【2021届备考】2021届全国名校数学试题分类解析汇编(12月第三期)：F单元-平面向量

F单元平面对量名目F单元平面对量 ⑵由可得：整理得：从而（舍去）又，为锐角故，于是【思路点拨】(1)利用正弦定理，两角和与差的三角函数，三角形的内角和，诱导公式，将已知等式化为，从而得；（2）由可得,可得的值.【数学文卷·2021届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考（202212）word版】9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D、E分别是BC、AB的中点，P是△ABC（包括边界）内任一点，则的取值范围是 A．[-7，7] B．[-8，8] C．[-9，9] D．[-10，J．O]【学问点】平面对量基本定理F2【答案】C【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，那么=，=16+4=20．∴()•=()•

==2以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A的坐标为（4，0），B的坐标为（0，2），由线段的中点公式可得点D的坐标为（0，1），点E的坐标为（2，1），设点P的坐标为（x，y），则由题意可得可行域为△ABC及其内部区域，故有．令t==（-4，1）•（x-2，y-1）=7-4x+y，即y=4x+t-7．

故当直线y=4x+t-7过点A（4，0）时，t取得最小值为7-16+0=-9，当直线y=4x+t-7过点B（0，2）时，t取得最大值为7-0+2=9，故t=的取值范围是[-9，9]，【思路点拨】由条件可得=，故()•=()•

=，由此求得()•的值．以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，利用简洁的线性规划求得t=的取值范围．【数学文卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考（202212）】15.设是按先后挨次排列的一列向量，若，且，则其中模最小的一个向量的序号▲．【学问点】向量的坐标运算F2【答案】【解析】1002或1001解析：由于，所以，由于二次函数的对称轴方程为，又n为正整数，所以当n=1002或1001时模最小.【思路点拨】可以借助于等差数列的通项公式求出向量的一般形式，再借助于二次函数求最值.F3平面对量的数量积及应用【数学理卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】6．（原创）在△ABC中，已知，，则的值为（）A． B． C． D．【学问点】三角形面积公式；向量的数量积.F3【答案】【解析】D解析：=所以=，故选D.【思路点拨】由三角形的面积公式求得sinA，进而得到cosA，再用向量数量积公式求解.【数学理卷·2021届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考（202212）word版】8．已知等边△ABC中，点P在线段AB上，且，若··，则实数的值为 A．2 B． C．1－ D．【学问点】平面对量的数量积及应用F3【答案】C【解析】设等边三角形ABC的边长为1．则||=λ||=λ，||=1-λ．（0＜λ＜1）

