2022年高考数学一轮复习：空间向量

2022年高考一轮复习热点难点精讲精析：7.3空间向量

一、直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示

(一)用向量法证明平行、垂直

※相关链接※

1.用向量证明线面平行的方法有：

(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；

(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；

(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.

2.用向量法证垂直问题

(1)证明线线垂直，只需证明两直线的方向向量数量积为0;

(2)证明线面垂直,只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或利用线面垂直的判定定理转化为

证明线线垂直；

(3)证明面面垂直,只需证明两平面的法向量的数量积为0,或利用面面垂直的判定定理转化为证明线

面垂直.

3.利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行和垂

直.

(1)设直线/的方向向量为%=(q，4，Ci)直线’的方向向量为也，。2)那么

12)设直线1的方向向量为%=(q，4，C])平面a的法向量为〃=(%,8,。2)那么

(3)设平面a的法向量为=(可,4，9)平面6的法向量%=(%力2，。2)那么

※例题解析※

K例》如下列图，在四棱锥P-ABCD中，PC_L平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中，ZB=Z

C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.

⑴求证:CM〃平面PAD;

(2)求证:平面PAB_L平面PAD.

思路解析：题目中存在从点C出发的三条两两垂直的直线，故可建立空间直角坐标系，用向量的坐标

运算证明线面平行,线线垂直,面面垂直.

解答：以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如下列图的

空间直角坐标系Cxyz.

：PC_L平面ABCD,

/.ZPBC为PB与平面ABCD所成的角,

.,.ZPBC=30°.

VPC=2,.•.BC=2A/3,PB=4.

.-.D(0,1,0),B(2A/3,0,0),

A(2V3,4,0),P(0,0,2),M(—,0,-),

22

...DP=(0,-l,2),DA=(2百，3,0),CM=(—,0,-),

22

/f)P•7?=0•

(1)令i'一•：为平面PAD的一个法向量，那么！/r"•

ri

广、+2:=0..,一

即|?VI.r+3.y=O.

令y=2,得"；、「；.二・11.

⑵取AP的中点E,那么/：712.I)./“•：一(一、乐2・D.

(二)异面直线所成的角

※相关链接※

高考中对异面直线所成的角的考查,一般出现在综合题的某一步,一般步骤为：

(1)平移：要充分挖掘图形的性质，寻找平行关系,如利用“中点〃特征等.

(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角.

寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之.

(4)取舍：因为异面直线所成的角。的取值范围是0°<6^90°,所以所作的角为钝角时，应取它的

补角作为异面直线所成的角.

假设用向量法，那么转化为求两向量的夹角.

※例题解析※

K例》如图，矩形/氏/和梯形座汽C所在平面互相垂直，BE//CF,BCLCF,AD=6,EQ2,止3,

层4.

(I)求证：阮L平面DCE；

(II)当26的长为何值时,二面角力1尸七的大小为60°.

解析：［I)证明：在△及方中，BCLCF,BC=AD-,BE-Z,/.EC=2^,

:在△尸"中，/="+/，J.EFLCE-......................3分

由条件知，2c_L平面EFCB,.\DC±£F,

又DC与£C相交于C,........................................................5分

.:①U平面DCE-..............................6分

(II)如图，以点C为坐标原点，以、CB,〃和切分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系

C-xyz..................................7分

设/斤a(a〉O),那么C(0,0,0),Z(G,O,a),,0,0),E(也,3,0),F[0,4,0〕.

从而EF=(-V3,1,O),AE=(0,3,—a),.....................9分

设平面%F的法向量为〃=(%,%z),由EF。〃=0,A£・〃=0得，

「Gx+y=o,取户1,那么y=M,z=正，

3y—az=0a

即〃=（1,G,更），....................II分

a

不妨设平面瓦窗的法向量为84=(0,0,〃)，

n-BA3A/3<2_1

由条件，得|cos<〃,A4〉|=

\n\\BA\a"/+272

解得a=2.所以当AB=2时，二面角/-£户七的大小为60°.

