2024年沪教版高二数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪教版高二数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、若直线y=ax+3与直线y=-2x+a垂直；则实数a的值为（）

A.-2

B.2

C.

D.

2、有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有()种A.21B.315C.143D.1533、【题文】右图所示的是函数图象的一部分；则其函数解析式是（）

A.B.C.D.4、一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率为（）A.B.C.D.5、已知函数f（x）=lg（kx-1）在[10，+∞）上单调递增，则k的取值范围是（）A.k＞0B.0＜k＜C.k≥D.k＞6、某农科所种植的甲、乙两种水稻，连续六年在面积相等的两块稻田中作对比试验，试验得出平均产量是==415㎏，方差是=794，=958，那么这两个水稻品种中产量比较稳定的是（）A.甲B.乙C.甲、乙一样稳定D.无法确定7、已知实数ab

满足ln(b+1)+a鈭�3b=0

实数cd

满足2d鈭�c+5=0

则(a鈭�c)2+(b鈭�d)2

的最小值为(

)

A.1

B.2

C.3

D.4

评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)8、某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，统计出他们在某一天的课外阅读所用的时间（单位：小时）[0，0.5）5人，[0.5，1）20人，[1，1.5）10人，[1.5，2）10人，[2，2.5）5人，问这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为____小时．9、【题文】已知为锐角，且则____．10、【题文】若关于x的不等式的解集为则m的值为____.11、【题文】数列满足：若数列有一个形如的通项公式，其中均为实数，且则____.（只要写出一个通项公式即可）12、已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，给出下列四个命题：①对角线AC1被平面A1BD和平面B1CD1三等分；

②正方体的内切球；与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为1：2：3；

③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是

④正方体与以A为球心；1为半径的球在该正方体内部部分的体积之比为6：π

其中正确命题的序号为____．

13、设g（x）=ax（x＞2）．

（1）若∃x0∈[2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围是______

（2）若∀x1∈[2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为______．14、圆（x+2）2+y2=4与圆（x-2）2+（y-1）2=9的位置关系为______．15、已知{an}是公差不为0的等差数列，不等式x2-a3x+a4≤0的解集是{x|a1≤x≤a2}，则an=______．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共28分)22、如图；已知一个圆锥的底面半径为R，高为h，在其中有一个高为x的内接圆柱（其中R，h均为常数）．

（1）当x=h时；求内接圆柱上方的圆锥的体积V；

（2）当x为何值时；这个内接圆柱的侧面积最大？并求出其最大值．

23、已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1

（1）求函数f（x）的极值点．

（2）若f（x）≤0恒成立；试确定实数k的取值范围．

（3）证明：++（n∈N；n＞1）．

24、（本小题满分12分）如图，以原点O为顶点，以y轴为对称轴的抛物线E的焦点为F（0，1），点M是上任意一点，过点M引抛物线E的两条切线分别交x轴于点S，T，切点分别为B，A。（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求证：点S，T在以FM为直径的圆上25、已知实数a，b，c满足a＞b＞c，求证：++＞0．评卷人得分五、计算题(共1题，共4分)26、1.（本小题满分12分）已知投资某项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是．设该项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记产品价格在一年内的下降次数为对该项目每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应的利润为1.6万元、2万元、2.4万元．求投资该项目十万元，一年后获得利润的数学期望及方差．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、D【分析】

直线y=ax+3的斜率为k1=a，直线y=-2x+a的斜率为k2=-2．

因为直线y=ax+3与直线y=-2x+a垂直，所以k1•k2=-1；

即a×（-2）=-1，解得：a=．

故选D．

【解析】【答案】由给出的直线的方程求出两条直线的斜率；因为两条直线互相垂直，所以斜率之积等于-1，列式后可以求得实数a的值．

2、C【分析】根据题意，从中选出不属于同一学科的书2本，包括3种情况：①一本语文、一本数学，有9×7=63种取法，②一本语文、一本英语，有9×5=45种取法，③一本数学、一本英语，有7×5=35种取法，则不同的选法有63+45+35=143种；故选C．【解析】【答案】C3、A【分析】【解析】由图像可知A=1,并且

