平面向量练习题(一)-菁优网

平面向量练习题（一)一．选择题（共30小题）1．（2015•河南二模）若平面向量，满足|3﹣|≤1，则•的最小值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣2．（2015•重庆一模）在边长为2的正△ABC中，P是BC边上的动点，则（）A．有最大值8B．有最小值2C．是定值6D．与P的位置有关（2015•泸州模拟）已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足，则的值为（）A．1B．C．D．24．（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1]5．（2014•福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2C．3D．46．（2014•陕西模拟）已知平面上不共线的四点O、A、B、C，若，则=（）A．B．C．3D．27．（2014•抚顺一模）在△ABC中，如果||=5且||=4，则下列结论一定正确的是（）A．∠A＜90°B．∠A＞90°C．∠A=90°D．∠A=60°8．（2014•郑州一模）已知，是两个互相垂直的单位向量，且•=•=1，则对任意的正实数t，|+t+|的最小值是（）A．2B．2C．4D．49．（2014•淮南二模）如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD=3，点P为△BCD内（含边界）的动点，设=α+β（α，β∈R），则α+β的最大值等于（）A．B．C．D．110．（2014•市中区二模）已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若的取值范围是（）A．B．C．D．（1，2）11．（2014•东莞二模）如图所示，A，B，C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若，则（）A．0＜x+y＜1B．x+y＞1C．x+y＜﹣1D．﹣1＜x+y＜012．（2014•河南二模）如图，△ABC中，∠A=60°，∠A的平分线交BC于D，若AB=4，且，则AD的长为（）A．B．C．D．13．（2014•湖北模拟）给出下列命题中①向量，满足||=||=|﹣|，则与+的夹角为30°；②•＞0，是，的夹角为锐角的充要条件；③将函数y=|x﹣1|的图象按向量=（﹣1，0）平移，得到的图象对应的函数表达式为y=|x|；

平面向量练习题（一)参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2015•河南二模）若平面向量，满足|3﹣|≤1，则•的最小值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由平面向量，满足|3﹣|≤1，知9+≤1+6，故9+≥2=6≥﹣6，由此能求出的最小值．解答：解：∵平面向量，满足|3﹣|≤1，∴9+≤1+6，∵9+≥2=6≥﹣6，∴1+6≥﹣6，∴6≥．故选B．点评：本题考查平面向量数量积的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．（2015•重庆一模）在边长为2的正△ABC中，P是BC边上的动点，则（）A．有最大值8B．有最小值2C．是定值6D．与P的位置有关考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先设=，=，=t，然后用和表示出，再由=+，将=，=t，代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．解答：解：设=，=，=t，则=﹣=﹣，•=2×2×cos60°=2，=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t，=，∴=（（1﹣t）+t）•（+）=（1﹣t）+[（1﹣t）+t]+t=（1﹣t）×4+2+t×4=6．故选C．点评：本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起来考查综合题，平时要多注意这方面的练习．3．（2015•泸州模拟）已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足，则的值为（）A．1B．C．D．2考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：由，由向量加法的平行四边形法则知，PA必为以PB，PC为邻边的平行四边形的对角线，故有P，D，A三点共线，由平行四边形对角线的性质易得．解答：解：因为，所以PA必为以PB，PC为邻边的平行四边形的对角线，因为D为边BC的中点，所以D为边PA的中点，的值为1．故选A．点评：本题考查向量加法的几何意义，由向量的关系得到几何图形中的位置关系，向量关系表示几何关系是向量的重要应用．