22

(三)利用向量法解决开放性问题

※相关链接※

1.开放性问题是近几年高考的一种常见题型，这类问题具有一定的思维深度，用向量法较容易解决.

2.对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，假设

有解且满足题意那么存在，假设有解但不满足题意或无解那么不存在.

※例题解析※

[[例]如图，正方形0BCD所在平面与等腰直角三角形A0D所在平面互相垂直，0A=0D=4,点E、F分

别为CD、0A的中点.

⑴求证:DF〃平面AEB；

⑵线段AD上是否存在一点M,使BM与平面AEB所成角的正弦值为巫假设存在，请求出巨凶的值;

18MA

假设不存在，请说明理由.

思路解析：第⑴问用传统方法证明，即利用中位线定理在平面AEB内找一条直线与DF平行；第⑵

问用向量法解答比较容易入手.

解答：(1)如图，取AB中点G,连结FG,EG；'

：FG〃OB,

；.FG〃DE,

「11

又FG=—OB,DE=-OB,

22

；.FG=DE,

四边形EDFG为平行四边形，

；.DF〃EG,

又EGu平面AEB,DF(Z平面AEB,

；.DF〃平面AEB.

(2)依题意知平面OBCD_L平面AOD,OB±OD,

平面AOD,得OB_LOA,

又AO_LOD,OB±OD.

如图，以0为原点，建立空间直角坐标系Oxyz,

VA0=0D=4,可得A(0,4,0)、E(4,0,2)、B(0,0,4),

AE=(4,-4,2),AB=(0,-4,4).

设平面AEB的一个法向量为n=(l,b,c),

解得b=2,c=2,

An=(l,2,2).

设线段AD上存在一点M(t,4-t,0),

其中0WtW4,那么BM=(t,4-t,-4).

可得t2+2t-8=0,解得t=2或t=-4(舍去).

所以AD上存在一点M(2,2,0),它是AD的中点，

二、空间直角坐标系

(一)求空间中点的坐标

※相关链接※

1、通过分析几何体的特点，恰当的建立坐标系，可以方便的写出点的坐标，“恰当"的原那么是：①

充分利用几何体的垂直关系；②尽可能的让点落在坐标轴或坐标平面上。

注：不同的建系方法，求出的点的坐标也不同。

2、求空间点P坐标的方法

方法一：(1)过点P作一个平面平行于坐标平面yOz,这个平面与x轴的交点记为匕，它在x轴上的

坐标为x,这个数x叫做点P的横坐标；

(2)过点P作一个平面平行于坐标平面xOz,这个平面与y轴的交点记为P、,它在y轴上的坐标为y,

这个数y叫做点P的纵坐标；

13)过点P作一个平面平行于坐标平面xOy,这个平面与z轴的交点记为E,它在z轴上的坐标为z,

这个数z叫做点P的竖坐标。显然x轴上点的坐标形如(x,0,0),xOy平面上点的坐标形如(x,y,0).

方法二：从点P向三个坐标平面作垂线，所得点P到三个平面的距离等于点P的对应坐标的绝对值，

进而可求点P的坐标。

※例题解析※

K例II正方体ABCD-AiBCDi的棱长为2,M为AC中点，N为ABi中点，建立适当的坐标系，写出M,N

两点的坐标。

思路解析：利用正方体的共顶点的三棱两两垂直建系，然后用求空间中点的坐标的方法来求。

解答：如图，

以A为原点，AB,AD,AA1分别为x,y,z轴的正半轴建立空间坐标系。从M点分别向平面yAz,平面xAz,

平面xAy作垂线。•.•正方体的棱长为2,...M点的坐标为(1,1,2).同理,N点坐标为(1,0,1).

(二)空间中点的对称问题

※相关链接※

1、常见对称点的坐标规律

在空间直角坐标系中，点P(x,y,z),那么点P

11)关于原点的对称点是(-x,-y,-z);

(2)关于x轴的对称点是(x,-y,-z);

(3)关于y轴的对称点是(-x,y,-z);

⑷关于z轴的对称点是(-x,-y,z);

(5)关于xOy坐标面的对称点是(x,y,-z);

(6)关于yOz坐标面的对称点是(-X,y,z);

⑺关于zOx坐标面的对称点是(x,-y,z).

