2024年沪科新版高二数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪科新版高二数学上册月考试卷268考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、函数的零点个数是（）A．0B.1C.2D.32、【题文】在中，已知是边上一点，若则等于A.B.C.D.3、【题文】当x∈（－2，－1）时，不等式（x+1）2ga|x|恒成立，则实数a的取值范围是（）A.[2,+∞）B.（1,2]C.（1,2）D.（0,1）4、【题文】阅读图6所示的程序框图；运行相应的程序，输出的结果是()

A.-1B.2C.3D.45、设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6、已知数列{an}a1=1an+1=2anan+2

则a10

的值为(

)

A.5

B.15

C.112

D.211

评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)7、从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽一张，已知第一次抽到A，则第二次也抽到A的概率为____．8、若函数在x∈[1，+∞）上恒有意义，则实数a的取值范围是____．9、若x，y∈R且3x2+2y2=6，则x2+y2的最大值为____，最小值为____．10、在[﹣4，3]上随机取一个数m，能使函数在R上有零点的概率为____．11、在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度（单位：m）是h（t）=-4.9t2+6.5t+10，则高台跳水运动员在t=0.5s时的瞬时速度______m/s．12、某社区有600

个家庭，其中高收入家庭150

户，中等收入家庭360

户，低收入家庭90

户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80

的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是______．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)13、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）14、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共12分)19、在中，（1）求角B的大小;（2）求的取值范围.20、设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，（n=1；2，3）

（1）求证数列{an}为等差数列，并分别写出an和sn关于n表达式。

（2）设数列的前n项和为Tn，求Tn

（3）是否存在自然数n值得若存在；求出n值，若不存在，说明理由．

21、已知圆C：直线L：（1）求证：对m直线L与圆C总有两个交点；（2）设直线L与圆C交于点A、B，若|AB|=求直线L的倾斜角；（3）设直线L与圆C交于A、B，若定点P(1,1)满足求此时直线L的方程.22、如图所示；四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，点F是PB的中点，点E在棱BC上移动．

（1）当E为BC的中点时；试判断EF与平面PAC的位置关系，并请说明理由；

（2）当E为BC的中点时，求直线EF与平面PDE所成角的正弦值．评卷人得分五、计算题(共3题，共30分)23、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．24、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．25、已知f（x）=∫1x（4t3﹣）dt，求f（1﹣i）•f（i）．评卷人得分六、综合题(共4题，共8分)26、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．27、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．28、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．29、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、C【分析】解:因为函数通过作图可知函数的零点个数为2个选C【解析】【答案】C2、C【分析】【解析】

试题分析：化为。

结合得，解得故选C。

考点：向量的运算。

点评：对于向量的运算，常要进行向量的合成和分解，本题关键是将式子化为两个不共线的向量，由于其和向量为零向量，因而两向量的系数为0.【解析】【答案】C3、B【分析】【解析】

。

作函数的图像，如图；要使不等式成立，首先应满足当函数图像过点（-2,1）时，此时满足条件；所以当x∈（－2，－1）时，不等式（x+1）2ga|x|恒成立，实数a的取值范围是故选B.【解析】【答案】B4、D【分析】【解析】当代入程序中运行第一次是然后赋值此时返回运行第二次可得然后赋值再返回运行第三次可得然后赋值判断可知此时故输出故选D。【解析】【答案】D5、A【分析】【解答】解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞所以当“x＞”⇒“2x2+x﹣1＞0”；

但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞”．

所以“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要条件．

故选A．

【分析】求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可．6、D【分析】解：隆脽

数列{an}a1=1an+1=2anan+2

隆脿a2=2隆脕11+3=23

a3=2隆脕2323+2=24

a4=2隆脕1212+2=25

由此猜想an=2n+1

．

下面利用数学归纳法进行证明：

垄脵a1=21+1=1

成立；

垄脷

假设ak=2k+1

则ak+1=2akak+2=4k+12k+1+2=2(k+1)+1

成立；

隆脿an=2n+1

隆脿a10=211

．

故选：D

．

利用数列的递推公式推导出数列{an}

的前四项，从而猜想an=2n+1.

并利用利用数学归纳法进行证明得到an=2n+1

由此能求出a10

．

本题考查数列的第10

项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推公式、数学归纳法的合理运用．【解析】D

二、填空题(共6题，共12分)7、略

【分析】

由于第一次抽到A；则第二次抽牌时，还有3张A，共51张牌，而每张牌被抽到的概率是相等的；

故第二次也抽到A的概率为=

故答案为．

【解析】【答案】第二次抽牌时，还有3张A，共51张牌，每张牌被抽到的概率是相等的，故第二次也抽到A的概率为．

8、略

【分析】

∵ax-1≥0在x∈[1，+∞）上恒有意义，∴x∈[1，+∞），∴a≥1．

因此实数a的取值范围是a≥1．

故答案为a≥1．

【解析】【答案】把求解的恒有意义问题等价转化为求函数的最大值问题即可．

9、略

【分析】

由3x2+2y2=6得：代入：

∵≥0

∴0≤y2≤3

∴

故x2+y2的最大值为3；最小值为2

故答案为：3；2

【解析】【答案】利用条件3x2+2y2=6，将x2+y2转化为二次函数；进而可确定函数的最大值与最小值。

10、【分析】【解答】解：若函数在R上有零点，则△=2m2﹣8≥0，解得m≥2或m≤﹣2，即在[﹣4，3]上使函数有零点的范围为[﹣4，﹣2∪[2，3]，由几何概型可得函数y=f（x）有零点的概率．

