《金版学案》2022届高考数学文科一轮复习课时作业-2-3函数的奇偶性与周期性-

第三节函数的奇偶性与周期性题号1234567答案1．(2021·广东卷)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是()A．4B．3C．2D．1解析：四个函数中，y＝x3和y＝2sinx是奇函数．故选C.答案：C2．(2021·山东滨州一模)函数y＝eq\f(sinx,x)，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象大致是()解析：函数y＝eq\f(sinx,x)，x∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，所以图象关于y轴对称，排解B，C.当x→π时，y＝eq\f(sinx,x)→0，故选A.答案：A3．(2021·辽宁辽源模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)等于()A．2B.eq\f(17,4)C.eq\f(15,4)D．a2解析：将f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2中的x用－x代替得f(－x)＋g(－x)＝a－x－ax＋2，由函数的奇偶性可得－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，将两式相加和相减可得g(x)＝2，f(x)＝ax－a－x，由于g(2)＝a，所以a＝2，则有f(2)＝22－2－2＝eq\f(15,4).答案：C4．若函数f(x)＝eq\f(x,（2x＋1）（x－a）)为奇函数，则a＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D．1解析：方法一由已知得，f(x)的定义域关于原点对称，由于该函数定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(1,2)且x≠a))))，∴a＝eq\f(1,2).故选A.方法二∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．又f(x)＝eq\f(x,2x2＋（1－2a）x－a)，则eq\f(－x,2x2－（1－2a）x－a)＝eq\f(－x,2x2＋（1－2a）x－a)在函数的定义域内恒成立，可得a＝eq\f(1,2).故选A.答案：A5．已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)，g(x)＝lg(1－x)－lg(1＋x)，则()A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数解析：两个函数的定义域均为(－1，1)，则f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数；又g(－x)＝lg(1＋x)－lg(1－x)＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数，故选D.答案：D6.(2021·浙江重点中学协作体摸底测试)函数f(x)＝|x3＋1|＋|x3－1|，则下列坐标表示的点确定在函数f(x)图象上的是()A．(－a，－f(a))B．(a，f(－a))C．(a，－f(a))D．(－a，－f(－a))解析：函数的定义域为R，且满足f(x)＝f(－x)，∴f(x)为偶函数．∴f(a)＝f(－a)．而点(a，f(a))在函数图象上，∴(a，f(－a))也在函数图象上．故选B.答案：B7.(2022·湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1，3}B．{－3，－1，1，3}C．{2－eq\r(7)，1，3}D．{－2－eq\r(7)，1，3}解析：设x＜0，则－x＞0.所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x.求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解，当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；当x＜0时，－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－eq\r(7)，故选D.答案：D点评：求函数的零点等价于求方程的根，等价于求两个函数图象的交点的横坐标，此题还可以通过画图求解．留意“零点”不是“点”，是一个数值．8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________．解析：由已知等式得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(6)＝f(2)，由f(x＋2)＝－f(x)得f(2)＝－f(0)，由于f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(6)＝0.答案：09．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝eq\f(1,f（x）)，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝________________________________.解析：由f(x＋2)＝eq\f(1,f（x）)，得f(x＋4)＝eq\f(1,f（x＋2）)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的函数，f(5)＝f(1)＝－5，f(－5)＝f(－1)＝eq\f(1,f（－1＋2）)＝eq\f(1,f（1）)＝－eq\f(1,5).答案：－eq\f(1,5)10．设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2015)＝eq\f(2a－3,a＋1)，则实数a的取值范围是________．解析：∵f(2015)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)<－1，∴eq\f(2a－3,a＋1)<－1，解得－1<a<eq\f(2,3).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3)))11．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x>0，0，x＝0，x2＋mx，x<0))是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．解析：(1)易知f(1)＝1，f(－1)＝1－m，又∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．∴1－m＝－1.∴m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2>－1，,a－2≤1.))∴1＜a≤3.故实数a的取值范围是(1，3]．12．(2021·四川泸州模拟)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围图形的面积．解析：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，从而得f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函