2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-四边形解答题1

2021中考数学真题知识点分类汇编-四边形解答题1

一.平行四边形的性质（共3小题）

1.（2021*宁夏）如图，8。是。483的对角线，的平分线交初于点£NBCD的平

分线交劭于点£求证：AE//CF.

2.（2021・青岛）如图，在口彳8切中，£■为切边的中点，连接班■并延长，交4?的延长线

于点尸，延长。至点G,使DG=DE,分别连接AG,FG.

（1）求证：2BCE@4FDE;

3.（2021•桂林）如图，在平行四边形彳8缈中，点0是对角线劭的中点，EF过点0,交

AB于点、E,交切于点尸.

（1）求证：Z1=Z2：

（2）求证：4DOM4BOE.

二.平行四边形的判定（共2小题）

4.（2021•内江）如图，点4D、C、8在同一条直线上，AC=BD,AE=BF,AE//BF.

求证：（1）4ADEq丛BCF；

（2）四边形。吩是平行四边形.

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p

B

5.（2021•郴州）如图，四边形力觥中，AB=DCt将对角线47向两端分别延长至点£F,

使AE=CF.连接BE,DF,若BE=DF.证明：四边形48山是平行四边形.

三.平行四边形的判定与性质（共1小题）

6.（2021*丹东）如图，在平行四边形48CZ?中，点0是4。的中点，连接G0并延长交朋

的延长线于点£连接加、DE.

（1）求证：四边形4?巫是平行四边形：

（2）若A8=AC,判断四边形AC"的形状，并说明理由.

四.菱形的性质（共2小题）

7.（2021*济南）已知：如图，在菱形4仇步中，E,尸分别是边4。和刃上的点，且NME

8.（2021*沈阳）如图，在菱形八8co中，点、M,〃分别是边8C,。。上的点，BM=±BC,DN

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=3DC,连接4/,AN,延长/〃交线段8C延长线于点£

4

(1)求证：4ABg4ADN：

(2)若47=4,则/■的长是.

五.菱形的判定(共3小题)

9.(2021-淮安)已知：如图，在oABCD中，点、E、尸分别在4?、BC上,且绯平分N48C,

EF//AB.求证：四边形彳8任是菱形.

10.(2021•镇江)如图，四边彩加缈是平行四边形，延长。4BC,使得4E=CF,连接8E,

DF.

(1)求证：XAB3XCDF，、

(2)连接8。Z1=30°,N2=20°,当£ABE=°时，四边形877应是菱形.

11.(2021•鞍山)如图，在口ABCD中,G为8c边上一点，DG=DC,延长。G交48的延长线

于点£过点力作”■〃所交⑺的延长线于点尸.求证：四边彩/办是菱形.

12.(2021*滨州)如图，矩形46缈的对角线47、劭相交于点0,BE"AC,AE//BD.

(1)求证：四边形维是菱彬；

(2)若/A08=60°,AC=A,求菱形水片E的面积.

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D

13.(2021*巴中)如图，四边形力中，AD//BC,A8=AD=CD=1BC.分别以8、。为圆

2

心，大于长为半径画弧，两弧交于点〃画射线加交8c于&连接。底.

2

(1)求证：四边形/眄为菱杉；

(2)连接8a当g=5时，求及?的长.

14.(2021•玉林)如图，在四边形48勿中，对角线47与8。交于点0,已知7=OC,OB

=OD,过点0作日」8。分别交力8、DC于点E,F,连接。£BF,AF.

(1)求证：四边形。£环是菱形；

(2)设4?〃防A[h-AB=n,8。=4«,求力厂的长.

15.(2021・盐城)如图，D、E、下分别是△48C各边的中点，连接。£EF、AE.

(1)求证：四边形?!〃£下为平行四边形；

(2)加上条件后,能使得四边形4?中为菱形，请从①NS4a90°：②/£平分

N8AC：③48=4;这三个条件中选择1个条件填空(写序号)，并加以证明.

