解】解：由题意可得x−1≥0∴x−1≥0，∴x≥1，故答案为：x≥1．6．已知1<x<2，则x−22+【答案】1【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．根据题意得到x−2<0，x−1>0，根据二次根式以及绝对值的性质，化简即可．【详解】解：∵1<x<2，∴x−2<0，x−1>0，∴x−2故答案为：1．7．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：a2+b【答案】2b−2a【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质，由数轴可得：−1<a<0<b<1，a>b，从而得出【详解】解：由数轴可得：−1<a<0<b<1，a>∴a−b<0，∴a2故答案为：2b−2a．8．如果一个正方形的面积为12，则这个正方形的边长为．【答案】2【分析】本题考查了二次根式的性质，根据正方形的面积公式正确建立等式是解题关键．设这个正方形的边长为a，再根据正方形的面积公式和二次根式的性质即可得．【详解】解：设这个正方形的边长为a，由题意得：a2解得a=12=23故答案为：239．满足3<x<7的整