【名师一号】2020-2021学年人教A版高中数学选修2-1双基限时练15

双基限时练(十五)1．方程y＝－2eq\r(x)所表示曲线的外形是()解析由y＝－2eq\r(x)，知y≤0，x≥0，因此选D.答案D2．过点M(3,2)作直线l与抛物线y2＝8x只有一个交点，这样的直线共有()A．0条 B．1条C．2条 D．3条解析由于点M(3,2)在抛物线y2＝8x的内部，所以过点M平行x轴的直线y＝2，适合题意，因此只有一条．答案B3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，则|AB|＝()A．8 B．10C．6 D．4解析由题意知，|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.答案A4．抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为()A．(4eq\r(2)，±2) B．(±4eq\r(2)，2)C．(±2,4eq\r(2)) D．(2，±4eq\r(2))解析抛物线y2＝16x的顶点O(0,0)，焦点F(4,0)，设P(x，y)适合题意，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝16x，,x2＋y2＝x－42＋y2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝16x，,x＝2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝±4\r(2)，))∴适合题意的点为(2，±4eq\r(2))．答案D5．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))的值是()A．12 B．－12C．3 D．－3解析特例法，∵y2＝4x的焦点F(1,0)，设过焦点F的直线为x＝1，∴可求得A(1，－2)，B(1,2)．∴eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))＝1×1＋(－2)×2＝－3.答案D6．过抛物线y2＝4x的焦点F，作倾斜角为eq\f(π,3)的直线，交抛物线于A，B两点，则|AB|的长为________．解析由y2＝4x知F(1,0)，可得直线AB的方程为y＝eq\r(3)(x－1)，与y2＝4x联立，可求得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(2\r(3),3)))，B(3,2eq\r(3))．∴|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)＋\f(2\r(3),3)))2)＝eq\f(16,3).答案eq\f(16,3)7．抛物线y2＝2px(p＞0)上有一点纵坐标为－4eq\r(2)，这点到准线的距离为6，则抛物线的方程为__________．解析设点(x0，－4eq\r(2))，则(－4eq\r(2))2＝2px0，∴x0＝eq\f(32,2p)＝eq\f(16,p).又由抛物线的定义知x0＋eq\f(p,2)＝6，∴eq\f(16,p)＋eq\f(p,2)＝6，即p2－12p＋32＝0，解得p＝4，或p＝8.∴抛物线方程为y2＝8x，或y2＝16x.答案y2＝8x，或y2＝16x8．若抛物线y2＝mx与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1有一个共同的焦点，则m＝__________.解析由eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1得焦点(－2,0)，(2,0)．当焦点为(－2,0)时，抛物线开口向左，∴m＜0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＝2p，,\f(p,2)＝2))⇒m＝－8；当焦点为(2,0)时，抛物线开口向右，∴m＞0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2p，,\f(p,2)＝2))⇒m＝8.答案8或－89．已知直线l过点A(－eq\f(3p,2)，p)，且与抛物线y2＝2px只有一个公共点，求直线l的方程．解当直线与抛物线只有一个公共点时，设直线方程为：y－p＝k(x＋eq\f(3p,2))．将直线l的方程与y2＝2px联立，消去x得ky2－2py＋(2＋3k)p2＝0由Δ＝0得，k＝eq\f(1,3)，或k＝－1.∴直线l的方程为2x－6y＋9p＝0，或2x＋2y＋p＝0.当直线l与x轴平行时，直线l与抛物线只有一个交点，此时，y＝p，故满足条件的直线共有三条，其方程为：2x－6y＋9p＝0，或2x＋2y＋p＝0，或y＝p.10．线段AB过x轴正半轴上肯定点M(m,0)，端点A，B到x轴的距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A，O，B解画图知，抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线AB的方程为x＝ay＋m.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,x＝ay＋m))消去x，并整理得y2－2apy－2mp＝0.由根与系数的关系得y1y2＝－2mp.由已知得|y1||y2|＝2m则p＝1.故抛物线的方程为y2＝2x.11．已知抛物线y2＝2x，(1)设点A的坐标为(eq\f(2,3)，0)，在抛物线上求一点P，使|PA|最小；(2)在抛物线上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．解(1)设P(x，y)，则|PA|2＝(x－eq\f(2,3))2＋y2＝(x－eq\f(2,3))2＋2x＝(x＋eq\f(1,3))2＋eq\f(1,3).∵x≥0且在此区间上函数单调递增，故当x＝0时，|PA|有最小值eq\f(2,3)，离A点最近的点P(0,0)．(2)设点P(x0，y0)是抛物线y2＝2x上任一点，则P到直线x－y＋3＝0的距离为d＝eq\f(|x0－y0＋3|,\r(2))＝eq\f(|\f(y\o\al(2,0),2)－y0＋3|,\r(2))＝eq\f(|y0－12＋5|,2\r(2))，∴当y0＝1，d有最小值eq\f(5\r(2),4).∴点P的坐标为(eq\f(1,2)，1)．12．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)当△OAB的面积等于eq\r(10)时，求k的值．解(1)证明：如图所示，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝－x，,y＝kx＋1))消去x，整理得ky2＋y－k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－1.∵A，B在抛物线上，∴yeq\o\al(2,1)＝－x1，yeq\o\al(2,2)＝－x2，∴yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＝x1x2.又∵kOA·kOB＝eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝eq\f(y1y2,x1x2)＝eq\f(1,y1y2)＝－1，∴OA⊥OB.(2)设直线与x轴交于N，明显k≠0，令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)．∴S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝eq\f(1,2)|ON||y1|＋eq\f(1,2)|ON||y2|＝eq\f(1,2)|ON||y1－y2|.而|y1－y2|＝eq\r(y1－y22)＝eq\