•=()•=•+•=.，

所以1×1×cos120°+λ×1×cos0°=λ×（1-λ）cos180°．化简-+λ=-λ（1-λ），整理λ2-2λ+=0，解得λ=（λ=＞1舍去）【思路点拨】将表示为,利用向量数量积公式，将关系式化简得出关于λ的方程并解出即可．留意0＜λ＜1．【数学理卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考（202211）】10．在△ABC中，已知，P为线段AB上的点，且的最大值为【】 A．3 B．4 C．5 D．6【学问点】向量在几何中的应用；平面对量的综合题；正弦定理的应用．C8F3【答案】【解析】A解析：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sinC，sin（A+C）=sinCcosnA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA∴sinAcosC=0，∵sinA≠0∴cosC=0C=90°∵•=9，S△ABC=6，∴bccosA=9，bcsinA=6∴tanA=，依据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15，∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）设，则||=||=1，=（1，0），=（0，1），∴=x+y=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12，12=4x+3y≥，xy≤3，故所求的xy最大值为：3．故选C．【思路点拨】△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cosC的值，再由•=9，S△ABC=6可得bccosA=9，bcsinA=6可求得c，b，a，建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），设，则||=||=1，=（1，0），=（0，1），由=x+y推出x与y的关系式，利用基本不等式求解最大值．【数学理卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考（202211）】10．在△ABC中，已知，P为线段AB上的点，且的最大值为【】 A．3 B．4 C．5 D．6【学问点】向量在几何中的应用；平面对量的综合题；正弦定理的应用．C8F3【答案】【解析】A解析：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sinC，sin（A+C）=sinCcosnA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA∴sinAcosC=0，∵sinA≠0∴cosC=0C=90°∵•=9，S△ABC=6，∴bccosA=9，bcsinA=6∴tanA=，依据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15，∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）设，则||=||=1，=（1，0），=（0，1），∴=x+y=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12，12=4x+3y≥，xy≤3，故所求的xy最大值为：3．故选C．【思路点拨】△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cosC的值，再由•=9，S△ABC=6可得bccosA=9，bcsinA=6可求得c，b，a，建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），设，则||=||=1，=（1，0），=（0，1），由=x+y推出x与y的关系式，利用基本不等式求解最大值．【数学理卷·2021届湖北省八校高三第一次联考（202212）】17．（本小题满分12分）已知△ABC的三内角A,B,C所对边的长依次为a,b,c，若，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【学问点】正弦定理；平面对量数量积的运算．C8F3【答案】【解析】（Ⅰ）;（Ⅱ）解析：(I)依题设：sinA＝＝＝，sinC＝＝＝，故cosB＝cos[π－(A＋C)]＝－cos(A＋C)＝－(cosAcosC-sinAsinC)＝－(－)＝.则:sinB＝＝＝所以4:5:6…………6分(II)由(I)知：4:5:6，不妨设：a＝4k，b＝5k，c＝6k，k＞0.故知：||＝b＝5k，||＝a＝4k.依题设知：||2＋||2＋2||||cosC＝4646k2＝46，又k＞0k＝1.故△ABC的三条边长依次为：a＝4，b＝5，c＝6.△ABC的面积是…………12分【思路点拨】（Ⅰ）A，C为三角形内角，先求出sinA，sinC，由cosB=cos[π-（A+C）]开放即可求出cosB的值，从而可求出sinB，由正弦定理即可求出a：b：c的值；（Ⅱ）由正弦定理和已知可求出a，b，c的值，即可求出△ABC的面积．【数学理卷·2021届江西省五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）高三上学期其次次联考（202212）word版】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知为单位向量，当向量的夹角为时，在上的投影为.【学问点】平面对量数量积的运算；平面对量数量积的含义与物理意义．F3C8【答案】【解析】解析：依据题意画出图形如下图：设，依据余弦定理得：，所以,则在上的投影为，故答案为。【思路点拨】利用数量积运算、投影的意义即可得出．【数学文卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】13.若向量的夹角为，，则【学问点】向量的运算.F3【答案】【解析】2解析：=.【思路点拨】把求向量的模，转化为数量积运算即可.【数学文卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考（202211）】16、(本小题满分12分)已知向量，＝，函数，(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间；(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．【学问点】三角函数中的恒等变换应用；平面对量数量积的运算．C5F3【答案】【解析】(1)(2)解析：（１）……………4分单调递增区间是…………..6分（２）………….8分函数f(x)的值域是………………..12分【思路点拨】（1）首先依据=（1，sinx），=（cos（2x+），sinx），求出；然后依据函数f（x）=•﹣cos2x，求出函数f（x）的解析式；最终依据正弦函数的特征，求出其单调递增区间即可；（2）当x∈[0，]时，可得2x，然后求出函数f（x）的值域即可．【数学文卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考（202211）】14、如图，在边长为2的菱形ABCD中，为中点，则、【学问点】平面对量数量积的运算．F3【答案】【解析】1解析：在菱形ABCD中，∠BAD=60，∴△ABD为正三角形，＜＞=60°，=180°﹣60°=120°，∵=，∴=（+•=•+•=2×2×cos60°+1×2×cos120°=2﹣1=1，故答案为：1．【思路点拨】将表示为，再利用向量的运算法则，数量积的定义求解．【数学文卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考（202211）】４、已知，，且，则与夹角的余弦值为（）A． B．C．D．【学问点】平面对量数量积的运算．F3【答案】【解析】B解析：∵•（2+）=1，∴，∵，∴，化为．∴==﹣．故选B．【思路点拨】利用向量的数量积运算法则和夹角公式即可得出．【数学文卷·2021届湖北省武汉华中师范高校第一附属中学高三上学期期中考试（202211）】16．把边长为1的正方形如图放置，、别在轴、轴的非负半轴上滑动．（1）当点与原点重合时，=；（2）的最大值是_________．【学问点】平面对量数量积的运算F3【答案】【解析】(1)(2)解析：（1）当A点与原点重合时，在轴上，，

则.（2）如图令，由于故，

如图，，

故故同理可求得，即当时，取最大值，则的最大值是．故答案为：1，2【思路点拨】（1）求出的坐标，以及向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可得到；

（2）令，由边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴正半轴上，可得出的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积．【数学文卷·2021届湖北省八校高三第一次联考（202212）word版】11．在边长为2的正△ABC中，则_________．【学问点】向量数量积的计算.F3【答案】【解析】-2解析：【思路点拨】依据向量数量积的定义求解.【数学文卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考（202212）】21.（本题满分14分）设向量，其中为实数．（Ⅰ）若，且求的取值范围；（Ⅱ）若求的取值范围．【学问点】向量的数量积，三角函数的性质C3F3【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）时，，由于，所以,整理得对一切均有解，当时，得，符合题意，当时，，解得，所以的取值范围为；（Ⅱ）由题意只需，由消元得，解不等式组，解得，所以.【思路点拨】先把向量关系转化为坐标关系，再转化为方程有实根或函数的值域问题进行解答.【数学文卷·2021届河北省唐山一中高三上学期期中考试（202211）】14.已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E、F分别为BC、CD的中点，则.【学问点】向量的数量积F3【答案】【解析】解析：建立直角坐标系，则可得，所以，故答案为.【思路点拨】建立坐标系，利用向量的坐标运算和数量积运算即可得出．【数学文卷·2021届河北省唐山一中高三上学期期中考试（202211）】11.若均为单位向量，，，则的最大值是（）A．B.