经济数学-线性代数课件：相似矩阵

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相似矩阵

定义4.3.1

设A，B都是阶方阵，若有可逆方阵P，使则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与矩阵B相似.对A进行运算称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.一、相似矩阵的概念与性质定理4.3.1

若A与B相似，则A

的特征值与B的特征值相同.证明推论4.3.1

若阶方阵A与对角阵利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式.

定理

.3.2

阶方阵A与对角矩阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有个线性无关的特征向量.证明二、方阵的对角化命题得证.

如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似.如果A的特征方程有重根，此时不一定有n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化，但如果能找到n个线性无关的特征向量，A还是能对角化。推论4.3.2说明例1

判断下列实矩阵能否化为对角阵？解所以基础解系中必含有两个线性无关的解向量.故必有3个线性无关的特征向量,因而可以对角化.又当时,故B不能化为对角矩阵.当时,显然,故B

没有3个线性无关的特征向量.A能否对角化？若能对角例2解解之得基础解系所以A可对角化.注意即矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应。例3问取何值时，能对角化？解：令，解得的特征值为：当时，因此，三、实对称矩阵的对角化说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵。定理4.3.3

对称矩阵的特征值为实数.定理4.3.4

设是对称矩阵的两个特征值，是对应的特征向量，若，则与正交。

推论4.3.3定理4.3.5说明设A的互不相等的特征值为它们的重数依次为这样的特征向量共可得n个.

由定理4.3.4知对应于不同特征值的特征向量正交，故这n个单位特征向量两两正交.以它们为列向量构成正交矩阵P，则求A的特征值;将特征向量正交化;将特征向量单位化.

根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：1234（1）解：第一步求A的特征值例4求出正交矩阵P，使

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