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*第九节一、二元函数泰勒公式二、极值充分条件的证明机动目录上页下页返回结束二元函数的泰勒公式第八章1/12/2025多元函数一、二元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式:推广多元函数泰勒公式机动目录上页下页返回结束1/12/2025多元函数记号(设下面涉及的偏导数连续):

一般地,机动目录上页下页返回结束

表示表示1/12/2025多元函数证:令则利用多元复合函数求导法则可得:机动目录上页下页返回结束1/12/2025多元函数一般地,由的麦克劳林公式,得将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.机动目录上页下页返回结束1/12/2025多元函数说明:(1)余项估计式.因f的各n+1阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界

M,则有机动目录上页下页返回结束1/12/2025多元函数(2)当n=0时,得二元函数的拉格朗日中值公式:(3)若函数在区域D上的两个一阶偏导数恒为零,由中值公式可知在该区域上机动目录上页下页返回结束1/12/2025多元函数例1.求函数解:的三阶泰勒公式.因此,机动目录上页下页返回结束1/12/2025多元函数其中机动目录上页下页返回结束1/12/2025多元函数时,具有极值二、极值充分条件的证明的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数定理2

(充分条件)机动目录上页下页返回结束1/12/2025多元函数证:由二元函数的泰勒公式,并注意则有所以机动目录上页下页返回结束1/12/2025多元函数其中

,

,

是当h→0,k→0时的无穷小量,于是(1)当AC－B2＞0时,必有A≠0,且A与C同号,可见,从而△z＞0,因此机动目录上页下页返回结束1/12/2025多元函数从而△z＜0,(2)当AC－B2＜0时,若A,C不全为零,无妨设A≠0,则时,有异号;同号.可见△z在(x0,y0)邻近有正有负,机动目录上页下页返回结束1/12/2025多元函数++－若A＝C

＝0,则必有B≠0,不妨设B＞0,此时可见△z在(x0,y0)邻近有正有负,(3)当AC－B2＝0时,若A≠0,则若A＝0,则B＝0,为零或非零机动目录上页下页返回结束1/12/2025多元函数此时因此作业P671,3,4

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