4．（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1]考点：向量的加法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：由于动点D满足||=1，C（3，0），可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．再利用向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵动点D满足||=1，C（3，0），∴可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．又A（﹣1，0），B（0，），∴++=．∴|++|===，（其中sinφ=，cosφ=）∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴=sin（θ+φ）≤=，∴|++|的取值范围是．故选：D．点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．5．（2014•福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2C．3D．4考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：虑用特殊值法去做，因为O为任意一点，不妨把O看成是特殊点，再代入计算，结果满足哪一个选项，就选哪一个．解答：解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4故选：D．点评：本题考查了平面向量的加法，做题时应掌握规律，认真解答．6．（2014•陕西模拟）已知平面上不共线的四点O、A、B、C，若，则=（）A．B．C．3D．2考点：向量的模；向量加减混合运算及其几何意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：因为要求的结论中不涉及点O，所以运用向量的减法运算，把已知等式中的向量，，换为和，整理后可求结果解答：解：由若，得：所以，所以，即．故选C．点评：本题考查了向量的模，向量加减运算的几何意义，考查计算能力，解答此题的有效途径是把O点替换掉．7．（2014•抚顺一模）在△ABC中，如果||=5且||=4，则下列结论一定正确的是（）A．∠A＜90°B．∠A＞90°C．∠A=90°D．∠A=60°考点：向量的模；向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：由||=5且||=4，利用数量积的性质可得，，可得，即可判断出∠A的大小．解答：解：∵||=5且||=4，∴，，可得，∴，∴∠A＜90°．故选：A．点评：本题考查了数量积的性质及其运算法则，属于基础题．8．（2014•郑州一模）已知，是两个互相垂直的单位向量，且•=•=1，则对任意的正实数t，|+t+|的最小值是（）A．2B．2C．4D．4考点：向量的模．专题：平面向量及应用．分析：利用=0，，．建立如图所示的直角坐标系，取，．设，可得（x，y）•（1，0）=（x，y）•（0，1）=1．即可得到．再利用数量积的性质、基本不等式即可得出．解答：解：∵=0，，．建立如图所示的直角坐标系，取，．设，∴（x，y）•（1，0）=（x，y）•（0，1）=1．∴x=y=1．∴．∴．∵t＞0．∴===，当且仅当t=1时取等号．故选：B．点评：本题考查了向量的运算法则和数量积的性质、基本不等式，属于中档题．9．（2014•淮南二模）如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD=3，点P为△BCD内（含边界）的动点，设=α+β（α，β∈R），则α+β的最大值等于（）A．B．C．D．1考点：相等向量与相反向量．专题：计算题；压轴题．分析：先建立以O为原点，以OD所在直线为x轴的直角坐标系，根据条件求出点P的坐标与α，β之间的关系；再根据点P的位置，借助于可行域即可求解．解答：解：以O为原点，以OD所在直线为x轴建立直角坐标系，点P（x，y），则（x，y）=α（0，1）+β（3，0）=（3β，α），所以．因为：0≤x=3β≤3，0≤y=α≤1⇒设z=α+β，根据可行域知，当点P为点E（1，1）时，α+β=z最大，其最大值为，故选B．点评：本题主要考查相等向量以及线性规划的简单应用，是对知识点的综合考查，考查计算能力．10．（2014•市中区二模）已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若的取值范围是（）A．B．C．D．（1，2）考点：相等向量与相反向量；三角形五心．专题：平面向量及应用．分析：由点P是△GBC内一点，则λ+μ≤1，当且仅当点P在线段BC上时，λ+μ最大等于1；当P和G重合时，λ+μ最小，此时，=，λ=μ=，λ+μ=．