七.矩形的性质(共4小题)

16.(2021*益阳)如图，在矩形彳8缈中，已知48=6,N080=30：求4?的长.

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17.(2021*雅安)如图，为等腰直角三角形，延长)至点8使仍=勿，四边形彳8微

是矩形，其对角线47,劭交于点£,连接应■交4?于点£

(1)求证：△》足△加8：

(2)求典的值.

AF

18.(2021-呼和浩特)如图，四边形力町是平行四边形，8f〃。厂且分别交对角线4c于点

E,F.

(1)求证：虑△冰；

(2)当四边形48切分别是矩杉和菱形时，请分别说出四边形阳力的形状.(无需说明

理由)

19.(2021-贵阳)如图，在矩形彳8缈中，点〃在。C上，AM=AB,且8也LM,垂足为〃

(1)求证：△453△物0：

(2)若4?-2,AN-A,求四边形的面积.

八.矩形的判定与性质(共1小题)

20.(2021*西宁)如图，四边形/仇步是菱形，对角线4C,8。相交于点0,XBOMRCEB.

(1)求证：四边形08&?是矩杉；

(2)若N4宓=120°,48=6,求矩形的周长.

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D

九.正方形的性质(共6小题)

21.(2021*德州)如图，点£下分别在正方形4仇步的边48,力。上，且AE=DF,点G,H

分别在边48,8c上，且FG上EH,垂足为只

(1)求证：FG=EH\

(2)若正方形483边长为5,AE=2,tanN4G厂=3,求中的长度.

22.(2021*牡丹江)如图1,四边形483是正方形，点£■是边宓的中点，Z.AEF=9N,

且配交正方形外角的平分线终于点尸，过点尸做尸GJ_8C于点G,连接4C.易证:AC=迎

(E侪FG.(提示：取48的中点机连接嬴

(1)当点£是8c边上任意一点时，如图2：当点£在比延长线上时，如图3.请直接

写出47,EC,尸G的数量关系，并对图2进行证明：

(2)已知正方形48切的面积是27,连接当△彳8£中有一个内角为30°时，W']AF

的长为.

23.(2021*梧州)如图，在正方形48CD中，点、£,尸分别为边8a微上的点，且AE工BF

于点P,G为4?的中点，连接GP,过点P作PHA.GP交48于点H,连接GH.

(1)求证：BE=CF・,

(2)若48=6,BE=^BC,求G/Z的长.

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24.(2021*哈尔滨)已知四边形微是正方形，点£在边%的延长线上，连接绥交力8

于点G,过点8作BMLCE,垂足为点M,储的延长线交4?于点F,交约的延长线于点H.

(1)如图1,求证：CE=BH\

(2)如图2,若力—彳8,连接阴在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的

四个三角形(△/&?除外)，使写出的每个三角形都与△4EG全等.

25.(2021*福建)如图，在正方形彳8缈中，E,尸为边48上的两个三等分点，点4关于筵

的对称点为4,44'的延长线交8c于点6

(1)求证：DE//ArF：

(2)求NQT8的大小;

(3)求证：4C=2A,B.

26.(2021-荆门)如图，点£■是正方形彳灰笫的边打?上的动点，NAEF=90°,且EF=AE,

FH1BH.

(1)求证：BE=CH;

(2)连接DF,若4Q3,BE=x,用含x的代数式表示。尸的长.

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AD

一十.正方形的判定(共1小题)

27.(2021•兴安盟)如图，4?是△/I8C的角平分线，DELAB,DFA-AC,垂足分别是£F,

连接M用与4?相交于点"

(1)求证：ADLEF\

(2)△A8C满足什么条件时，四边形彳£/7尸是正方形？说明理由.

一十一.四边形综合题(共33小题)

28.(2021•日照)问题背景：

如图1,在矩形48co中,AB=2氏,N4劭=30°，点£■是边的中点，过点f作

工AB燹BD千点、F.

实险探究：

(1)在一次数学活动中，小王同学将图1中的△婀绕点8按逆时针方向旋转90°,如

图2所示，得到结论：①延=;②直线/£•与炉所夹锐角的度数为.

