2023-2024学年人教版九年级数学上册专项复习：旋转两种解题模型（学生版）

专题09旋转两种解题模型

目录

解题知识必备.................................

压轴题型讲练............................................................2

题型一：奔驰模型................................................................2

题型二：费马点模型.............................................................15

压轴能力测评...........................................................21

“解题知识必备”

模型一：奔驰模型

旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。我们不仅要掌握这类

题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点：旋转的本质是把分散的条件集中化，从而

解决问题

模型二：费马点模型

如图，以AABC的三边向外分别作等边三角形，然后把外

面的三个顶点与原三角形的相对顶点相连，交于点P,点

P就是原三角形的费马点.

最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而

来，所以应熟练掌握费马点等此类最值经典题。

X压轴题型讲练2

题型一：奔驰模型

选择题（共1小题）

1.（2020秋•顺平县期中）如图，尸是等边三角形48c内的一点，且力=3,PB=4,PC=5,将A4Ap

绕点2顺时针旋转60。到AC80位置.连接尸Q,则以下结论错误的是（）

A.NQPB=60。B.APQC=90°C.AAPB=\50°D.N/PC=135°

二.填空题（共4小题）

2.（2023秋•北屯市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A4O5是等边三角形，点工的坐标是

（0,6）,点8在第一象限，NO4B的平分线交x轴于点尸，把A40P绕着点/按逆时针方向旋转，使边

与N3重合，得到A42D,连接。尸.则DP=,。点坐标为.

3.（2023秋•长宁区校级期中）已知在A42C中，AACB=90°,AB=2Q,sinB=—（如图），把A4BC绕

5

着点C按顺时针方向旋转"°（0<1<360）,将点/、8的对应点分别记为点4、B',如果△/4C为直角

三角形，那么点/与点9的距离为.

4.（2022秋•新抚区期中）如图，正方形42CA中，将边绕着点/旋转，当点8落在边C£）的垂直平分

线上的点E处时，ABED的度数为.

5.（2021秋•盘龙区校级期中）如图，P是等边三角形内的一点，且尸4=3,尸8=4,PC=5,以BC

为边在AABC外作ABQC=ABPA,连接PQ,则以下结论中正确有（填序号）

①A&PQ是等边三角形②APCQ是直角三角形③N4P8=150。@//2。=135。

0

三.解答题（共6小题）

6.（2022秋•西湖区校级期中）如图，一块等腰直角的三角板N2C,在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋

转到ACDE的位置，使/,C,。三点在同一直线上，连接求/£>£/的度数.

7.（2021秋•长乐区期中）在RtAABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=4,将A43c绕点3顺时针旋

转一定的角度得到AZ）3£,点/,C的对应点分别是。，E,连接4D.

（1）如图1,当点E恰好在边N5上时，求/4DE的大小；

（2）如图2,若尸为4D中点，求C尸的最大值.

图2

8.（2022秋•东胜区校级期中）（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1,P

是正方形内一点，连结尸/,PB,PC现将AP48绕点2顺时针旋转90。得到的△PC3,连接

PP'.若PA=C,PB=3,NAPB=135。,则尸C的长为,正方形的边长为.

（变式猜想）（2）如图2,若点尸是等边A4BC内的一点，且R4=3,PB=4,PC=5,请猜想N/P5的

度数，并说明理由.

（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：

如图3,在四边形4BCL（中，AD=3,CD=2,ZABC=ZACB=ZADC=45°,则AD的长度为.

9.（2023秋•梁山县期中）如图，尸是正三角形4BC内的一点，且尸/=6,PB=8,PC=10.若将APNC

绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB.

（1）求点尸与点P之间的距离；

（2）求N/P3的度数.

10.（2020秋•黄石期中）下面是一道例题及其解答过程，请补充完整.

（1）如图1,在等边三角形48C内部有一点尸，PA=3,PB=4,PC=5,求44网的度数.

解：将A4PC绕点N逆时针旋转60。，得到连接尸P,则A4Pp为等边三角形.

PP'=PA=3,PB=4,P'B=PC=5,

P'P2+PB2=P'B1.

:.MPP为三角形.

ZAPB的度数为.

（2）类比延伸

如图2,在正方形4BCL（内部有一点尸，若N4PZ>=135。，试判断线段尸/、PB、之间的数量关系，并

说明理由.

11.（2023秋•罗山县期中）阅读与理解：如图1,等边NBDE（边长为°）按如图所示方式设置.

操作与证明：

（1）操作：固定等边A45c（边长为6）,将A5DE绕点2按逆时针方向旋转120。，连接ND,CE,如图

2；在图2中，请直接写出线段CE与之间具有怎样的大小关系.

