2021-2022学年人教版高中数学必修第一册 基本不等式的综合应用（学案）含答案及解析

2.2基本不等式

第2课时基本不等式的综合应用

【学习目标】

课程标准学科素养

1.能够运用基本不等式解决生活中的最值问题（难点）；1、逻辑推理

2.能够对式子进行变形，构造定值；2、数学运算

3.会用基本不等式解决恒成立问题（重点）。3、数学建模

【自主学习】

一.基本不等式与最值

已知x、y都是正数，

1.若积盯等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值___.

2.若和x+y是定值S,那么当x=y时，积盯有最大值___.

二.运用基本不等式求最值的三个条件：

1.“一正”：x,y必须是一；

2.“二定”：求积封的最大值时，应看和x+y是否为；求和x+y的最小值时，应看积盯

是否为.

3.“三相等”：当且仅当x招时，等号成立。

三.通过变形构造定值的方法

如果题目中基本不等式不能满足“和为定值”或“积为定值”，就不能直接用基本不等式

求最值。需要通过变形，构造定值，常见方法有：配项法；配系数法；分式型基本不等式；常

值代换法“1”的代换。

【小试牛刀】

思辨解析（正确的打y"，错误的打、”）

⑴若a>0,b>0,且。+>=16,则。底64.（）

（2）若"=2,则的最小值为2也.（）

⑶当x>l时，函数7=%+不、之2\^^,所以函数y的最小值是）

（4）若x©R,则f+2+*岸2.（）

【经典例题】

题型一利用基本不等式求最值

12

例1当x>0时，y=~+4x的最小值为（）

A.4B.8C.8小D.16

【跟踪训练】1已知x<0,求y=x+2-2最大值。

2x

思路点拨：利用基本不等式求最值要满足“一正”、“二定”、“三相等”，现在xS,—<0

2x

通过变形、=「（.]-2再利用基本不等式求最值。

题型二变形构造定值一配项法

点拨：求和的最小值时，可以通过配项，使两个因式的积为定值。一般情况下，两个因式会为

整式和分式，将整式部分配成分式分母的形式。变形的过程中要保证恒等变形。

例2当x>l时，求函数丁=龙+士最小值。

XJL

4

【跟踪训练】2若x<3,则实数1Ax）=±+x的最大值为.

题型三变形构造定值一配系数法

点拨：求积的最大值时，通过因式中的系数变形，使两个因式的和为定值。变形的过程中要保

证恒等变形。

例3已知求於）=5（1-2%）的最大值。

【跟踪训练】3若则函数尸所丞的最大值为（）

A.1BAC.TD4

Z4o

题型四变形构造定值一分式型基本不等式

点拨：分式型基本不等式有两种形式

当分子次数高于分母次数时，将分母当成整体，将分子改写成含有分母整体的形式，便可

构造出积为定值的形式，利用基本不等式求解。

当分子次数低于分母次数时，分子分母同时除以分子，将分子化为常数，分母利用基本不

等式求解。

例4已知X>0,则函数y=日±±1的最小值为.

【跟踪训练】4已知x>0,求丁=号的最大值.

题型五变形构造定值一常值代换法“1”的代换

点拨：对于已知a+b=l,求工+工的最小值以及已矢1+工=1,求a+人的最小值题型，通常采用

abab

这种方法。（其中a,匕均为正数）

例5已知。>03>0,a+b=2,求工+工的最小值。

ab

19

【跟踪训练】5已知x>0,y>0且?+?=1,则x+y的最小值为________.

xy

题型六利用基本不等式解决实际问题

例6如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢

筋网围成.

⑴现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每

间虎笼面积最大？

⑵若使每间虎笼面积为24m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围

成四间虎笼的钢筋网总长最小？

【跟踪训练】6某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1800

元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂

多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

【当堂达标】

1.设…为正数，则(x+y)g+力的最小值为()

A.6B.9C.12D.15

A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值一1D.有最大值一1

3.已知。>0,b>0,若不等式2々1+庐五为恒成立，则机的最大值等于()

A.10B.9C.8D.7

4.已知x,y>0,且满足，+;=1,则孙的最大值为.

41

5.已知正数x,y满足无+y=l,则比+韦的最小值为.

6.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为

4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则》=吨.

4

7.(1)已知x<3,求人x)=』+x的最大值；

(2)设x>0,y>0,且2x+8y=Ay,求无+y的最小值.

【参考答案】

【自主学习】

2VP芦正数定值定值

4

【小试牛刀】

⑴7(2)x(3)X(4)X

【经典例题】

例1C解析：Vx>0,...7>0,4%>0.；.丁=；+4丘27丁.4%=8小.当且仅当三=4x,即x=小

时取最小值队8，.•.当x>0时，y的最小值为8s.

