学习线性代数应用举例教学教材

线性代数应用实例取自《线性代数机算与应用指导（MATLAB）版》2011.12例1平板稳态温度的计算为了计算平板形导热体的温度分布，将平板划分为许多方格，每一个节点上的稳态温度将等于其周围四个节点温度的平均值。由此可得出阶数与节点数相同的线性方程组，方程的解将取决于平板的边界条件。这个方法可以用来计算飞行器的蒙皮温度等。T1T2T3T4平板温度计算的模型整理为向高阶系统扩展则要解25阶的线性方程组。运行书上的程序得温度分布如下将平板分割得愈细，求出的解就愈精确。如果把上述区域分成25个点如右例2交通流的建模对于一个有双向车流的十字路口，根据流出流入车数相等的规则，可以列出下列方程组:节点A：x1

360

x2

260节点B：x2

220

x3

292节点C：x3

320

x4

357节点D：x4

260

x1

251相应的矩阵方程为：A=[1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1];b=[-100;72;37;-9];U=rref([A,b])MATLAB程序运行结果为：U=100-19010-1109 001-137 00000由于U的最后一行为全零，也就是说，四个方程中实际上只有三个独立。x4可以任设，因为如果有一些车沿此路口环行，对方程无影响，故方程组的解可如上表示.把上述模型扩展到多个十字路，乃至整个城市，就构成高阶的线性代数方程组。例如下面的6节点交通流图，它就要由6个方程和7个变量来描述。用行最简型方法可以知道，它的解将包括两个自由变量。其物理意义类推。向高阶系统扩展左图描述了四个城市之间的航空航线图，其中1、2、3、4表示四个城市；带箭头线段表示两个城市之间的航线。设行号表示起点城市，列号为到达城市，则定义邻接矩阵A为：例3飞机航线问题转机航线的数学模型不难证明：矩阵A^2=A*A表示一个人连续坐两次航班可以到达的城市，矩阵A^3=A*A*A表示连续坐三次航班可以到达的城市：其中，第i行描述从城市i出发，可以到达各个城市的情况，若能到达第j个城市，记A(i,j)=1，否则A(i,j)=0，规定A(i,i)=0(其中i=1,2,3,4)。如第2行表示：从城市2出发可以到达城市3和城市4而不能到达城市1和2。多次转机到达的城市分析矩阵A^3的第二行，可以得出：某人从城市2出发，连续坐三次航班可以到达城市2、3和城市4，不能到达城市1，而到达城市3和城市4的方法各有两种。不难看出，转机两次以下的航线的航路矩阵为At2=A+A^2+A^3程序为：A=[0,1,1,1;0,0,1,1;0,0,0,0;1,1,0,0];At2=A+A^2+A^3例4行列式的几何应用二阶行列式的几何意义是两个二维向量构成的平行四边形的面积，三阶行列式的几何意义是三个3维向量构成的平行六面体的体积。如下图所示，用MATLAB软件来实现面积和体积的运算。由向量和所构成的平行四边形的面积为行列式的绝对值。计算的MATLAB语句为：S=abs(a1*b2-a2*b1)如果给出的是三角形三个顶点坐标[a1,b1]，[a2,b2]，[a3,b3]，求该三角形面积，则有：MATLAB写成S=abs(det([a2-a1,b2-b1;a3-a1,b3-b1]))平行四边形面积计算多边形可以划分为多个三角形来计算。先对三角形面积计算构成一个函数程序；这个子程序名为：cal_area3(A,B,C)A,B,C为三个顶点的二维坐标向量凸多边形面积只需多次调用这个函数程序；例如五边形ABCDE，可由S5=cal_area3(A,B,C)+cal_area3(A,C,D)+cal_area3(A,D,E)求得。也可由多边形面积子程序cal_arean(A)计算。扩展至多边形面积计算MATLAB程序functions=cal_area3(a,b,c)%a,b,c应为同形的2维行向量或列向量，%格式检验语句略去ab=b-a;

%计算向量ABac=c-a;

%计算向量ACifsize(ab)==[1,2]

%判读向量AB是否为行向量A=[ab;ac];

%构造矩阵AelseA=[ab,ac];ends=abs(det(A))/2;%根据公式计算三角形面积成药1号成药2号成药3号成药4号成药5号成药6号成药7号成药A10214122038100B1201225356055C531105140D79255154735E012255336F255355355550G94172523925H651610103510I821200620例5药方配置问题（1）某医院要购买这7种特效药，但药厂的第3号和第6号特效药已经卖完，请问能否用其它特效药配制出这两种脱销的药品。分析：即3,6向量与其他向量是否线性相关（2）现在该医院想用这7种中草药配制三种新的特效药，下表为新药所需的成分质量(单位:克)。请问如何配制。分析：这是新药向量与原来药向量是否线性相关的问题。问题及分析思路1号新药2号新药3号新药A4016288B6214167C14278D4410251E53607F5015580G7111838H416821I145230新药的成分要求u1=[10;12;5;7;0;25;9;6;8];u2=[2;0;3;9;1;5;4;5;2];u3=[14;12;11;25;2;35;17;16;12];u4=[12;25;0;5;25;5;25;10;0];u5=[20;35;5;15;5;35;2;10;0];u6=[38;60;14;47;33;55;39;35;6];u7=[100;55;0;35;6;50;25;10;20];U1=[u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7][V1,r]=rref(U1)问题(1)的MATLAB程序运行结果V1=