解答：解：∵点P是△GBC内一点，则λ+μ＜1，当且仅当点P在线段BC上时，λ+μ最大等于1，当P和G重合时，λ+μ最小，此时，==×（）=，∴λ=μ=，λ+μ=．故＜λ+μ＜1，故选B．点评：本题考查三角形的重心的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．11．（2014•东莞二模）如图所示，A，B，C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若，则（）A．0＜x+y＜1B．x+y＞1C．x+y＜﹣1D．﹣1＜x+y＜0考点：向量的加法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示由=，可得x＜0y＜0，故x+y＜0，故排除A、B．再由=x2+y2+2xy•，得1=x2+y2+2xy•cos∠AOB．当∠AOB=120°时，由（x+y）2=1+3xy＞1，可得x+y＜﹣1，从而得出结论．解答：解：如图所示：∵=，∴x＜0，y＜0，故x+y＜0，故排除A、B．∵|OC|=|OB|=|OA|，∴=x2+y2+2xy•，∴1=x2+y2+2xy•cos∠AOB．当∠AOB=120°时，x2+y2﹣xy=1，即（x+y）2﹣3xy=1，即（x+y）2=1+3xy＞1，故x+y＜﹣1，故选C．点评：本题主要考查了平面向量的几何意义，平面向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理，平面向量数量积运算的综合运用，排除法解选择题，属于中档题．12．（2014•河南二模）如图，△ABC中，∠A=60°，∠A的平分线交BC于D，若AB=4，且，则AD的长为（）A．B．C．D．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：利用已知和向量的平行四边形法则可得四边形AEDF是菱形，再利用平行线分线段成比例定理可得ED，再利用向量的三角形法则可得，利用数量积的性质即可得出．解答：解：如图所示．∵∠A的平分线交BC于D，且，∴四边形AEDF是菱形．∵，∴．∵DE∥AB，∴，∵AB=4，∴ED=3．又∠FAE=60°，，∴=32+32+2×3×3×cos60°=27．∴．故选：B．点评：本题考查了向量的平行四边形法则、菱形的性质、角平分线的性质、平行线分线段成比例定理、向量的三角形法则、数量积的性质，属于中档题．13．（2014•湖北模拟）给出下列命题中①向量，满足||=||=|﹣|，则与+的夹角为30°；②•＞0，是，的夹角为锐角的充要条件；③将函数y=|x﹣1|的图象按向量=（﹣1，0）平移，得到的图象对应的函数表达式为y=|x|；④若，则△ABC为等腰三角形；以上命题正确的个数是（）A．4个B．1个C．3个D．2个考点：向量加减混合运算及其几何意义；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：证明题；平面向量及应用．分析：对于①，当，中有一个为0时，结论不成立．对②•＞0时，，的夹角为锐角或零角．按向量平移的意义③正确．由向量的数量积满足分配律运算，以及=|AB|2，故④正确．解答：解：对于①，取特值零向量时，命题错误，若前提为非零向量由向量加减法的平行四边形法则与夹角的概念正确．对②•＞0时，，的夹角为锐角或零角，不一定是锐角，故充分性不成立．对于③，注意按向量平移的意义，就是图象向左移1个单位，故结论正确．对于④；由于向量的数量积满足分配律运算，故结论正确，故选D．点评：本题考查两个向量的加减混合运算及其几何意义，用两个向量的数量积表示两个向量的夹角．14．（2014•成都三模）在平面直角坐标中，△ABC的三个顶点A、B、C，下列结论正确的个数是（）（1）平面内点G满足++=，则G是△ABC的重心；（2）平面内点M满足|=||=||，点M是△ABC的内心；（3）平面内点P满足=，则点P在边BC的垂线上．A．0B．1C．2D．3考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：结合向量的运算法则和几何意义，推出=﹣2，得G为△ABC的重心说明（1）的正误；通过距离直接判断（2）正误即可；通过向量的数量积判断P所在的直线，判断（3）的正误即可．解答：解：对于（1），取BC的中点D，连接GD，并延长至E，使|DE|=|GD|，则四边形BECG为平行四边形，∴+==2．又++=0，∴++=，即G、A、D三点共线，且G为三等分点，故G为△ABC的重心；（1）正确．对于（2），平面内点M满足|=||=||，点M是△ABC的外心；∴（2）不正确；对于（3），平面内点P满足=，∴与，方向上的单位向量数量积相等，P在∠APC的平分线上，不一定与BC垂直，∴（3）不正确．故选：B．点评：本题考查向量在几何中的应用，三角形的五心的判断，考查理解判断分析能力．15．（2014•大港区二模）如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（）A．