【跟踪训练】1解：'：x<0,

••—x>0,--->0,

2x

通过变形，y=—(—x)+［士］—2

•••(7)+乙卜2卜)｛卷卜后

/.y<-72-2

当且仅当-x=」一,即x=_包时，等号成立，取得最大值一亚-2。

-2%2

例2解：通过配项得y=x—1+々+122+1=3；

1

当且仅当x-l=-，即x=2时，等号成立，取得最小值3.

X—1

【跟踪训练】2-1解析：Vx<3,Ax-3<o,

44「41l~~4-

•\Ax)=^ZZ^+尤=^Z^+(X—3)+3=—3—X+(3-%)+30—2x)+3=—b

4

当且仅当h=3—x,即X=1时取“=”号.

的最大值为-1.

111l「2x+(1—2])[21

例3解：因为OVxV],所以1-2%>0,兀¥)=/(1-2力=12%(1—2%)与^----5:—=丞

当且仅当2x=l—2x,即x=；时等号成立，所以«r）的最大值为亲.

【跟踪训练】3C解析：VO<x<1,

/.1—4x2>0>

1

2不

当且仅当2x=qr二彳，即无=乎时等号成立.

例4-2解析：•.•x>0,

•炉—4x+11...c

••y=------=x-\4>2—4=—2

xx

当且仅当产1时，等号成立。

【跟踪训练】4解：丁=2奇x=上27

一

x+X

Vx>0,

2

=,

.\0<.y<2l

当且仅当x=J,即x=l时，等号成立.故y的最大值为1.

Ji

例5解：-+-=--f-+-\(a+Z?)=--(l+l+-+-)>--(2+2)=2

ab2\ab)2ab2

当且仅当2=@即a=b=2时，等号成立，取得最J、值2.

ab

iQ

【跟踪训练】516解析：法一(1的代换)：因为十+9=1,

xy

所以尤+y=(x+y>g+q)=10+?+寺.

\Ay14y

因为x>0,y>0,所以

%y\iy

当且仅当!=%，即y=3x①时，取

xy

i9_

又二十「1,②

xy

解①②可得x=4,y=12.

所以当x=4,y=12时，x+y的最小值是16.

法二(消元法)：由:+?=1,得x=」、.

xyy-9

因为x>0,y>0,所以y>9.

所以~^+1

Jy-9'/y-9/y-9

9

(v-9)+^+10.

因为y〉9,所以厂9>0,

9/Q

所以(y—9)+产$2y(y—9)7^=6.

9

当且仅当y—9="，即y=12时，取此时％=4,

所以当％=4,y=12时，％+y的最小值是16.

例6解：⑴设每间虎笼长％m,宽为ym,则由条件知4%+6y=36,即2x+3y=18.

设每间虎笼面积为S,则3=孙.

由于2x+3y>2yj2x-3y=2y)6xy,

__27

2^6xy<18,得外与~，

即S立，当且仅当2x=3y时，等号成立.

2x+3尸18,x=4.5,

解得“

2%=3yJ=3.

故每间虎笼长为4.5m,宽为3nl时，可使面积最大.

(2)由条件知S=xy=24.

设钢筋网总长为/,则/=4x+6y

•/2x+3y>2\l2x-3y=2y[6^y=24,

/.l=4x+6y=2(2x+3v)>48,当且仅当2x=3y时，等号成立.

2x=3y,x=6,

由<解得“

xy—24,J=4.

故每间虎笼长6ni,宽4m时，可使钢筋网总长最小.

【跟踪训练】6解设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.

由题意可知，面粉的保管等其他费用为

3x[6x+6(x-l)+6(x-2)+...+6xl]=9x(x+1).

设平均每天所支付的总费用为”元，

贝！!yi=-［9Xx+1）+900］+6x1800=9%+—+10809>2A/9x.-+10809=10989（元）,

当且仅当9彳=晒，即x=10时，等号成立.

所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.

【当堂达标】

LB解析：(x+j)^+1)=x^+j+^+^=l+4+y+^5+2^^=9.

21(x2-2x+l+P

2.D解析:x-2x+2

2x-22、x-1,

V-4<x<l,

/.x-l>0,

・・y=1+>--2=1

lr2

当且仅当即尸。时等号成立.

3.B解析：因为所以2a+Z?>0,所以要使■+奈2az。恒成立'只需

恒成立，而（2。+。）伶+/=4+空+弓+/5+4=9,当且仅当。=。时，等号成立，所以根W9.

\Ct-UJU

4.3解析：Vx,y>0,

••1+：=1之2y1^,得xyW