【名师一号】2020-2021学年高中数学新课标人教A版选修1-1双基限时练16(第三章)

双基限时练(十六)1．设f(x)＝eq\f(1,x)，则eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(fx－fa,x－a)等于()A．－eq\f(1,a) B.eq\f(2,a)C．－eq\f(1,a2) D.eq\f(1,a2)解析eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(fx－fa,x－a)＝eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(\f(1,x)－\f(1,a),x－a)＝eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(a－x,x－a·xa)＝－eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(1,ax)＝－eq\f(1,a2).答案C2．在曲线y＝x2上切线倾斜角为eq\f(π,4)的点是()A．(0,0) B．(2,4)C．(eq\f(1,4)，eq\f(1,16)) D．(eq\f(1,2)，eq\f(1,4))解析由导数的定义，知y′＝2x，∴taneq\f(π,4)＝1，y′|x＝x0＝2x0＝1，∴x0＝eq\f(1,2)，则y0＝eq\f(1,4)，故选D.答案D3．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝()A．1 B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－1解析由导数的定义知y′＝2ax，∴f′(1)＝2a∴a＝1.答案A4．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处切线方程为2x＋y＋1＝0，则()A．h′(a)<0 B．h′(a)>0C．h′(a)＝0 D．h′(a)的符号不定答案A5．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝eq\f(1,8)t2，则当t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为()A.2 B.1C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)答案C6．函数f(x)＝－2x2＋3在点(0,3)处的导数是________．答案07．如图是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图象，则f(2)＋f′(2)＝________.解析从图中可知，切线的方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,4.5)＝1，∴切线的斜率为－eq\f(9,8)，∴f′(2)＝－eq\f(9,8).当x＝2时，代入方程得y＝eq\f(9,4)，f(2)＝eq\f(9,4)，∴f(2)＋f′(2)＝eq\f(9,4)－eq\f(9,8)＝eq\f(9,8).答案eq\f(9,8)8．设曲线y＝x2在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为________．解析由导数的定义可知y′＝2x，设P(x0，y0)，∴y′|x＝x0＝2x0＝3，∴x0＝eq\f(3,2).∴y0＝xeq\o\al(2,0)＝eq\f(9,4)，∴P的坐标为(eq\f(3,2)，eq\f(9,4))．答案(eq\f(3,2)，eq\f(9,4))9．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.解析∵点M(1，f(1))是切点，在切线上，∴f(1)＝eq\f(1,2)×1＋2＝eq\f(5,2).由切线的几何意义知，f′(1)＝eq\f(1,2).∴f(1)＋f′(1)＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)＝3.答案310．已知曲线y＝2x2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．解由于f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝4，所以过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k，则4k＝－1，k＝－eq\f(1,4).所以所求的直线方程为y－2＝－eq\f(1,4)(x－1)，即x＋4y－9＝0.11．求双曲线y＝eq\f(1,x)在点(eq\f(1,2)，2)处的切线的斜率，并写出切线方程．解∵y＝eq\f(1,x)，∴k＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－1,x2＋xΔx)＝－eq\f(1,x2).∴当x＝eq\f(1,2)时，k＝－4，∴切线斜率为k＝－4.切线方程为y－2＝－4(x－eq\f(1,2))，即4x＋y－4＝0.12．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋4，,y＝x＋10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝8，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝13.))∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)和(3,13)．(2)∵y＝x2＋4，∴y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx2＋4－x2＋4,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δx2＋2x·Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))