DF

(2)小王同学继续将△阪绕点8按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探

究(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由.

拓展延伸：

在以上探究中，当△死尸旋转至。、E、厂三点共线时，则△?!纸的面积为.

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DC

29.(2021-攀枝花)如图，在直角梯形ABCD中，NA=48=90°,4蛇12,8C=14,AD

=9,线段8c上的点户从点〃运动到点QN4?P6勺角评分线。0交以“为直径的圆制于

点。，连接版

(1)当点P不与点8重合时，求证：PQ斗分匕BPD：

(2)当圆加与直角梯形力8微的边相切时，请直接写出此时8户的长度；

(3)动点P从点8出发，运动到点C停止，求点。所经过的路程.

30.(2021*阿坝州)如图1,正方形彳8⑺的对角线彳C,劭相交于点。E是边8c上一点,

连接巫交/I。于点F,连接BF.

(1)求证：△戚口△缈尸；

(2)如图2,过点尸作好的垂线，交8c的延长线于点G,交OB于点N.

①求证：FB=FG\

②若tanN8〃E=2，ON=1,求GG的长.

2

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31.(2021*兰州)已知正方形A8CD,E,尸为平面内两点.

【探究建模】

(1)如图1,当点f在边48上时，DE1DF,且8,C,厂三点共线.求证：AE=CF\

【类比应用】

(2)如图2,当点E在正方形48CD外部时，DELDF,AEA.EF,且£C,尸三点共线.

①(1)中的结论44次还成立吗？请说明理由；

②猜想并证明线段〃；CE,比之间的数量关系.

32.(2021*兰州)已知正方形力血力，E,尸为平面内两点.

【探究建模】

(1)如图1,当点£■在边四上时，DELDF，且8,C,厂三点共线.求证：AE=CF\

【类比应用】

(2)如图2,当点£在正方形思缈外部时，DEA.DF,AE1.EF,且£C,厂三点共线.猜

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想并证明线段力£CE,8之间的数量关系；

【拓展迁移】

(3)如图3,当点£在正方形力68外部时，AhEC,AE±AF,DEIBE,且。，F,E三点、

共线，DE马AB史干G点.若DF=3,AE=42,求应■的长.

33.(2021*青岛)已知：如图，在矩形4仇2和等腰RtZ^/l筵中，*=8皿AD=AE=6cm,

4DAE=90°.点P从点8出发，沿外方向匀速运动，速皮为IcHs；同时，点。从点0

出发，沿班方向匀速运动，速度为1cWs.过点。作。仞交4。于点“交优于点

M,过点。作QN//BC,交办于点M分别连接00,PM,设运动时间为t(s)(0<t<8).解

答下列问题：

(1)当PQ1BD时,求t的值:

(2)设五边形以例/0的面积为S(“)，求S与t之间的函数关系式；

(3)当。。=必/时，求七的值；

(4)若/W与47相交于点肥分别连接的和&f在运动过程中，是否存在某一时刻亡，

使N4%=/沏？若存在，求出士的值；若不存在，请说明理由.

34.(2021•济南)在△48C中，^BAC=9Q°,AB=AC,点、D在边BC上,BD=、BC,将线

3

段绕点。顺时针旋转至DE,记旋转角为a,连接BE,CE,以优•为斜边在其一侧作等

腰直角三角形庞尸，连接力£

(1)如图1,当Q=180°时，请直接写出线段彳尸与线段维的数量关系；

(2)当0°<a<180°时，

①如图2,(1)中线段彳门与线段维的数量关系是否仍然成立？请说明理由；

②如图3,当8,E,厂三点共线,时，连接力£判断四边形尸的招状，并说明理由.

35.(2021•镇江)如图1,Z/1=ZB=ZC=ZD=Z£=ZF=90°,AB,FE,。。为铅直方

向的边，AF,ED,勿为水平方向的边，点£■在/18,切之间，且在彳尸，8c之间,我们称

这样的图形为“图形”，记作“L四形ABCDEF'.若直线将2图形分成面积相等的两个图

形，则称这样的直线为该£图杉的面积平分线.