（2）操作：若将图1中的A5OE,绕点8按逆时针方向旋转任意一个角度a（6（F<a<180。），连接4D,

CE,4。与CE相交于点连BM,如图3；在图3中线段CE与之间具有怎样的大小关系？AEMD

的度数是多少？证明你的结论.

猜想与发现：

（3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，当a为多少度时，线段的长度最大，最大是多少?

当e为多少度时，线段的长度最小，最小是多少？

D

图1图2图3

题型二：费马点模型

选择题（共1小题）

1.（2023秋•萧山区期中）如图，已知/B/C=60。，AB=4,/C=6,点尸在A48c内，将A4PC绕着点

/逆时针方向旋转60。得到AXE1尸.则ZE+P2+尸C的最小值为（）

A.10B.2MC.5百D.2vH

二.解答题（共2小题）

2.（台州期中）（1）知识储备

①如图1,已知点尸为等边A48c外接圆的3c上任意一点.求证：PB+PC=PA.

②定义：在A42c所在平面上存在一点尸，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点尸为A45C的费

马点，此时尸N+P8+PC的值为AA8C的费马距离.

（2）知识迁移

①我们有如下探寻AA8C（其中ZB,NC均小于120。）的费马点和费马距离的方法：

如图2,在AA8C的外部以5c为边长作等边ABC。及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段_4D_的

长度即为A43C的费马距离.

②在图3中，用不同于图2的方法作出A45c的费马点尸（要求尺规作图）.

（3）知识应用

①判断题（正确的打4,错误的打x）:

i.任意三角形的费马点有且只有一个—；

ii.任意三角形的费马点一定在三角形的内部.

②已知正方形48cD,尸是正方形内部一点，且尸工+尸8+尸C的最小值为6+、Q,求正方形N8CZ）的

边长.

3.（宿豫区校级期中）探究问题：

（1）阅读理解：

①如图（A）,在已知A45c所在平面上存在一点尸，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点尸为A45c

的费马点，此时P/+P8+PC的值为A42C的费马距离；

②如图（B）,若四边形/8CA的四个顶点在同一圆上，贝1|有+=.此为托勒密定理；

（2）知识迁移：

①请你利用托勒密定理，解决如下问题：

如图（C）,己知点尸为等边A4BC外接圆的数上任意一点.求证：PB+PC=PA；

②根据（2）①的结论，我们有如下探寻A42c（其中//、NB、NC均小于120。）的费马点和费马距离的

方法：

第一步：如图（D）,在A48c的外部以3c为边长作等边ABC。及其外接圆；

第二步：在前1上任取一点P,连接P/、PB、PC、P'D.易知

P'A+P'B+P'C=P'A+（P'B+PC）=P'A+；

第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出A42C的费马点尸，并请指出线段的长度即为A43c

的费马距离.

2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓

的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.

己知三村庄/、B、C构成了如图（E）所示的AABC（其中乙4、/B、NC均小于120。），现选取一点尸

打水井，使从水井尸到三村庄N、8、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值.

(®E)

“压轴能力测评”

1.（连城县期中）（1）如图1,点尸是等边A42C内一点，已知P4=3,PB=4,PC=5,求N/P8的度

数.

要直接求44的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集

中到一个三角形内，如图2,作NP4D=60。使=连接PD,CD,则AP/D是等边三角形.

=AD=AP=3,ZADP=ZPAD=60°

AABC是等边三角形

/.AC=AB,ABAC=60°

NBAP=

,AABP^AACD

・•,BP=CD=4,=ZADC

♦・•在APCD中，PD=3,PC=5,CQ=4,PD2+CD2=PC2

ZPDC=°

AAPB=ZADC=/ADP+ZPDC=60°+90。=150°

（2）如图3,在A4BC中，AB=BC,/ABC=9。。,点尸是A45C内一点，PA=1,PB=2,PC=3,求

44班的度数.

2.（西城区校级期中）如图，尸是等边A43c内的一点，且尸4=5,PB=4,PC=3,将A4尸8绕点2逆

时针旋转，得至IJACQ2.求：

（1）点尸与点。之间的距离；

（2）求NAPC的度数.

3.（汉阳区期中）如图，尸是等腰AABC内一点，AB=BC,连接尸/,PB,PC.

（1）如图1,当//8C=90。时，将AP48绕3点顺时针旋转90。，画出旋转后的图形;

（2）在（1）中，若尸/=2,PB=4,PC=6,求N/P2的大小；

（3）当乙1BC=6O。时，且PZ=3,PB=4,PC=5,则A4PC的面积是（直接填答案）

4.（汉阳区期中）（1）阅读证明

①如图1,在A42c所在平面上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点尸为A