2、中点坐标公式

假设A(x“yI,z)B3,y2>zj,那么线段AB的中点P的坐标为(±±玉,A±A,幺土三)

222

3、利用中点坐标公式也可求对称点的坐标。

※例题解析※

(例』矩形ABCD中，A[4,1,3),B[2,-5,1),C[3,7,-5),求顶点D的坐标

思路解析：AC的中点即为BD中点，利用中点坐标公式可求

7

解答：•••矩形的对角线互相平分，，AC的中点即为BD的中点。由,AC中点M为(一，4,-1)。设D(x,y,z),

2

7+27_y—5z+1___]

,

那么？—'c''1',/.x=5,y=13,z=-3...D(5,13,-3).

(三)空间两点间距离公式的应用

K例1直三棱柱ABC-ABQ中,ZBAC=9Oo,AB=AC=AAi=2,M为BG的中点，N为AB的中点,求|MN|

思路解析：建立空间直角坐标系一确定点M、N的坐标T•求|MN|。

解答：如图，

以A为原点，AB,AC,AA1为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，那么B(2,0,0),Ci

[0,2,2),Ai[0,0,2),Bi[2,0,2),AN[1,0,2),M[1,1,Ik?.|MN|=7Q-l)2+(0-l)2+(2-l)2=A/2O

注：利用空间中两点间的距离公式，可以求两点间的距离或某线段的长，只要建立恰当的坐标系，通

过简单的坐标运算即可解决。

三、空间向量及其运算

(-)空间向量的线性运算

※相关链接※

用向量表示未知向量，一定要结合图形。可从以下角度入手。

〔1〕要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来；

[2)把要表示感谢向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和差的形式，进而寻找这些向量与基向

量的关系。

(3)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否

那么考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘。

(4)注意应用以下结论,

①A为BC中点，。为空间任一点，那么。4=03+。。；

2

②A、B、C三点共线，。为空间任一点，那么。4=x08+(1-X)0C等。

※例题解析※

(例II如下列图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AB=b,AD=c,M、N、P分别

是AAi、BC、CD的中点，试用a,b,c表示以下各向量:

(1)AP；(2)AN；[3)MP+NC]

思路解析：结合图形，利用空间向量加减法及数乘运算法那么和运算律即可。

解答：⑴是CD的中点,

AP-+4+D[P=a+ADH—=a+cH—AB=a+cH—b

12)N是BC的中点，•*.MP=MA+AP——A,A+AP=—a+(a+cH—b)——an—Z?+c,

212222

又NC]=NC+CC、=；5C+AA]=；AD+AA]=；c+i,

111313

MP+NCX=(—a+—b+c)+(a+—c)=—a+—b+~c

(二)共线向量定理、共面向量定理的应用

※相关链接※

应用共线向量定理、共面向量定理，可以证明点共线、点共面、线共面。

1、证明空间任意三点共线的方法

对空间三点P,A,B可通过证明以下结论成立来证明三点共线：

⑴PAfPB；

⑵对空间任一点0,I."；：

⑶对空间任-点0,V\^1).

2、证明空间四点共面的方法

对空间四点P,M,A,B可通过证明以下结论成立来证明四点共面

MP=xMA-vMB；

OP=()M-

12)对空间任一点0,

⑶对空间任一点o,;（）均才.、.二=1）.

⑷PMAE（或PA//MB^PB//AM）.