【活动】

小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2,将这个1图形分成矩形4G仄

矩形G8CD,这两个矩形的对称中心如小所在直线是该Z■图形的面积平分线.

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请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线.(作出一种即可，不写作法，保留作

图痕迹)

图1

【思考】

如图3,直线a2是小华作的面积平分线，它与边8a力厂分别交于点肌N,过郴的中

点0的直线分别交边BC,/尸亍点P,0,直线PQ(填“是”或“不是")L图形

ABCOEF的面积平分级.

【应用】

在/.图形48戊土尸形中，已知形=4,BC=6.

(1)如图4,CD=AF=}.

①该/.图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点只Q,求加长的最大值；

②该Z.图般的面积平分线与边48,缈分别相交于点G,H,当劭的长取最小值时，BG的

长为.

(2)设型=下(七>0),在所有的与锌直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有

AF

与边力民”相交的面积平分线，直接写出亡的取值范围.

36.(2021*盘锦)如图，四边形切是正方形，△呼为等腰直角三角形，N&?尸=90°,

点、E在BC上，点、F在CD上，N为EF的中点,连接阴，以NA、柝为邻边作。日G,连

接。G,DN,将RtZifC厂绕点。顺时针旋转，旋转角为a(0°WQW360°).

(1)如图1,当a=0°时，0G与ZW的关系为.

(2)如图2,当0°Va<45°时，(1)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；

若不成立，请说明理由.

(3)在Rt△呼的旋转过程中.当。41日G的顶点G落在正方形四夕?的边上，且48=12,

1=5加时，连接请直接写出G/V的长.

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37.（2021•阜新）在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的.它不但

漂亮，还蕴含着很多美妙的数学结论.如图，在正方形48微中，E,尸分别是直线48,

8c上的点（£尸在直线47的两侧），且人E=CF.

（1）如图2,求证：DE=DF；

（2）若直线4?与户相交于点G,

①如图3,求证：DG工EF；

②设正方形48CZ7的中心为0,乙CFE=Q,用含a的式子表示NZ?G0的度数（不必证明）.

38.（2021*南通）如图，正方形48切中，点E在边4。上（不与端点4。重合），点/关

于直线比■的对称点为点尸，连接CF,设N48E=a.

备用图

（1）求N/产的大小（用含a的式子表示）；

（2）过点C作CGJ■直线〃；垂足为G,连接。G.判断分与次的位置关系，并说明理

由；

（3）将△/!能绕点8顺时针旋转90°得到△明/，点£的对应点为点//,连接8厂，HF.当

△8/7/为等腰三角形叶，求sina的值.

39.（2021*广州）如图，在菱形四缈中，ZDAB=6Q°,48=2,点£为边48上一个动点，

延长班到点尸，使"■=〃，且CF、如相交于点G.

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备用图

(1)当点£运动到48中点时，证明：四边形。田?是平行四边形；

(2)当第=2时，求的长：

(3)当点£■从点彳开始向右运动到点8时，求点G运动路径的长度.

40.(2021*丹东)已知，在正方形483中，点依”为对角线47上的两个动点，且/砌/

=45°,过点“、"分别作＞18、8C的垂线相交于点£垂足分别为F、G,设的面积

图1图2

(1)如图(1),当四边形日NG为正方形时，

①求证：XAF磔

②求证：$=$+$.

(2)如图(2),当四边形曰谀?为矩形时，写出S,£,S三者之间的数量关系，并说明

理由；

(3)在(2)的条件下，若BG:GC=m:n(加＞〃)，请直接写出"：FB的值.

41.(2021•淄博)已知：在正方形彳员簿的边8c上任取一点尸，连接"；一条与?!打垂直的

直线/(垂足为点0沿4厂方向，从点彳开始向下平移，交边48于点£

(1)当直线/经过正方形力巡的顶点。时，如图1所示.求证：AE=BF\

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(2)当直线/经过4尸的中点时，与对角线8,交于点0,连接如图2所示.求N4r0

的度数：

(3)直线/继续向下平移，当点户恰好落在对角线6。上时，交边加于点G,如图3所

示.设48=2,BF=x,DG=y,求y与4之间的关系式.