101000001200300001010000011000000010000000000000000000000000000r=12457可见这七种特效药是“相关的”,3、6两种药可用其它5种药线性配制出来,但第1、2、4、5、7种药“无关”。因此，8，9两种药可以配出，第10种药则不能配出。V2=1010000130 0120030340 0001010220 0000110000 0000001010 0000000001 0000000000 0000000000 0000000000s=1245710为求第二个问题,把3种新药与7种原药组成矩阵U2，求rref，得：假设一个城市的总人口数是固定不变，但人口的分布情况变化如下：每年都有5％的市区居民搬到郊区；而有15％的郊区居民搬到市区。若开始有700000人口居住在市区，300000人口居住在郊区。请分析：（1）10年后市区和郊区的人口各是多少？（2）30年后、50年后市区和郊区的人口各是多少？（3）分析（2）中数据相似的原因。例6人口迁徙问题解这个问题可以用矩阵乘法来描述。令人口变量其中xn为市区人口所占比例，yn为郊区人口所占比例。在n+1年的人口分布状态为：用矩阵乘法可写成：A=[0.95,0.15;0.05,0.85];X0=[700000;300000];X10=A^10*X0开始市区和郊区的人口数为可以得到n年后市区和郊区的人口分布：因此(1)10年后的人口可用程序计算如下：运行结果为：故市区和郊区人口数约为：744630和255370。无限增加时间n，市区和郊区人口之比将趋向常数0.75/0.25。为了弄清为什么它趋向于一个稳态值，需要可以求Ak,为此可先将A对角化,然后求其幂。对角矩阵的幂次可以化为元素的幂次余下很容易计算。令其中Λ为对角矩阵，则有%分析n年后城市人口分布clearA=[0.95,0.15;0.05,0.85];X0=[700000;300000];[P,lambda]=eig(A);symsn

%定义符号变量nXn=P*lamda.^n*inv(P)*X0

MATLAB程序显然,随n增大(4/5)^n趋近于零,而Xn趋于运行结果为：750000250000x01234y-270210-75例7多项式插值与拟合求:(1)过这五个点作一个四次多项式函数(2)请根据这五个点，拟合一个二次多项式函数下表给出了平面坐标系中五个点的坐标。并求x=5时的函数值p4(5)。用MATLAB绘制多项式函数p4(x)的曲线、已知点及插值点(5,p4(5))。并用MATLAB绘制p2(x)的曲线及已知的五个点。其中矩阵：解：(1)根据已知条件，把五个点的坐标值分别代入四次多项式函数，可以得到如下线性方程组：系数矩阵A的行列式为范德蒙(Vandermonde)行列式，且五个坐标点的横坐标各不相同，则该行列式不等于零，所以方程组有唯一解。MATLAB程序：x=[0;1;2;3;4];%输入已知点坐标y=[-27;0;21;0;-75];A=[x.^0,x.^1,x.^2,x.^3,x.^4];%构造vandermonde矩阵a=A\y;%得到适定方程组的唯一解a运行程序，得到a(1)=-27,a(2)=12,a(3)=26,a(4)=-12,a(5)=1.把五个点的坐标值分别代入二次多项式函数，可以得到如下线性方程组：其中，(2)多项式拟合要解一个超定方程该方程组有三个未知数，但有五个方程，进一步分析可以得到该方程组无解，即不存在一个二次多项式曲线刚好能过已知的五个点。MATLAB软件提供了一个利用最小二乘法解决超定方程组解的方法。求系数的公式也是a=A\y，以找到一条二次曲线来近似地描述已知5个点的变化情况。对比插值和拟合的曲线如下图用平面坐标系中的一个闭合图形来描述刚体，用一个矩阵X来表示它。X的一列表示刚体一个顶点的坐标。为了使图形闭合，X的最后一列和第一列相同；为了实现刚体的平移运算，给矩阵X添加元素值都为1的一行，使X为3×n矩阵。若有矩阵：则可以证明，矩阵Y1是刚体X沿x轴正方向平移c1，沿y轴正方向平移c2后的结果；矩阵Y2是刚体X以坐标原点为中心逆时针转动t弧度的结果。例8刚体的平面运动x04610853.56.16.53.220y014140011664.54.500实例用下列数据表示字母A:

对A进行以下平面运动,并绘制移动前后的图形。(1)向上移动15,向左移动30;(2)逆时针转动π

/3;(3)先逆时针转动3π

/4,然后向上平移30,向右平移20。解构造刚体矩阵X，平移矩阵及转动矩阵。M1=100010-30201M2=10001020301R1=00100R2=00100MATLAB程序•X=[0,4,6,10,8,5,3.5,6.1,6.5,3.2,2,0;

0,14,14,0,0,11,6,6,4.5,4.5,0,0;

ones(1,12)];%构造刚体矩阵XM1=[1,0,-30;0,1,15;

0,0,1];

%构造平移矩阵M1

Y1=M1*X;%计算平移结果•

fill(Y1(1,:),Y1(2,:),‘red’);

%绘制平移后刚体Y1•

plot(X(1,:),X(2,:));