【名师一号】2020-2021学年人教A版高中数学选修2-2双基限时练17

双基限时练(十七)1．在△ABC中，“eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))>0”是“△ABC为锐角三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由Aeq\o(B,\s\up6(→))·Aeq\o(C,\s\up6(→))>0⇒∠A为锐角，而角B，C并不能判定，反之若△ABC为锐角三角形，肯定有Aeq\o(B,\s\up6(→))·Aeq\o(C,\s\up6(→))>0.答案B2．已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝eq\f(π,8)对称，则φ可能是()A.eq\f(π,2) B．－eq\f(π,4)C.eq\f(π,4) D.eq\f(3,4)π解析由题意知，sin(eq\f(π,4)＋φ)＝±1，∴当φ＝eq\f(π,4)时，sin(eq\f(π,4)＋eq\f(π,4))＝sineq\f(π,2)＝1.答案C3．已知a，b，c是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出四个命题：①a∥b，b∥α，则a∥α；②a，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β；③a⊥α，a∥β，则α⊥β；④a⊥α，b∥α，则a⊥b.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析①由于a∥b，b∥α⇒a∥α，或a⊂α，所以①不正确．②由于a，b⊂α，a∥β，b∥β，当a与b相交时，才能α∥β，所以②不正确．③a∥β，过a作一平面γ，设γ∩β＝c，则c∥a，又a⊥α⇒c⊥α⇒α⊥β，所以③正确．④a⊥α，b∥α⇒a⊥b，所以④正确．综上知③，④正确．答案B4．a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是()A．a＋b＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(2)B．(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))≥4C.eq\f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋bD.eq\f(2ab,a＋b)≥eq\r(ab)解析特殊值法，取a＝1，b＝4，则D不成立．答案D5．设a>0，b>0，若eq\r(3)是3a与3b的等比中项，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为()A．8 B．4C．1 D.eq\f(1,4)解析∵a>0，b>0,3a·3b＝(eq\r(3))2，∴a＋b＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝1＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋1≥2＋2eq\r(\f(b,a)×\f(a,b))＝4.答案B6．p＝eq\r(ab)＋eq\r(cd)，q＝eq\r(ma＋nc)·eq\r(\f(b,m)＋\f(d,n))，(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p与q的大小关系为________．解析∵p2＝ab＋cd＋2eq\r(abcd)，q2＝(ma＋nc)(eq\f(b,m)＋eq\f(d,n))＝ab＋eq\f(nbc,m)＋eq\f(mad,n)＋cd≥ab＋cd＋2eq\r(abcd).∴q2≥p2，∴p≤q.答案p≤q7．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．解析∵x2＋mx＋4<0⇔m<－x－eq\f(4,x)，∵y＝－(x＋eq\f(4,x))在(1,2)上单调递增，∴－(x＋eq\f(4,x))∈(－5，－4)，∴m≤－5.答案m≤－58．若不等式(－1)na<2＋eq\f(－1n＋1,n)对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．解析当n为偶数时，a<2－eq\f(1,n)≤2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)；当n为奇数时，－a<2＋eq\f(1,n)，a>－2－eq\f(1,n)，而－2－eq\f(1,n)<－2，∴a≥－2.综上知－2≤a<eq\f(3,2).答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(3,2)))9．求证：ac＋bd≤eq\r(a2＋b2)·eq\r(c2＋d2).证明(1)当ac＋bd<0时，ac＋bd≤eq\r(a2＋b2)·eq\r(c2＋d2)明显成立．(2)当ac＋bd≥0时，要证ac＋bd≤eq\r(a2＋b2)·eq\r(c2＋d2)成立，只需证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)成立，只需证2abcd≤a2d2＋b2c2只需证(ad－bc)2≥0成立．而(ad－bc)2≥0明显成立．∴ac＋bd≤eq\r(a2＋b2)·eq\r(c2＋d2)成立．综上所述ac＋bd≤eq\r(a2＋b2)·eq\r(c2＋d2)成立．10．在△ABC中，若a2＝b(b＋c)，求证：A＝2B.证明∵a2＝b(b＋c)，∴a2＝b2＋bc.由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋c2－b2＋bc,2bc)＝eq\f(c－b,2b).又∵cos2B＝2cos2B－1＝2(eq\f(a2＋c2－b2,2ac))2－1＝2(eq\f(b＋c,2a))2－1＝eq\f(b＋c2－2a2,2a2)＝eq\f(b＋c2－2b2－2bc,2bb＋c)＝eq\f(c－b,2b)，∴cosA＝cos2B.又∵A，B是三角形的内角，∴A＝2B.11．如下图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C证明(1)由E，F分别是A1B，A1C的中点知，EF∥BC∵EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知，CC1⊥平面A1B1C1，又A1D⊂平面A1B1∴A1D⊥CC1，又A1D⊥B1CCC1∩B1C＝C，又CC1，B1C⊂平面BB1C1C，∴A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，∴平面12．如图，已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A在椭圆上，满足AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为eq\f(1,3)|OF2|.求证：a＝eq\r(2)b.证明设F1(－c,0)，F2(c,0)，则|OF2|＝c.设A(x0，y0)，∵AF2⊥F1F2，∴x0＝c∵点A(x0，y0)在椭圆上，∴eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1.解得y0＝±eq\f(b2,a).∴|AF2|＝eq\f(b2,a).由椭圆的定义，得|AF1|＝2a－|AF2|＝2a－eq\f(b2,a)＝eq\f(2a2－b2,a).在Rt△AF2F1中，O是F1F∴O到AF1的距离为d＝eq\f(