42.(2021*徐州)如图1,正方彩48C。的边长为4,点"在边力。上(P不与4、。重合)，

连接PB、PC.将线段外绕点。顺时针旋转90°得到PE,将线段外绕点P逆时针旋转

90°得到PF,连接EF、EA.FD.

(1)求证：

①△见尸的面积S=LPF；

2

②EA=FD；

43.(2021-鄂尔多斯)旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以

通过旋转解决问题.

图③

(1)尝试解决：如图①，在等腰RtZU8C中，/外餐90°,48=AC,点附是8c上的一

点，BM=\cm,CM=2cm,将△/!幽绕点4旋转后得到△?!纽连接励V.则4/=cm.

(2)类比探究：如图②，在“筝形”四边形彳成步中，AB=AD=a,CB=CD,AB上8c于点、

B,AD工CD于点D,点P、0分别是彳8、4?上的点，且，PC济ZQCD=4PCQ,求图的

周长.(结果用a表示)

(3)拓展应用：如图③，已知四边形ABCD,AD=CDtNADC=6Q°,NABC=75°,AB

=2近，BC=2,求四边形力8办的面积.

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44.(2021*黔东南州)在四边形力8缈中，对角线47平分N840.

【探究发现】

(1)如图①，若N64P=120。，/ABC=/ADC=qqc.求证：A(^AB=AC\

【拓展迁移】

(2)如图②，若N夕步=120°,NA8O/ADC=180°.

①猜想48、AD./C三条线段的数量关系，并说明理由；

②若47=10,求四边形483的面积.

DD

图①图②

45.(2021*烟台)有公共顶点4的正方形48必与正方形厂按如图1所示放置，点£F

分别在边48和4?上，连接防DE,〃是8厂的中点，连接4照交应■于点M

【观察猜想】

(1)线段］应与力"之间的数量关系是,位置关系是:

【探究证明】

(2)将图1中的正方形4EG厂绕点力顺时针旋转45°,点G恰好落在边48上，如图2,

其他条件不变，线段然与力制之间的关系是否仍然成立？并说明理由.

48于点E,将线段E8绕点、£■顺时针旋转2Q得线段EP.

2

(1)如图1,当a=120。时，连接力只请直接写出线段4P和线段4C的数量关系；

(2)如图2,当a=90°时，过点、8作8F工EP于点、F,连接彳尸，请写出线段“：AB,

4?之间的数量关系，并说明理由：

(3)当a=120°时，连接4只若BE=±AB,请直接写出△?!隹与△缈弓面积的比值.

2

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47.(2021•枣庄)如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)概,念理解：如图2,在四边形中，AB=AD,CB=CD,问四边形483是垂美四

边形吗？请说明理由；

(2)性质探究：如图1,垂美四边形四。，的对角线4C,8。交于点0.猜想：44+勿!与

4A8d有什么关系？并证明你的猜想.

(3)解决问题：如图3,分别以RtZU第的直角边4;和斜边48为边向外作正方形4;厂G

和正方形43次；连结勿，BG,GJ巳知/4A4,AA5,求GZ7的k.

48.(2021*吉林)如图①，在RtZUBC中，NACB=90°,N/l=60°,微是斜边48上的

(1)若48=a.直接写出纱的长(用含a的代数式表示)：

(2)若DEL8a垂足为G,点尸与点。在直线龙的异侧，连接近如②，判断四边形

ADFC的形状,并说明理由；

(3)若DF工AB,直接写出N文的度数.

49.(2021*吉林)如图，在矩形48C0中,AB=3cm,AD=^3cm.动点"从点力出发沿折

线48-8c向终点C运动，在边丝上以1c/s的速度运动；在边比上以正cWs的速度

运动，过点"作线段内与射线%相交于点。，且NPQD=60°,连接外，BD.设点"的

运动时间为x(s),△80与△，宓重合部分图形的面积为y(cM).