所以应选A【解析】【答案】A4、A【分析】【解答】解：现从袋中取出1球；然后放回袋中再取出一球，共有4种结果（红，红）（红，白）（白，红）（白，白）

记“取出的两个球同色”为事件A；则A包含的结果有（白，白）（红，红）2种结果。

由古典概率的计算公式可得P（A）=

故选：A

【分析】分别求从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，结果；取出的两个球同色结果，代入概率计算公式可求5、D【分析】解：∵函数f（x）=lg（kx-1）在区间[10；+∞）上为单调递增函数。

∴y=kx-1在[10；+∞）上为单调递增函数，且kx-1＞0在[10，+∞）上恒成立。

k=0时；显然不符合题意。

k≠0时。

∴需y=kx-1在[10；+∞）上的最小值10k-1＞0

∴

故选D

因为函数f（x）=lg（kx-1）为函数y=lgx与y=kx-1的复合函数；函数y=lgx在定义域内为增函数，要想复合函数为增函数，只需在定义域上y=kx-1在[10，+∞）上为单调递增函数，且要保证真数恒大于零，由一次函数的性质可求k的范围。

本题考查了对数函数的图象和性质，一次函数图象和性质，复合函数的定义域与单调性，不等式恒成立问题的解法，转化化归的思想方法【解析】【答案】D6、A【分析】解：因为S甲2＜S乙2；

∴产量比较稳定的是甲．

故选A．

根据方差的统计意义判断．方差越小数据越稳定．

本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解析】【答案】A7、A【分析】解：由ln(b+1)+a鈭�3b=0

得a=3b鈭�ln(b+1)

则点(b,a)

是曲线y=3x鈭�ln(x+1)

上的任意一点；

由2d鈭�c+5=0

得c=2d+5

则点(d,c)

是直线y=2x+5

上的任意一点；

因为(a鈭�c)2+(b鈭�d)2

表示点(b,a)

到点(d,c)

的距离的平方；即曲线上的一点与直线上一点的距离的平方；

所以(a鈭�c)2+(b鈭�d)2

的最小值就是曲线上的点到直线距离的最小值的平方，即曲线上与直线y=2x+5

平行的切线到该直线的距离的平方．

y鈥�=3鈭�1x+1=3x+2x+1

令y鈥�=2

得x=0

此时y=0

即过原点的切线方程为y=2x

则曲线上的点到直线距离的最小值的平方d2=(522+(鈭�1)2)2=1

．

故选：A

(a鈭�c)2+(b鈭�d)2

的几何意义是点(b,a)

到点(d,c)

的距离的平方，而点(b,a)

在曲线y=3x鈭�ln(x+1)

上，点(d,c)

在直线y=2x+5

上.

故(a鈭�c)2+(b鈭�d)2

的最小值就是曲线上与直线y=2x+5

平行的切线到该直线的距离的平方.

利用导数求出曲线上斜率为2

的切线方程；再利用两平行直线的距离公式即可求出最小值．

本题考查了导数的几何意义和两平行线之间的距离公式，关键是弄清所要求表达式的几何意义以及构造曲线和直线，属于中档题．【解析】A

二、填空题(共8题，共16分)8、略

【分析】

这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为。

0.25×=

故答案为．

【解析】【答案】本题需先根据题意列出表示50名学生这一天平均每人的课外阅读时间的式子；再进行计算即可．

9、略

【分析】【解析】

试题分析：为锐角，

考点：同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】

【解析】【答案】111、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】12、①②④【分析】【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，故对角线AC1=

棱锥A﹣A1BD的体积为：×1×1×1=．

平面A1BD的面积为：

故A到平面A1BD的距离为：

故对角线AC1被平面A1BD和平面B1CD1三等分；

即①正确；

正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的半径分别为：

故正方体的内切球；与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为1：2：3；

故②正确；

以正方体的顶点为顶点的四面体的体积为或

故③错误；

以A为球心，1为半径的球在该正方体内部部分的体积为=π

故正方体与以A为球心；1为半径的球在该正方体内部部分的体积之比为6：π

故④正确；

故答案为：①②④

【分析】根据正方体的几何特征，分别判断各个命题的真假，可得结论．13、略

【分析】解：（1）

当x≥2时，函数f（x）单调增，所以f（x）min=3

∵∃x0∈[2，+∞），使f（x0）=m成立；

∴实数m的取值范围是[3；+∞）

（2）∀x1∈[2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2）；即使得f（x）的值域是g（x）值域的子集。