B．C．1D．3考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：计算题；证明题；平面向量及应用．分析：根据题意，设=λ，将向量表示成向量、的一个线性组合，再结合题中向量的等式，建立关于m、λ的方程组，解之即可得到实数m的值．解答：解：∵，∴设=λ，（λ＞0）得=+∴m=且=，解之得λ=8，m=故选：A点评：本题给出三角形的一边的三等分点，求某向量关于已知向量的线性关系式，着重考查了向量的线性运算、平面向量的基本定理及其意义等知识，属于中档题．16．（2014•达州二模）在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C，D不重合）若，则λ的取值范围（）A．（0，1）B．C．（﹣1，0）D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：函数的性质及应用．分析：根据所给的数量关系，写出要求向量的表示式，注意共线的向量之间的相等关系，根据表示的关系式和所给的关系式进行比较，得到结果．解答：解：=+=+y=+y（﹣）=﹣y+（1+y），再根据=，可得y∈（0，1），∴λ∈（﹣1，0），故选：C．点评：本题考查向量的基本定理，是一个基础题，这种题目可以出现在解答题目中，也可以单独出现，注意表示向量时，一般从向量的起点出发，绕着图形的边到终点，属于中档题．17．（2014•合肥一模）过坐标原点O作单位圆x2+y2=1的两条互相垂直的半径OA、OB，若在该圆上存在一点C，使得=a+b（a、b∈R），则以下说法正确的是（）A．点P（a，b）一定在单位圆内B．点P（a，b）一定在单位圆上C．点P（a，b）一定在单位圆外D．当且仅当ab=0时，点P（a，b）在单位圆上考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据点P到圆心O的距离判断点P与圆的位置关系．解答：解：易知||=∵，||==1∴||=∴OP==1又圆的半为1∴点P一定在单位圆上故选：B点评：本题主要考察了向量的求模运算，以及点与圆的位置关系的判断，属于中档题．18．（2014•重庆三模）如图所示，在△ABC中，AD=DB，F在线段CD上，设=，=，=x+y，则+的最小值为（）A．6+2B．9C．9D．6+4考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：F在线段CD上，=x+y=+y，利用向量共线定理可得：2x+y=1．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵F在线段CD上，=x+y=+y，∴2x+y=1．x，y＞0．∴+=（2x+y）=6+=6+4，当且仅当y=2x=2﹣时取等号．故选：D．点评：本题考查了向量共线定理、“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．19．（2014•泰安二模）设，是平面内两个不共线的向量，=（a﹣1）+，=b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．8考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理推出a，b的关系，进而解出的最小值解答：解：∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴存在实数λ，使得可解得，b=2﹣2a∵a＞0，b＞0∴0＜a＜1∴==当a=时，取最小值为4故选：B．点评：本题主要考察了向量的共线定理，属于中等题．20．（2014•东昌区二模）如图，在△ABC的边AB、AC上分别取点M、N，使，BN与CM交于点P，若，，则的值为（）A．B．C．D．12考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：选取为基向量，分别在△ANP、△AMP中利用三角形法则表示出，根据平面向量基本定理可知表示唯一，从而得到方程组，解出μ、λ，进而得到答案．解答：解：=+==，===，所以，解得，所以，故选D．点评：本题考查平面向量基本定理及其意义，考查向量的线性运算，属中档题．21．（2014•南开区二模）如图，在△ABC中，=2，过点M的直线分别交射线AB、AC于不同的两点P、Q．若=m，=n，则m+n的最小值为（）A．1+B．2C．3D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：首先根据的向量的几何意义，利用P，M，Q三点共线，得出m，n的关系，分别令，f（x）=m+n，得到关于x的函数关系式，在求导，根据导数求最小值．解答：解：如图：∵，=2，∴=∴=∵=m，=n，∴∵P，M，Q三点共线，∴，令，∴∴y=3﹣2x，∵x＞0，y＞0∴，令f（x）=m+n==，∴f′（x）=令f′（x）=0，∴解得，，或（舍去）当x=时，f（x）有最小值，∴f（x）min=1+，故选：A．