1

注：在⑶中，假设r=?—n=—「；，那么点P即为AMAB的重心。

假设M（Xi，%,Zi）,A（X2，%,Z2）,B（X3，y3，Z3），P（x，%z）,那么假设P为AMAB的重心，那么

M+%+%,此即为三角形重心坐标公式。

-3

“Z1+Z2+Z3

.3

※例题解析※

K例1设A,B,C及Ai,Bi,C分别是异面直线1A上的三点，而M,N,P,Q分别是线段AAi,BAi,

BBi,CQ的中点，求证：M,N,P,Q四点共面。

思路解析：

11

解答：由题意得，NM=-BAfNP=aA\B],：.BA=2NM，AB】=2NP.又A,B,C及A”Bi,3

1

分别共线，・・・BC=%3A,BC=5耳.又P。=]（5C+与。]）,

PQ=^（2BA+tA,B1）=^（2ANM+2tNP）=ANM+tNP.

PO,Mlf,NP共面.

四点共面.

（三）空间向量的数量积运算

K例[如图，直三棱柱ABC-ABCi中，BCi±AB1）BCiXAiC,求证：AB尸AG

思路解析：利用直棱柱的性质，可证明AB=AC,那么ABi=A£。

解答：BC〕=BC+CC\,A]C=A]C]+CQ。

同理：AB]=AB+BB],BQ=BB}+耳。，

注：[1）利用向量的数量积，可以求异面直线所成的角，两点间的距离，证明垂直等问题。当题目条

件中有垂直关系时，转化为数量积为零进行应用，非常方便。

12）利用向量解决几何体中的长度、夹角、垂直等问题的根本思路是先根据条件选择基向量，并求

出其长度和数量积，再用基向量表示出有关的向量，并进行向量运算，从而得出相关结论。

（四〕空间向量的坐标运算

※相关链接※

空间向量的有关运算

设a=(%,%,%)，9=(4也也)

11)坐标运算

(2)共线与垂直的坐标表示

u—ba•b-aj>abab'均为非零向量)。

13)模和距离公式

假设A(ui-bt-Ci).Ba，b’c)•那么

d.\B=AB

=y(aa,)•(b,(c(j).

※例题解析※

(例F设向量"一(；；•'•：；•/，一<〔"•力•计算，a：："，•；：；〃：？/；，<；.〃以及

>>>►

"与所成角的余弦值，并确定入，口应满足的条件，使入a.与z轴垂直。

思路解析：代入向量坐标运算的公式求36-3”)•；「力，利用数量积求”与，的夹

角余弦值，利用以)•确定入，口的关系。

解答：：〃,"=2/(3,5・1)-3/■<2-1-8L[6,10,-8)+16,3,24]=(12,13,16)。

3a''6=3X〔3,5,-4)-2X[2,1,8)=[9,15,-⑵-[4,2,16)=[5,13,-28)。

U-6=(3,5,-4)•(2,1,8)=6+5-32=-21.

,•；、a'b2177138-

cos(a.b)=-:----=—----------------------

labl廊.V6923。

由,；/U,t<<>''•'•'=(3X+2u,5X+p,-4X+8u)•(0,0,1)=-4A+8u=0,即A=2口，

...当人，口满足A=2口时,可使人二〃鼠与z轴垂直

四、立体几何中的向量方法

(一)利用空间向量证明平行和垂直

※相关链接※

利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行和垂直。

〔1〕设直线4的方向向量为加=(⑷，8•°),直线4的方向向量为"=(分".c那么4

〃/..“IH.(•"•〕>Cl•I)•c)\eR);

⑵设直线/的方向向量为"=(a平面a的法向量为n=(a.b.c),那么

/〃a。u—〃：二Uia-b\I)t-ii一'：：I'：r-a,1i.3、、)=k(a-6.c)(R.

⑶设平面a的法向量为"，—(□•〃•Ci),平面B的法向量为"),那么a〃

B

O他〃”.<=>(U1=k(a-b•c)(kGR)；a_芹m_n<=^aia-bib-c,。=().