∀x∈[2；+∞），f（x）的值域为[3，+∞）

当a＞1时，g（x）=ax（x＞2）的值域为（a2，+∞），∴a2＜3，∴1＜a＜

当0＜a＜1时；函数为减函数，显然不成立。

综上，实数a的取值范围为（1，）

故答案为：[3，+∞），（1，）

（1）配方可得当x≥2时，函数f（x）单调增，所以f（x）min=3；从而可求实数m的取值范围；

（2）∀x1∈[2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2）；即使得f（x）的值域是g（x）值域的子集，由此可求结论．

本题考查恒成立问题，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【解析】[3，+∞）；（1，）14、略

【分析】解：圆C（x+2）2+y2=4的圆心C（-2，0），半径r=2；

圆M（x-2）2+（y-1）2=9的圆心M（2；1），半径R=3．

∴|CM|==R-r=3-2=1，R+r=3+2=5．

∴．

∴两圆相交．

故答案为：相交．

由两圆的方程可得圆心坐标及其半径；判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出．

本题考查了判断两圆的位置关系的方法，属于基础题．【解析】相交15、略

【分析】解：{an}是公差不为0的等差数列，不等式x2-a3x+a4≤0的解集是{x|a1≤x≤a2}；

所以a12-a3a1+a4=0，a22-a3a2+a4=0；设数列的公差为d；

a12-（a1+2d）a1+a1+3d=0，（d+a1）2-（a1+2d）（a1+d）+a1+3d=0；

解得a1=d=2；

所以数列的通项公式为：an=2n．

故答案为：2n．

通过不等式的解集；求出列出方程组，利用数列是等差数列，求出首项与公差，然后求出通项公式．

本题考查等差数列的性质，根与系数的关系，等差数列的通项公式的应用，考查计算能力．【解析】2n三、作图题(共6题，共12分)16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

20、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．21、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共28分)22、略

【分析】

圆锥；圆柱的轴截面如图所示；其中SO=h，OA=OB=R，OK=x．

设圆柱底面半径为r，则（3分）

（1）当时，

∴=

（2）设圆柱的侧面积为S．

∵

∴=

∴当时，．

【解析】【答案】（1）根据圆锥的底面半径与高；可得内接圆柱的高为x时，它的高h，由此结合圆柱体积公式即可列出用x表示圆柱的体积的式子；

（2）由（1）可得圆柱的侧面积结合二次函数的单调性与最值，可得当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．

23、略

【分析】

（1）f（x）的定义域为（1，+∞），f′（x）=-k．

当k≤0时；∵x-1＞0，∴f′（x）＞0，则f（x）在（1，+∞）上是增函数．

f（x）在（1；+∞）上无极值点．

当k＞0时，令f′（x）=0，则x=1+．所以当x∈（1，1+）时，f′（x）=-k＞-k=0；

∴f（x）在∈（1，1+）上是增函数；

当x∈（1++∞）时，f′（x）=-k＜-k=0，∴f（x）在∈（1++∞）上是减函数．

∴x=1+时；f（x）取得极大值．

综上可知，当k≤0时，f（x）无极值点；当k＞0时，f（x）有唯一极值点x=1+．

（2）由1）可知；当k≤0时，f（2）=1-k＞0，f（x）≤0不成立．

故只需考虑k＞0．

由1）知，f（x）max=f（1+）=-lnk；

若f（x）≤0恒成立，只需f（x）max=f（1+）=-lnk≤0即可；

化简得：k≥1．所以；k的取值范围是[1，+∞）．

3）由2）知；当k=1时，lnx＜x-1，x＞1．

∴lnn3＜n3-1=（n-1）（n2+n+1）＜（n-1）（n+1）2．

∴＜n∈N，n＞1．

∴++＜（3+4+5++n+1）=×（n-1）

=n∈N，n＞1．

【解析】【答案】（1）f′（x）=-k，当k≤0时，由x-