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(1)当点P与点4重合时，直接写出。0的长；

(2)当点P在边8c上运动时，直接写出8P的长(用含x的代数式表示)；

(3)求v关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范

50.(2021•长春)实践与探究

操作一：如图①，已知正方形激片48缈，将正方形纸片沿过点力的直线折佥，使点8落

在正方形48C0的内部，点、8的对应点为点M,折痕为AE,再将纸片沿过点/的直线折叠，

使4?与彳"重合，折痕为“；则/£4尸=度.

操作二：如图②，将正方形纸片沿炉继续折叠，点。的对应点为点〃我们发现，当点

E的位置不同时，点力的位置也不同.当点£在8c边的某一位置时，点“恰好落在折痕

47上，则N〃7~=度.

在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：

(1)设4"与伤的交点为点只求证：匕AN2XFNE：

(2)若48=e，则线段4P的长为.

51.(2021*绥化)如图所示，四边形48缈为正方形，在/中，Z£Z^=90°,CE=CH,

傕的延长线与少的延长线交于点E点以B、/✓在同一条直线上.

(1)求证：△睦且△渤：

(2)当里，时，求里的值；

HD5FC

(3)当HB=3,//44时，求sinN/E的值.

52.(2021*贵阳)(1)阅读理解

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我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中.汉

代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽

弦图

根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；

(2)问题解决

勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形力好的中心0,

施■FG1HP,将它分成4份，所分成的四部分和以8c为边的正方形恰好能拼成以48为边

的正方形.若芥=12,BC=5,求)的值；

(3)拓展探究

如图③，以正方形一边为斜边句外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向

外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形.设大正方形力的边长为

定值,，小正方形4B,Q。的边长分别为a,b,c,d.

已知N1=N2=N3=a,当角a(0°<a<90°)变化时，探究6与c的关系式，并

写出该关系式及解答过程(6与c的关系式用含〃的式子表示).

53.(2021*齐齐哈尔)综合与实践

教学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高

动手动脑能力，拓展思维空间,丰富数学体脸，让我们一起动手来折一折、转一转、剪

一剪，体会活动带给我们的乐趣.

折一折：将正方形纸片彳灯力折叠，使边48、4。都落在对角线4c上，展开得折痕AE.AF,

连接EF,如图1.

(1)乙EAF=°,写出图中两个等腰三角形：(不需要添加字母)；

转一转：将图1中的N以尸绕点4旋转，使它的两边分别交边BC、◎于点P、Q,连接PO,

如图2.

(2)线段80、PO、加之间的数量关系为;

(3)连接正方形对角线劭，若图2中的N2I0的边力只分别交对角线8Z?于点席、点

N,如图3,则型=;

BM

剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线8。剪开，如图4.

(4)求证:B而+Dft=Mfi.

19/127

图4

54.(2021*广西)如图①，在△48。中，AD工BC于点、D,宓=14,A0=8fBD=6,点、E是

4?上一动点(不与点4,0重合)，在AADC内作矩形EFGH,点F在DC上，点G,H在AC

上，设DE=x,连接8E

(1)当矩形次W是正方形时，直接写出炉的长；

Si

(2)设△/!能的面积为£,矩形EFGH的面积为&,令y=」_,求y关于x的函数解析

s2

式(不要求写出自变量x的取值范围)；

(3)如图②，点P(a,b)是(2)中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线/

图①图②

55.(2021*海南)如图1,在正方形48CD中，点£是边8c上一点，且点、£不与点、8、C重

合，点尸是纵的延长线上一点，且AF=CE.

(1)求证：△OG之△勿尸；

(2)如图2,连接防交4?于点过点、D作所上EF,垂足为//,延长力/交8尸于点G,

连接做HC.

20/127

①求证：HD=HB\

②若MHC=近,录HE的长.