点评：本题考查了向量的几何意义以及三点共线定理以及利用到导数来求函数的最小值问题，是一道综合题目，涉及知识点比较多，考查了化归思想，方程的思想．属于难题．22．（2014•郴州三模）已知在△ABC中，AB=BC=3，AC=4，设O是△ABC的内心，若=m+n，则m：n=（）A．5：3B．4：3C．2：3D．3：4考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：利用三点共线定理、共面向量基本定理、三角形内角平分线的性质即可得出．解答：解：如图所示，设三角形的三条内角平分线BD、AE、CF相交于点O．∵B，O，D三点共线，∴存在实数λ使得，∵AB=BC=3，O是△ABC的内心，∴BD平分AC，∴．∴，同理由C，O，F三点共线和角平分线的性质可得=，∴，解得∴与=m+n比较可得：m=，，则m：n=4：3．故选：B．点评：本题考查了三点共线定理、共面向量基本定理、三角形内角平分线的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．23．（2014•海南模拟）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在方向上的投影为（）A．B．3C．D．﹣3考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：计算题．分析：由题意画出图形，借助与图形利用向量在方向上的投影的定义即可求解．解答：解：由题意因为△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，对于⇔，所以可以得到图形为：因为，所以四边形ABOC为平行四边形，又由于，所以三角形OAB为正三角形且边长为2，所以四边形ABOC为边长为2且角ABO为60°的菱形，所以向量在方向上的投影为：=故选：A点评：此题考查了两个向量的夹角定义，还考查向量在另外一个向量上的投影的定义及学生的分析问题的数形结合的能力．24．（2014•江西二模）若，，均为单位向量，且=0，则|+﹣|的最小值为（）A．B．1C．+1D．考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：计算题；平面向量及应用．分析：易求，表示出，由表达式可判断与同向时|+﹣|2最小，最小值可求，再开方可得答案．解答：解：因为=0，所以=+2=2，则=，所以=+2﹣2（）=3﹣2（），则当与同向时，（）最大，|+﹣|2最小，此时，（）=，所以≥3﹣2，故|+﹣|≥﹣1，即|+﹣|的最小值为﹣1，故选A．点评：本题考查平面向量数量积的性质及其运算律，考查向量模的求解，考查学生分析问题解决问题的能力．25．（2014•岳阳二模）边长为1的等边三角形ABC中，设，，，则=（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：计算题．分析：由题设知和，和，和的夹角都是120°，，由向量的数量积公式能够求解．解答：解：∵边长为1的等边三角形ABC中，，，，∴=1×1×cos120°+1×1×cos120°+1×1×cos120°=﹣．故选D．点评：本题考查向量的数量积公式的运用，解题时要注意和，和，和的夹角都是120°，．26．（2014•银川模拟）若向量、、两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（）A．2B．5C．2或5D．或考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：设向量所成的角为α，则先求出的值即可求出，解答：解：由向量、、两两所成的角相等，设向量所成的角为α，由题意可知α=0°或α=120°则=+++2（++）=11+2（||•||cosα+||•||cosα+||•||cosα）=11+14cosα所以当α=0°时，原式=5；当α=120°时，原式=2．故选C点评：考查学生会计算平面向量的数量积，灵活运用=||•||cosα的公式．27．（2014•宁波模拟）已知、、均为单位向量，且满足•=0，则（++）•（+）的最大值是（）A．1+2B．3+C．2+D．2+2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先求得（++）•（+）=2+•（2+），再根据|2+|=，||=1，利用两个向量的数量积的定义求得（++）•（+）的最大值．解答：解：∵、、均为单位向量，且满足•=0，则（++）•（+）=+++++=1+0+2++1=2+2+=2+•（2+），又|2+|=，∴2+•（2+）=2+1××cos＜，2+＞，故当＜，2+＞=0时，（++）•（+）取得最大值为2+，故选：C．点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量数量积的定义，属于中档题．28．（2014•湖北模拟）已知点M是△A