故答案为：．

【分析】首先明确函数有零点的x的范围，利用几何概型的公式解答即可．11、略

【分析】解函数的导数h′（t）=-9.8t+6.5；

在t=0.5s时的瞬时速度为h′（0.5）=-9.8×0.5+6.5=1.6m/s；

故答案为：1.6．

根据导数的几何意义进行求解即可．

本题主要考查导数的物理意义，求函数的导数是解决本题的关键．【解析】1.612、略

【分析】解：每个个体被抽到的概率等于80600=215

隆脿

中等收入家庭应抽取的户数为360隆脕215=48

故答案是：48

．

先求出每个个体被抽到的概率；再用该层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．

本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．【解析】48

三、作图题(共6题，共12分)13、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．14、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共12分)19、略

【分析】试题分析：（1）条件中给出的关系式是边角之间的关系式，因此考虑采用正弦定理进行边角互化，将其统一为角之间的关系式：（2）由（1）可知因此可以将表达式转化为只与有关的三角表达式，再利用三角恒等变形将其化简，结合即可求得取值范围：再由可知从而即取值范围是试题解析：（1）∵由正弦定理，∴即又∵∴∴又∵∴（2）由（1）得：∴又∵∴∴即的取值范围是考点：1.正弦定理解三角形；2.三角恒等变形.【解析】【答案】（1）（2）20、略

【分析】

（1）由

得sn=nan-2n（n-1）

当n≥2时an=sn-sn-1=nan-（n-1）an-1-4（n-1）

得an-an-1=4（n=2；3，4）

故{an}是的a1=1为首项，4为公差的等差数列an=4n-3，sn=2n2-n

（2）

=

=

=

（3）由

∴=1+3+5+7++（2n-1）-（n-1）2=n2-（n-1）2=2n-1

令2n-1=2009

得n=1005

所以有在满足条件的自然数n=1005

【解析】【答案】（1）根据Sn与an的固有关系an=进行求出an-an-1=4，从而可证数列{an}为等差数列，an和sn关于n表达式亦可求．

（2）应用裂项求和法即可．

（3）由计算解关于n的方程．

21、略

【分析】

(2)8分(3)【解析】本试题主要是考查了直线与圆的位置关系，以及向量的知识综合运用。（1）要证明直线与圆总有公共点，则说明圆心到直线的距离小于圆的半径即可。（2）设出直线方程，利用联立方程组，通过弦长公式得到斜率K的值，进而得到直线方程。（3）设出点A,B的坐标，然后利用向量关系式得到坐标关系，进而联立方程组结合韦达定理得到结论。【解析】【答案】22、略

【分析】

（1）EF∥平面PAC；利用三角形中位线的性质及线面平行的判定定理证明即可；

（2）求出CP与平面PDE所成角的正弦值；即可求直线EF与平面PDE所成角的正弦值．

本题考查空间直线、平面位置关系的判定，线面角求解．考查空间想象能力、推理论证、转化计算能力．【解析】解：（1）EF∥平面PAC．

证明：∵E为BC中点；F是PB中点，∴EF∥CP；

∵CP⊂平面PAC；EF⊄平面PAC，∴EF∥平面PAC：

（2）E为BC中点，F是PB中点，∴EF∥CP且EF=．

∵底面ABCD是正方形；PA⊥底面ABCD，PA=AB=2；

∴PC=2∴EF=

△PDE中，PD=2DE=PE=3，cos∠DPE==

∴∠DPE=45°；

∴S△DPE==3；

设C到平面DPE的距离为h，则由等体积可得=

∴h=

∵PC=2

∴CP与平面PDE所成角的正弦值==．

∴直线EF与平面PDE所成角的正弦值为．五、计算题(共3题，共30分)23、略

【分析】【分析】先移项并整理得到=，然后两边进行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化为=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案为：1或2．24、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；

因为BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因为∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．25、解：f（x）=（t4+）|1x=x4+﹣2f（1﹣i）=（1﹣i）4+﹣2=+

f（i）=i4+﹣2=﹣1﹣i

f（1﹣i）f（i）=6+5i【分析】【分析】先根据定积分求出函数f（x）的解析式，然后分别求出f（1﹣i）与f（i）即可求出所求．六、综合题(共4题，共8分)26、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）27、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF•BE=1．

故答案为：1．28、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）