图1图2

56.(2021・无锡)已知四边形/仇力是边长为1的正方形，点£■是射浅8C上的动点，以/£

为直角边在直线8c的上方作等腰直角三角形4MN4£F=90°,设BE=m.

备用图

(1)如图，若点E在线段8c上运动，EF史CD干点、P,AF支CD干悬0,连接华

①当桁工时，求线段少•的长；

3

②在△HE中，设边如上的高为九请用含纲的代数式表示九并求力的最大值：

(2)设过箔的中点且垂直于8c的直线被等腰直角三角形〃F截得的线段长为匕请直

接写出y与m的关系式.

57.(2021*广西)如图，四边形彳8缈中，AB//CD,NB=4D,连接4C.

(1)求证：必△砌；

(2)尺规作图：过点。作的垂线，垂足为£(不要求写作法，保留作图痕迹)；

(3)在(2)的条件下，已知四边彩48微的面积为20,43=5,求如的长.

58.(2021•广西)【阅读理解】如图①，k"h,△48C的面积与△，8c的面积相等吗？为

什么？

解：相等.在△48C和△08C中，分别作4RL/2,DFX./2,垂足分别为£F.

:・/AEF=/DFC=9G,

：.AE//DF.

工四边形4&Z?是平行四边形，

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：.AE=DF.

又S△皿=2"8OAE,S^,D8C=—BC*DF.

22

:.题血=S^DBC.

【类比探究】如图②，在正方形48CZ?的右侧作等腰CE=DE,加=4,连接〃；求

的面积.

解：过点E作EFA.缈于点F,连接AF.

请将余下的求解步骤补充完整.

【拓展应用】如图③，在正方影四切的右侧作正方形座FG,点8,C,£■在同一直线上,

40=4,连接BD,BF,DF,直接写出△8。尸的面积.

59.(2021*黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，△478的边。1在*轴上，OA=AB,且线

段外的长是方程f-4x-5=0的根，过点8作8£_Lx轴，垂足为£tanZ^£=-l,动

3

点眼以每秒1个单位长度的速度，从点4出发，沿线段48向点8运动，到达点8停止.过

点及作*轴的垂线，垂足为。，以物为边作正方形加G厂，点C在线段"上，设正方形

加C厂与△478重叠部分的面积为S,点非的运动时间为t(t>0)抄.

(1)求点8的坐标；

(2)求S关于e的函数关系式，并写出自变量亡的取值范围；

(3)当点尸落在线段08上时，坐标平面内是否存在一点只使以欣40、P为顶点的

四边彩是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

60.(2021*衢州)【推理】

如图1,在正方形488中，点、E是CO上一动点,将正方形沿着把折叠，点。落在点尸

处，连结BE,CF,延长CF爻加于点G.

(1)求证：ABCEQACDG.

【运用】

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(2)如图2,在【推理】条件下，延长8尸交4?于点〃若地=1,优=9,求线段如

HF5

的长.

【拓展】

(3)将正方形改成矩形，同样沿着鸵折叠，连结CF,延长CF,8厂交直线AD干G,H

两点，若岖=〃，里=2,求典的值(用含〃的代数式表示).

BCHF5EC

备用图

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参考答案与试题解析

一.平行四边形的性质（共3小题）

1.（2021*宁夏）如图，8。是=片仇坊的对角线，N外。的平分线交6。于点£N6。?的干

分线交8Z?于点尸.求证：AE//CF.

【解答】证明：:四边形48必是平行四边形，

：.AD=BC,AD//BC,/BAD=々BCD.

：,Z.ADB=Z.CBD.

•:/BAD、N83的平分线分别交对角线8,于点&F,

：.4EAD=工NBAD,，FCB=A，BCD,

22

：,Z.EAD=Z.FCB.

在和△Ob中，

'NADE=NCBF

<AD=CB,

ZEAD=ZFCB

:.MAE咯XCFB（AS4）,

・•・Z.AED=NCFB,

：.AE//CF.

2.（2021*青岛）如图，在口48必中，£为3边的中点，连接维并延长，交的延长线

于点尸，延长灯?至点G,使DG=DE,分别连接低AG,FG.