※例题解析※

R例』如图，在四棱锥P-ABCD中，PA_L底面ABCD,ABXAD,AC±CD,ZABC=60°,PA=AB=BC,E是PC

的中点。

⑴证明AELCD；

(2)证明：PD_L平面ABE。

思路解析：①建立空间直角坐标系一确定二的坐标-计算AE•(T.^AE±CD；

②求面ABE的法向量”一判断满足1)1)~h11(底RPDL平面ABE或确定「「)、八口、AE坐

PD_AE

标T■计算臼)•八比臼)•AEfPD_ABfPD，平面ABE

解答：[1)TAB、AD、AP两两垂直，建立如下列图的空间直角坐标系，

设PA=AB=BC=1,那么P[0,0,1)。

(二)利用空间向量求点面距

※相关链接※

利用向量法求点面距，其步骤如下：

11)求出该平面的一个法向量；

(2)找出过该点的平面的任一条斜线段对应的向量；

(3)求出法向量与斜线段所对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点面平面的距

离，如图:

点P到平面a的距离n

n»

~~=n

由于"可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该

点出发的斜线段所对应向量的数量积的绝对值，即‘AP•>i

※例题解析※

K例北京卷16〕如图，在三棱锥尸—ABC中，AC=BC=2,NAC3=90,AP=BP=AB,

PC1AC.

(I〕求证：PC1AB；

UI)求二面角8—4P—C的大小;

(III)求点C到平面AP5的距离.

思路解析：题中(I)利用PACPBC证明；题中(n)(III)可利用题中［I］的结论:

PC,AC,BC两两垂直，建立空间直角坐标系求解。

解法一:

(I)取中点D,连结PDCD.

AP=BP,

PDLAB.

AC=BC,

CDLAB.

PDCD=D,

A3,平面PCD.

PCu平面PCD,

PCLAB.

[II)AC=BC,AP=BP,

.■.△APC^ABPC.P

又PC，AC,

PC1BC.

又NACB=90,即ACLBC,且ACPC=C,

BC,平面PAC.

取AP中点E.连结BE,CE.

AB=BP,BELAP.

EC是BE在平面PAC内的射影，

CELAP.

：.NBEC是二面角B-AP-C的平面角.

在△BCE中，NBCE=90,BC=2,BE=—AB=46,

2

BC

...sin/B.EC--------屈--.

BE3

二面角B-AP-C的大小为arcsin—.

3

[III）由[I）知A3,平面PC。，

平面APB±平面PCD.

过C作C"_LPD,垂足为H.

:平面APB平面PCD=PD,

:.CH，平面APB.

：.CH的长即为点C到平面APB的距离.

由（I）知PC，,又PCAC,且ABAC=A,

：.PCmABC.

CDu平面ABC,

PCICD.

在RtZXPCD中，CD=—AB=4i,PD=—PB=s/6,

22

PC=y]PD2-CD-=2.

“PCxCD273

C/i=--------------=--------.

PD3

点C到平面APB的距离为述.

3

解法二：

(I)AC=BC,AP=BP,

.•△APC注ABPC.

又「CJ.AC,

PCIBC.

ACBC=C,

PC_L平面ABC.

A3u平面ABC,

PCIAB.

UI)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-孙z.

那么C(0,0,0),40,2,0)，3(2,0,0).

设尸(0,0,t).

\PB\=\AB\=2s/2,

:.t=2,P(0,0,2).

取AP中点E,连结BE,CE.

\AC\=\PC\,\AB\=\BP\,

CELAP,BE1AP.

NBEC是二面角B-AP-C的平面角.

E(0,l,l),EC=(0,—1,—1),E3=(2,—1,—1),

EC・EB2__

cosZBEC=

EC~EBV2xV6-3

二面角B-AP-C的大小为arccos—.

3

(III)AC=BC=PC,

:.C在平面APB内的射影为正AAPB的中心〃，且CH的长为点C到平面APB的距离.

如（II）建立空间直角坐标系C-孙2.

BH=2HE,

.•.点〃的坐标为（2,2,2].

（333）

.•.点C到平面APB的距离为述.

3

（三）利用空间向量求空间角

K例』湖北卷18.〔本小题总分值12分）

如图，在直三棱柱A3C—4B1G中，平面ABC，侧面

[I）求证：ABLBC；

[