二次型的基本概念

二次型的基本概念二次型的基本概念c在平面解析几何中，一个有心的二次曲线（如圆、椭圆），当其中心与坐标原点重合时，它的一般方程可以写成ax2+2bxy+cy2=d（7-1）式（7-1）的左端为一个关于x,y的二次齐次多项式.为了进一步地研究这个二次曲线的性质，通常用配方法或者选择一个坐标旋转变换

（7-2）将式（7-1）变成一个不含有混合二次项的标准方程a′x′2+c′y′2=d′（7-3）式（7-3）的左端是一个关于x′,y′的二次齐次多项式.显然，式（7-3）左端的二次齐次多项式较式（7-1）的左端要简单一些.这种二次齐次多项式及其（通过坐标变换）简化为标准方程的过程，不止在几何中进行讨论，在数学的众多其他分支和物理、力学等学科的理论或实际问题中也经常会遇到.这里把这些问题进行一般化，介绍一般的二次齐次多项式及其化简问题.二次型及其矩阵一、将以x1,x2,…,xn为变量的n元二次齐次多项式f(x1,x2,…,xn)=a11x21+2a12x1x2+2a13x1x

3+…+2a1nx1xn+a22x22+2a23x2x3+…+2a2nx2xn

…+annx2n（7-4）称为一个n元二次型，在不发生混淆时，简称为二次型.定义7-1利用矩阵的运算，式（7-4）中的二次型也可以表示为则二次型f(x1,x2,…,xn)可以简记成f(x1,x2,…,xn)=XTAX（7-6）并且，将矩阵A称为二次型f(x1,x2,…,xn)的矩阵.由于我们约定aji=aij，i<j

因此矩阵A是一个对称矩阵，即二次型的矩阵为一个对称矩阵.根据上面的讨论，任意给定一个n元二次型f(x1,x2,…,xn)，可以得到一个与之唯一对应的对称矩阵A；反过来，任意给定一个n阶对称矩阵A，也可以按照式（7-6）唯一地定义一个n元二次型.于是，在二次型与其矩阵的对应关系下，n元二次型与n阶对称矩阵是一一对应的，这样二次型的问题就转化为对称矩阵的问题.当二次型的系数均为复数，即对应的矩阵为复矩阵时，称其为复二次型；当其系数均为实数时，称此二次型为实二次型.如果不特别声明，本章讨论的二次型均指实二次型.【例7-1】其中，α=(x1,x2,…,xn)T∈Rn，A是二次型f(x1,x2,…,xn)的矩阵.这样二次型就是向量α的n个分量的二次齐次函数.

强调事项段的处理二、与解析几何中化简形如式（7-1）的二次曲线方程一样，在许多实际问题中也经常需要利用变量的变换简化一些二次型.因此，引入变量的线性替换.定义7-2设x1,x2,…,xn；y1,y2,…,yn是两组变量，实系数的一组关系式（7-7）称为由x1,x2,…,x

n到y1,y2,…,yn的一个线性替换.如果式（7-7）中的线性替换的系数矩阵的行列式|P|≠0，则称这个线性替换是非退化的.因此这个替换是非退化的.将变量x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn用n维向量的形式表达，即令则式（7-7）的线性替换可以写成或者X=PY.由于两个可逆矩阵的乘积仍然是一个可逆矩阵，那么，对二次型f(x1,x2,…,xn)进行一次非退化的线性替换X=PY后，再进行一次非退化的线性替换Y=QZ，就相当于对原二次型f(x1,x2,…,xn)进行了非退化的线性替换X=(PQ)Z.从而，对一个二次型进行一系列的非退化线性替换，也可以由一个非退化的线性替换描述.对一个二次型f(x1,x2,…,xn)进行一次线性替换，就是将式（7-7）中的变量x1,x2,…,xn带入f(x1,x2,…,xn)，于是，得到关于变量y1,y2,…,yn的一个二次齐次多项式，即f(x1,x2,…,xn)经过替换后仍然是一个二次型.因此，线性替换将一个二次型仍然变成二次型.那么，替换前后的两个二次型之间有什么关系，或者说，替换前后的两个二次型的矩阵之间有什么关系呢？c通常，我们只考虑非退化的线性替换.这是因为，如果对一个二次型f(x1,x2,…,xn)进行一次非退化线性替换X=PY

得到一个新的二次型.那么对上式进行变形，有Y=P－1X

这是从变量y1,y2,…,yn到x1,x2,…,xn的一个线性替换，利用这个替换，对新的二次型进行作用，就将新的二次型还原成原二次型f(x1,x2,…,xn).因此，可以借助新二次型的性质，研究原二次型的性质.为了更好地描述经过线性替换以后两个二次型对应的矩阵之间的关系，先引入一个关于矩阵的概念.定义7-3设A和B是两个n阶方阵.如果存在一个n阶可逆矩阵P，使得B=PTAP

则称A和B是合同的，简记为A

B.容易验证，方阵之间的合同关系满足如下规律：(1)自反性：A

A.(2)对称性：如果A

B，那么B

A.(3)传递性：如果A

B，B

C，那么A

C.其中A，B,C均为n阶方阵.显然，与对称矩阵合同的矩阵仍然是对称矩阵.定理7-1设A和B是两个n阶对称矩阵.那么A与B是合同的当且仅当A与B是一个n元二次型经过一个非退化线性替换前后分别对应的矩阵.证充分性：设f(x1,x2,…,xn)是一个n元二次型，其对应的矩阵为A，即f(x1,x2,…,xn)=XTAX

对f(x1,x2,…,xn)进行一次非退化线性替换，设为X=PY，将其带入原二次型，得到f(x1,x2,…,xn)=(PY)TA(PY)=YT

(PTAP)Y

那么替换后的二次型对应的矩阵B=PTAP，即A与B是合同的.必要性：如果A与B是合同的，即存在n阶可逆矩阵P，使得B=PTAP.令f(x1,x