（1）求证：厉；

（2）当游平分N48。时，四边形/£人?是什么特殊四边形？请说明理由.

【解答】（1）证明：•・•四边形/仇沙是平行四边形,

：.AD//BC,

/DFE=4CBE,

・・・£为缈边的中点,

:・DE=CE,

花4BCE知2FDE中,

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rZBEC=ZFED

<ZCBE=ZDFE,

CE=DE

:.XBCE9XFDE(A4S);

(2)解：四边形4曰守是矩形，理由如下：

•・•四边彩力脑是平行四边形，

：.AD=BC,AD//BC,

・•・乙AFB=/FBC,

由(1)得：XBCE在RFDE,

：.BC=FD,BE=FE,

:.FD=AD,

•：GD=DE,

・•・西边形/4£FG是平行四边形，

YBF*分乙ABC,

：,4FBC=ZA3F,

：.4AFB=Z.ABF,

：.AF=AD,

。：BE=FE,

:.AE工FE,

：.ZAEF=9QQ,

.•.平行四边形4EFG是矩形.

3.(2021•桂林)如图，在平行四边形彳仇切中，点0是对角线8。的中点，炉过点0,交

48于点£交缈于点尸.

(1)求证：Z1=Z2；

(2)求证：△DOF^XBOE.

【解答】证明：(1)•・•四边形力仇力是平行四边形，

:.AB//CD,

：.Z1=Z2;

(2)•・•点0是8。的中点，

：.OD=OB,

在△00片和△台"中，

rZl=Z2

<ZD0F=ZB0E,

0D=0B

：.^DOF^^BOE(/MS).

二.平行四边形的判定(共2小题)

4.(2021*内江)如图，点4D、C、8在同一条直线上，AC=BD,AE=BF,AE//BF.

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求证：（1）4ADE98BCF:

（2）四边形犷是平行四边形.

【解答】证明：（1）,：AC=BD,

：.AC-CD=BD-CD,

即AD=BC,

YAE〃BF,

：.RA=NB,

在△/!国与△8C尸中，

rAD=BC

<ZA=ZB,

AE=BF

:、4ADE在XBCF（SAS'）；

（2）由（1）得：AADEQABCF,

:.DE=CF,NADE=NBCF,

：.4EDC=£FCD,

:.DE//CF,

・•・四边形。呼是平行四边形.

5.（2021•郴州）如图，四边形4BC0中,AB=DC,将对角线47向两篇分别延长至点£F,

使AE=CF.连接DF,若BE=DF.证明：四边形48微是平行四边形.

E

【解答】证明：在△8E4和△8C中,

rAB=DC

•AE=CF

BE=DF

：,t^BEA^l\DFC(SSS),

・•・ZEAB="CD,

-BAC=/DCA,

：.AB//DC,

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♦:AB=DC,

，四边形48CZ?是平行四边形.

三.平行四边形的判定与性质(共1小题)

6.(2021・丹东)如图，在平行四边形彳8缈中，点0是47的中点，连接C0并延长交朋

的延长线于点£连接/C、DE.

(1)求证：四边彩“Z近是平行四边彩；

(2)若AB=AC,判断四边形加如的形状，并说明理由.

【解答】(1)证明：(1)•・•四边彩49勿是可行四边形，

:.AB〃CD,

：.匕BEC=NDCE,

•・•点0是边47的中点，

：,AO=DO,

在△彳血和△AGO中，

rZAE0=ZDC0

<ZA0E=ZD0C,

AO=DO

:.△AEgRDCO(/MS),

:.AE=CD,

YAE〃DC,

工四边脑4?”是平行四边形；

(2)解：四边形4;冰是菱形，理由如下：

•・•四边形是平行四边形，

:・AB=CD,

•：AB=AC,

：,CD=ACf

.,•四边形ACDE是爰形.

四.菱形的性质(共2小题)

7.(2021*济南)已知：如图，在菱形4仇?。中，E,尸分别是